Методичка по лабораторной работе №4 / Аналитическое прогнозирование многомерных процессов

Аналитическое прогнозирование многомерных процессов.

Метод обобщенного параметра.

Цель работы: изучение практических приемов прогнозирования состояния многопараметрического объекта.

Краткие теоретические сведения:

Изменение состояния технических систем можно рассматривать как процесс, характеризуемый изменениями некоторого множества параметров. Положение вектора состояния в пространстве определяет степень работоспособности системы. Состояние системы характеризуется вектором в k-мерном пространстве, где координатами пространства служат k параметров системы , .

Прогнозирование состояния сводится к периодическому предварительному контролю параметров ; определению в моменты t_i T₁ контроля функции состояния

Q[ ] = Q[ ] и расчете значений функции Q состояния в области значений времени T₂ > T₁.

При этом чем дальше будет расположен вектор состояния от гиперповерхности допустимых значений степени работоспособности Q ^* , тем выше работоспособность диагностируемой системы. Чем меньше разность ^* , тем ниже уровень работоспособности.

Использование методов аналитического прогнозирования предполагает регулярность изменения компонентов процесса во времени.

Идея метода обобщенного параметра заключается в том, что процесс, характеризуемый многими компонентами, описывается одномерной функцией, численные значения которой зависят от контролируемых компонентов процесса. Такая функция рассматривается как обобщенный параметр процесса. При этом может оказаться, что обобщенный параметр не имеет конкретного физического смысла, а является математическим выражением, построенным искусственно из контролируемых компонентов прогнозируемого процесса.

При обобщении параметров, характеризующих степень работоспособности технических систем, необходимо решение следующих задач:

- определения относительных значений первичных параметров;

- оценки значимости первичного параметра для оценки состояния объекта;

- построения математического выражения для обобщенного параметра.

Определение относительных значений первичных параметров необходимо в связи с тем, что состояния объекта может характеризоваться параметрами, имеющими различную размерность. Поэтому все контролируемые первичные параметры следует свести к единой системе исчисления, в которой они могут быть сравнимыми. Такой системой является система безразмерного (нормированного) относительного исчисления.

Реально для каждого параметра , s = 1, 2, …, k можно выделить допустимое значение , ^*, при достижении которого объект теряет работоспособность, и оптимальное значение _опт (зачастую оно равно номинальному значению _н ).

Пусть в процессе эксплуатации объекта соблюдается условие . Если , достаточно ввести в место новый параметр и тогда для будет соблюдаться требуемое условие.

Запишем безразмерный (нормированный) параметр в виде:

, (1)

где , причем при , а при .

Таким образом, с помощью выражения (1) нормируется параметр , а безразмерная нормированная величина изменяется с течением времени от 1 до 0. Отсюда по величине можно судить о степени работоспособности объекта по данному параметру. Теоретически может быть , но это означает, что на практике объект неработоспособен.

Можно указать различные нормируемые выражения, которые оказываются удобными при решении частных задач, например:

, или

, ;

и т. п., где – соответственно текущее, нулевое, мат. ожидание S – го параметра.

Использование нормирующих выражений позволяет получить совокупность безразмерных величин, которые характеризуют состояние объекта. Однако количественно одинаковое изменение этих величин не является равнозначным по степени влияния на изменение работоспособности объекта, поэтому необходимо дифференцировать первичные параметры. Этот процесс осуществляется с помощью весовых коэффициентов, величины которых характеризуют важность соответствующих параметров для физической сущности задачи. Пусть в таком случае параметрам объекта соответствуют весовые коэффициенты , удовлетворяющие тем или иным заданным критериям, причем .

Степень работоспособности объекта по множеству контролируемых параметров можно оценить с помощью обобщающего выражения

,

(2)

, где - обобщенный параметр объекта.

Выражение (2) представляет собой линейное среднее. Из определения обобщенного параметра следует, что чем больше величина и , тем больше вклад S – го слагаемого (параметра) в .

Обобщенный параметр можно определить с помощью выражения вида

, (3)

которое представляет собой нелинейного среднее. Для такой модели также соблюдается условие: чем больше и , тем больший вклад вносит слагаемое в величину .

На практике находят применение и другие формы записи нелинейного среднего, например:

, (4)

, (5)

где подбирает так, чтобы (5) давая лучшее приближения к результатам, полученным экспериментальным путем.

При рассмотрении выражений для обобщенного параметра считалось, что не меняет знака, т. е. всегда . Если же необходимо учитывать знак, выражение (2) преобразуется к виду

, (6)

Таким образом, использование обобщенного параметра позволяет свести задачу прогнозирования состояния многопараметрического объекта к прогнозированию одномерной временной функции.

Пример. Испытания объекта в течении 250 часов, у которого контролировалось 6 параметров, дали результаты, приведенные в таблице1.

Таблица1

t, ч	Iн, ном = 9,5 I^*н = 10,5	Vg1. ном = 120 V^*g1 = 140	Sном = 6,0 S^* = 4,5	Iа, ном = 2,0 I^*а = 15	Ig3, ном = 70 I^*g3 = 110	Pном = 900 P^* = 650
0	10	126	5,4	2	76	814
120	10	131	5,4	4	88	874
250	10	136	5,2	5	84	870

После нормирования значений параметров с помощью выражения (1) таблица принимает вид (таблица2)

Таблица2

t, ч
0	0,5	0,7	0,6	1,0	0,85	0,656
120	0,5	0,45	0,6	0,846	0,55	0,897
250	0,5	0,2	0,466	0,769	0,65	0,88

Обобщенный параметр вычисляли с помощью выражения (2), где весовые коэффициенты удовлетворяли условию и были определены следующим образом:

В результате обобщенный параметр принимает следующие значения (таблица3):

Таблица3

t, ч	0	120	250
	0,689	0,671	0,579

Построив по данным таблицы 3 аппроксимирующую модель вида

,

где коэффициенты b и a подбираются методом наименьших квадратов

и для данных таблицы№3 принимают значения: а = - 4,4 * 10^-4; b = 0,7,

получаем .

Задавшись значением t = 800, получаем , т. е. по сравнению с t = 0, состояние объекта изменилось в 1.98 раза. При t = 1500 значение , т. е. состояние объекта изменилось в 17,25 раза и т. д.

Задание на работу:

На основании исходных данных, приведенных в таблице№1, построить линейную модель , рассчитать значения в различные моменты времени и построить график функции .