МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Г.А. СИКОРСКАЯ

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

Рекомендовано Ученым советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве учебного пособия для студентов транспортного факультета

Оренбург 2007

3

УДК 512/514 (07)

ББК 22.14+22.15я73 С 35

Рецензенты кандидат физико-математических наук Герасименко С.А.

кандидат педагогических наук Липилина В.В.

Сикорская Г.А.

С35 Курс лекций по алгебре и геометрии: учебное пособие для студентов транспортного факультета / Г.А. Сикорская, Оренбург: ГОУ ОГУ, 2007. - 387 с.

ISBN

Пособие подготовлено в соответствии с содержанием курса «Алгебра и геометрия», определяемым образовательным стандартом высшего профессионального образования.

Пособие состоит из 15 глав, каждая из которых включает в себя относительно самостоятельную теоретическую часть курса, обычно разделяемую преподавателем на 3 – 4 лекции.

Излагаемые теоретические вопросы курса алгебры и геометрии снабжены задачами практического характера, способствующими лучшему пониманию теории. В заключении каждой главы предлагаются вопросы для самоконтроля.

Учебное пособие предназначено для студентов специальностей 190601

– Автомобили и автомобильное хозяйство, 190603 – Сервис транспортных и технологических машин и оборудования (по отраслям), 190702 – Организация и безопасность движения, 200503 – Стандартизация и сертификация, 220501 – Управление качеством.

С1602040000	ББК 22.14+22.15я73
ISBN
	©Сикорская Г.А., 2007
	©ГОУ ОГУ, 2007

4

Содержание

Введение………………………………………………………………………... 7

Глава 1 Первоначальные сведения об основных алгебраических структурах……………………………………………………………………… 8

1.1Множества. Основные понятия……………………………………. 8

1.2Операции над множествами и их свойства……………………...... 10

1.3 Отношения на множествах………………………………………… 17

1.4Отображение множеств…………………………………………...... 18

1.5Необходимые сведения о группах, кольцах, полях………………. 21

1.6 Вопросы для самоконтроля…………………………………………	24
Глава 2 Комплексные числа…………………………………………………...	25

2.1Система комплексных чисел……………………………………..... 25

2.2Определение комплексных чисел. Операции над комплексными числами алгебраической формы………………………………………. 26

2.3Тригонометрическая форма комплексных чисел. Операции над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме... 33

2.4Корни из единицы…………………………………………………... 41

2.5Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной……………………………………………………………… 43

2.6 Вопросы для самоконтроля…………………………………………	45
Глава 3 Многочлены одной переменной……………………………………..	46

3.1Действия над многочленами……………………………………...... 47

3.2Свойства делимости многочленов……............................................ 51

3.3.Корни многочлена. Теорема Безу…………………………………. 52

3.4 Метод Горнера………………………………………………………	53
3.5 Основная теорема алгебры...…..…………………………………...	55
3.6 Следствия из основной теоремы алгебры…………………………	55

3.7Формулы Вьета…………………………………………….……….. 57

3.8Многочлены с действительными коэффициентами. Разложение

многочлена на множители.......................………………………………		58
3.9	Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида..	59
3.10 Вопросы для самоконтроля..………………………………………		63
Глава 4 Матрицы и определители…………………………………………….		65
4.1	Матрицы. Основные понятия и определения……………………..	65
4.2	Действия над матрицами……………………………………………	67

4.3Умножение матриц…………………………………………………. 69

4.4Многочлен от матрицы…………………………………………….. 73

4.5Транспонирование матриц…………………………………………. 74

4.6Симметрическая матрица, кососимметрическая матрица……...... 75

4.7Обратная матрица…………………………………………………... 76

4.8Ортогональная матрица…………………………………………..... 77

4.9 Эрмитова матрица, унитарная матрица……………………………	78
4.10 Определитель матрицы……………………………………………	79
4.11 Элементарные сведения теории перестановок…………………..	81
4.12 Определитель n -го порядка………………………………………	83

4.13Свойства определителей………………………………………...... 86

4.14Методы вычисления определителей n -го порядка……………... 91

4.15Определитель произведения матриц……………………………... 95

5

4.16Методы нахождения обратных матриц………………………….. 99

4.17Простейшие матричные уравнения………………………………. 101

4.18Ранг матрицы………………………………………………………. 102

4.19Методы вычисления ранга матрицы……………………………... 103

4.20Базисный минор матрицы………………………………………… 107

4.21Вопросы для самоконтроля……………………………………….. 108 Глава 5 Системы линейных уравнений………………………………………. 110

5.1 Системы линейных уравнений. Основные понятия……………… 110

5.2Метод Гаусса………………………………………………………... 112

5.3Решение невырожденных систем линейных уравнений.

Формулы (теорема) Крамера……………………………………..…..... 116

5.4 Решение систем линейных уравнений матричным способом…… 119

5.5Критерий совместности системы линейных уравнений…………. 120

5.6Базисные неизвестные системы линейных уравнений. Способ решения неопределенной системы…………………………………..... 123

5.7Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений………………………………………………………... 125

5.8Вопросы для самоконтроля………………………………………… 130

Глава 6 Векторная алгебра……………………………………………………. 132

6.1 Векторы. Основные понятия. Линейные операции над векторами………………………………………………………………... 132 6.2 Проекция вектора на ось…………………………………………… 135

6.3Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Свойства линейно зависимой системы векторов……………………... 137

6.4Базис системы векторов. Координаты вектора относительно базиса…………………………………………………………………..... 139

6.5Ортонормированный базис. Направляющие косинусы вектора.

Длина вектора…………………………………………………………… 141

6.6Скалярное произведение векторов и его свойства……………...... 143

6.7Векторное произведение векторов и его свойства……………...... 145

6.8	Смешанное произведение векторов и его свойства………………	148
6.9	Вопросы для самоконтроля………………………………………… 151
Глава 7 Аналитическая геометрия на плоскости…………………………….		152
7.1	Аффинная и прямоугольная декартовы системы координат.	152
Простейшие задачи……………………………………………………..
7.2	Полярная система координат………………………………………	154
7.3	Преобразование системы координат………………………………	156

7.4Уравнение линии на плоскости……………………………………. 159

7.5Линии первого порядка на плоскости……………………………... 162

7.6Линии второго порядка на плоскости…………………………….. 170

7.7Вопросы для самоконтроля……………………………………........ 188

Глава 8 Аналитическая геометрия в пространстве………………………….. 190

8.1Аффинная и прямоугольная декартовы системы координат.

Простейшие задачи……………………………………………………... 190

8.2Уравнение поверхности и линии в пространстве……………........ 192

8.3Уравнение плоскости в пространстве……………………………... 194

8.4Плоскость. Основные задачи………………………………………. 198

8.5Уравнения прямой в пространстве……………………………........ 201

8.6Прямая в пространстве. Основные задачи……………................... 204

8.7Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи………….. 205

6

8.8 Уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной координатной оси. Цилиндры второго порядка……… 209

8.9Уравнение поверхности вращения……………………………........ 212

8.10Поверхности второго порядка……………………………………. 213

8.11Вопросы для самоконтроля……………………………………….. 220

Глава 9 Линейное пространство. Подпространство линейного пространства…………………………………………………………………… 222

9.1Понятие линейного пространства…………………………………. 222

9.2Линейная зависимость векторов..………………………………..... 224

9.3Размерность и базис линейного пространства……………………. 227

9.4 Ранг системы векторов линейного пространства………………… 230

9.5Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора………………………………………………………. 231

9.6Изоморфизм линейных пространств………………………………. 234

9.7Подпространство линейного пространства……………………...... 235

9.8Линейная оболочка системы векторов……………………………. 236

9.9Пересечение подпространств. Сумма подпространств…………... 240

9.10Вопросы для самоконтроля……………………………………...... 245

Глава 10 Евклидово и унитарное пространство…..……………………......... 247

10.1Определение евклидовых пространств…………………………... 247

10.2	Ортогональные вектора. Система ортогональных векторов……	249
10.3 Норма вектора евклидова пространства………………………….		250
10.4	Угол между двумя векторами евклидова пространства…………	252

10.5Ортонормированный базис……………………………………...... 252

10.6Выражения скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе……………………………...... 253

10.7Понятие унитарного пространства……………………………...... 254

10.8Изоморфизм евклидовых (унитарных) пространств……………. 257

10.9Унитарные матрицы………………………………………………. 258

10.10Вопросы для самоконтроля……………………………………… 259

Глава 11 Линейные операторы……………………………………………….. 260

11.1 Линейный оператор. Основные определения…………………… 260

11.2Связь между координатами вектора и его образа………………. 262

11.3Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису…………………………………………………………… 264

11.4Ядро и область значений линейного оператора…………………. 266

11.5Характеристический многочлен, характеристическое уравнение линейного оператора………………………………..……… 267

11.6 Минимальный многочлен матрицы……………………………… 270

11.7Собственные векторы линейного оператора…………………...... 271

11.8Собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы……………………………………………… 273

11.9Диагонализируемость линейного оператора…………………….. 275

11.10Действия над линейными операторами..………………………. 277

11.11Оператор, обратный данному линейному оператору………….. 281

11.12Ортогональные матрицы*……………………………………….. 281

11.13Ортогональные операторы………………………………………. 284

11.14Вопросы для самоконтроля……………………………………… 286

Глава 12 Квадратичные формы…………………………………….…………	288
12.1 Основные определения……………………………………………	288

7

12.2Преобразование квадратичной формы линейным однородным оператором……………………………………………............................ 290

12.3Нормальный вид квадратичной формы………………………...... 295

12.4 Закон инерции квадратичных форм………………………………	296
12.5 Знакоопределенные квадратичные формы ………………………	297

12.6Приведение квадратичной формы к каноническому виду……... 300

12.7Применение теории квадратичных форм в задачах о приведении к каноническому виду уравнения кривой второго порядка и уравнения поверхности второго порядка…………………. 305

12.8Вопросы для самоконтроля……………………………………...... 310

Глава 13 Геометрические объекты дифференциальной геометрии………... 312

13.1Кривые. Способы задания кривых……………………………...... 312

13.2О касательных и нормалях………………………………………... 314

13.3Кривизна линий. Радиус и центр кривизны. Натуральное уравнение кривой……………………………………………………..... 317

13.4Эволюта. Эвольвенты……………………………………………... 321

13.5Соприкасающаяся плоскость……………………………………... 325

13.6Кривизна кривой…………………………………………………... 327

13.7Подвижный триедр………………………………………………... 330

13.8Кручение кривой…………………………………………………... 331

13.9Формулы Френе-Серре……………………………………………. 334

13.10	Натуральные уравнения кривой…………………………………	334
13.11	Вопросы для самоконтроля………………………………………	335
Глава 14 Аналитическое изображение поверхностей и их образование…...		336

14.1Способы аналитического изображения поверхностей………...... 336

14.2Касательная плоскость и нормаль к поверхности………………. 337

14.3Первая квадратичная форма поверхности……………………...... 342

14.4Вторая квадратичная форма поверхности……………………...... 346

14.5Вопросы для самоконтроля……………………………………...... 347 Глава 15 Топология……………………………………………………………. 348

15.1Что такое топология?........................................................................ 348

15.2Обобщение понятий пространства и функций………………….. 352

15.3От метрического пространства к топологическому…………...... 355

15.4Понятие римановой поверхности………………………………… 365

15.5Вопросы для самоконтроля……………………………………...... 370

Список использованных источников………………………………………… 372

8

Введение

Курс алгебры и геометрии, читаемый студентам транспортного факультета (параллельно с курсом математического анализа) опирается на базовый курс математики, изучаемый в средней школе.

Курс математики в высшей школе призван заложить основы математической подготовки будущих инженеров, дающие возможность успешного освоения других математических дисциплин: теории вероятностей, математической статистики, численных методов, а также, умения использовать математические методы при изучении специальных дисциплин.

Математическое образование будущего инженера основывается на фундаментальных понятиях математики. Фундаментальность подготовки в области математики включает в себя достаточную общность математических понятий и конструкций, обеспечивающую широкий спектр их применимости, точность формулировки математических свойств изучаемых объектов, логическую строгость изложения математики, опирающуюся на адекватный современный математический аппарат.

Курс алгебры и геометрии представляет собой математическую теорию, охватывающую первоначальные сведения об основных алгебраических структурах, теорию матриц и определителей, векторную алгебру, теорию линейных и евклидовых пространств, теорию линейных операторов, аналитическую геометрию, дифференциальную геометрию и топологию.

В результате теоретической части курса студент приобретает знания основных понятий дисциплины, понимание и умение доказательства теории, навыки решения математических задач методами линейной и векторной алгебры с доведением решения до практически приемлемого результата (формулы, числа, графика, качественного вывода и т.д.), на базе чего развивается логическое и алгоритмическое мышление, навыки математического исследования прикладных вопросов (перевод реальной задачи на математический язык, выбор оптимального метода ее решения и исследования, интерпретация и оценка полученных результатов и т.п.).

Изучение курса алгебры и геометрии способствует формированию понимания необходимости математической составляющей в общей подготовке, представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умения оперировать абстрактными объектами, корректно использовать математические понятия и символы для выражения количественных и качественных отношений.

Курс алгебры и геометрии изучается на первом и втором семестрах обучения.

Промежуточная оценка знаний и умений проводится с помощью тестовых задач, а также с помощью коллоквиумов. Итоговый контроль предусмотрен в виде зачета.

9

Глава 1 Первоначальные сведения об основных алгебраических структурах

Данная глава носит вспомогательный характер. В ней приводится в систему, уточняется и расширяется материал по некоторым общим вопросам, затрагиваемым в школьной математике, в частности, излагаются простейшие сведения о множествах и операциях над ними, о подмножествах и отображениях множеств, а также происходит обзорное знакомство читателя с основными алгебраическими структурами. Всё перечисленное необходимо для изучения остальных глав пособия.

При доказательствах утверждений данного пособия, в основном, используются известные из средней школы методы доказательства: метод непосредственной проверки, метод от противного и метод полной математической индукции.

Напомним, что методом полной математической индукции доказываются утверждения, содержащие переменный параметр п, принимающий значения 1, 2, 3, …. Процесс доказательства состоит из двух этапов. На первом этапе устанавливается, что доказываемое утверждение верно при n =1, на втором – доказывается, что из его истинности для n = m (при любом фиксированном т) следует его истинность для n = m +1. Первый этап называется началом индукции,

второй – индуктивным переходом от п к п+1.

1.1 Множества. Основные понятия

Во всех областях современной математики, за исключением узко специальных ее разделов, связанных с аксиоматическим построением теории множеств, понятие множества принято считать основным, неопределяемым понятием. Создатель теории множеств немецкий математик Г. Кантор (1845 – 1918) пояснил понятие множества следующим образом: «Множество, или совокупность - это собрание определенных и различных объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое в качестве единого». Говорят также, что множество – это совокупность, собрание, или семейство каких-либо реально существующих или мыслимых объектов. Предполагается, что объекты, входящие в множество, попарно различны. Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами.

Множества задаются двумя способами:

1)перечислением всех элементов множества;

2) указанием характеристического свойства элементов данного множества, т.е. такого свойства, которым обладают элементы данного множества

и только они.
Введем необходимые обозначения и определения.
Множества	обозначаются	прописными	латинскими	буквами
A, B, C,..., X , Y ,...;	элементы множеств – строчными латинскими			буквами

a, b, c,..., x, y, .... Знак множества - { }.

10

Например: а) A ={− 3; 3} - конечное, двухэлементное множество.

б)	A ={x		x2	− 9 = 0} -	множество A	задано характеристическим
	1				1
свойством,	т.е. это			множество	таких х, которые удовлетворяют уравнению

x2 − 9 = 0 (т.е. множество корней уравнения x2 − 9 = 0 ).

На основании этого примера можно сделать вывод, что одно и тоже множество может быть задано разными характеристическими свойствами.

a A означает «элемент а принадлежит множеству А». a A - «элемент а не принадлежит множеству А».

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым, и обозначается символом .

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Так, в приведенном выше примере, множества A и A1 равные.

Для некоторых, часто используемых и известных из средней школы числовых множеств, существуют стандартные обозначения:

= {1, 2, 3, K} - множество целых неотрицательных чисел (или множество

натуральных чисел), т.е. чисел, используемых при счете;
0 = {0, 1, 2, 3, K} - множество целых неотрицательных чисел;
= {K, − 2, −1, 0, 1, 2, ...} - множество целых чисел;
a
-	a, b Z, b ≠ 0 - множество рациональных чисел;
b

– множество действительных чисел (или вещественных) чисел, т.е. чисел, представимых бесконечными десятичными периодическими дробями;

m, n (для m, n , m < n ) – множество {m, m +1, ..., n}.

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то говорят, что А есть подмножество множества В (или В включает А), и пишут

A B .

В частности, любое множество является подмножеством самого себя, т.е.

A A.

Пустое множество считается подмножеством любого множества А, т.е.

A.

Очевидно, что множества A, B равны тогда и только тогда, когда A B и

B A. Если A B и A ≠ B , то говорят, что B строго включает А, или А является собственным подмножеством множества В.

В повседневной практике нам часто приходится получать из одних множеств другие, например, объединяя заданные множества, выбирая из них общие или, наоборот, необщие элементы, и т.д. Для формализации таких способов получения множеств используются различные операции над множествами: пересечение, объединение, вычитание, дополнение и декартово произведение.

11

1.2 Операции над множествами и их свойства

Пересечение множеств

Пересечением множеств А, В называется множество A ∩ B , состоящее из

всех тех элементов, которые содержатся в							обоих множествах А, В:
A ∩ B ={m		m A, m B}.
Заметим, что пересечение двух множеств может оказаться пустым
множеством.			В	этом	случае	исходные	множества	называются

непересекающимися.

Пересечение множеств можно проиллюстрировать, используя, так называемые, круги Эйлера-Венна (здесь и далее U – универсальное множество, т.е. множество, которое содержит в себе все слагаемые, перемножаемые и т.д. множества).

Рисунок 1 Из рисунка 1 видно, что пересечением множеств является их общая часть.

Приведем примеры пересечения множеств:

1) A ={x x R и 1 ≤ x ≤ 5}, B ={x x R и x ≤ 3}.

С

Рисунок 2

Имеем, С = A ∩ B ={x x R и1 ≤ x ≤ 3}.

2) А – множество треугольников на плоскости.

В – множество правильных многоугольников на плоскости.

Тогда A ∩ B - множество правильных треугольников на плоскости.

Свойства операции пересечения множеств

1) A ∩ B = B ∩ A - коммутативность пересечения.

A ∩ B = B ∩ A

Рисунок 3

12

2) (A ∩ B)∩C = A ∩(B ∩C) - ассоциативное свойство пересечения.

(A ∩ B)∩C = A ∩(B ∩C)

Рисунок 4

3) Если B A, то A ∩ B = B .

U

A

B

Рисунок 5

4) A ∩ = , A ∩ A = A .

Объединение множеств

Объединением множеств А, В называется множество A B , состоящее из всех тех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A, B . Это множество обозначают C = A B , т.е.

C = A B ={x x A или x B}.

Используя круги Эйлера-Венна, объединение множеств А и В можно проиллюстрировать следующим образом:

Рисунок 6

Свойства операции объединения множеств

1)A B = B A - свойство коммутативности.

2)(A B) C = A (B C) - свойство ассоциативности.

3)Если B A, то A B = A .

13

U

A B

Рисунок 7

4)A = A , A A = A .

5)(A B)∩C = (A ∩C) (B ∩C) - свойство дистрибутивности.

Проиллюстрируем свойство дистрибутивности на кругах Эйлера-Венна:

(A B)∩C	(A ∩C) (B ∩C)
	Рисунок 8
Докажем свойство дистрибутивности.
Определимся, для	того, чтобы доказать равенство двух множеств,

необходимо показать, что каждый элемент первого множества принадлежит

второму и обратно – каждый элемент второго множества принадлежит первому.
Пусть x (A B)∩ C x A B и x C (x A или x B) и x C
(x A и x C) или (x B и x C) (x A ∩C) или (x B ∩C)
x (A ∩C) (B ∩C) - что и требовалось доказать.

Таким образом, всякий элемент х из левого множества одновременно принадлежит и правому множеству. Доказательство обратного утверждения предлагаем читателю выполнить самостоятельно.

Дополнение

Операция дополнения определена лишь в случае, когда все изучаемые множества рассматриваются как подмножества некоторого универсального множества U.

Пусть A U . Дополнением к А называют множество всех элементов из U, не принадлежащих А. Дополнение обозначают A′: A′ ={x x U и x A}.

Например, рассмотрим U = Z - множество целых чисел и А – множество нечетных чисел. Тогда A′ есть множество четных чисел.

Или, например, пусть U - множество точек круга, а А – множество точек границы этого круга, (т.е. множество точек окружности), тогда A′ - открытый круг.

14

Рисунок 9

Свойства операции дополнения

1) (A′)′ = A.

Рисунок 10

2)		′	′	.
	B A → A B				′	′	.
Доказательство: Если x A						x A x B (т.к. B A) x B
3)	′ =U .
4)	U ′ = .
	′	′		′	.
5) (A I B)		= A	B
	′	′		′	.
6) (A B)		= A	∩ B

Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в справедливости свойств операции дополнения на кругах Эйлера-Венна.

Разность двух множеств

Разностью двух множеств А и В называют множество A \ B элементов х таких, что х принадлежит А и не принадлежит В.

Рисунок 11

A \ B ={x x A и x B}.

Например, пусть заданы два числовых множества A = {0; 1; 3; 8; 13} и B ={−1; 0; 1; 7; 13}, тогда разностью A \ B будет множество, содержащее только те

15

элементы множества А, которые не являются элементами множества В, т.е.

A \ B ={3; 8}.

Помимо операций объединения, пересечения, разности и дополнения, существует еще декартово произведение множеств, определить которое мы можем, введя понятие кортежа.

Кортежи. Декартово произведение множеств

Итак, пусть даны множества A1, A2 , ..., An . Выберем из первого множества элемент a1 , из второго - a2 и т.д., из множества An выберем элемент an .

Расположим элементы в порядке их извлечения. Получим упорядоченную последовательность (a1, a2 , ..., an ).

Упорядоченная последовательность (a1, a2 , ..., an ), составленная из элементов множеств A1, A2 , ..., An , где ai Ai , i =1,2,..., n , называется кортежем

длины п.

Заметим, что множества A1, A2 , ..., An могут иметь общие элементы или

даже совпадать. Поэтому (в отличие от обычного множества) элементы в кортеже
могут повторяться.
Элементы a1, a2 , ..., an кортежа (a1, a2 , ..., an ) называются его
компонентами или координатами.
Два кортежа, составленные из элементов одного и того же множества А
считаются	равными,	если		их	длины	равны	и	элементы,	стоящие		на
										m = n,
соответствующих местах,			равны,		т.е. (a1, a2 , ..., am )= (b1, b2 , ..., bn )
										ak =bk ,
ai A, bj A, i =1, 2,...,m,			j =1, 2, ..., n .							1 ≤ k ≤ n,
						( 1,		81) равны,
Например, кортежи				(12 , 22 32 ) и			16,			поскольку
12 = 1, 22 =	16, 32 =	81 ,	тогда как кортежи (1, 2, 3)					и (3, 1, 2) различны,			хотя

имеют одинаковую длину и одно и тоже множество координат, но эти координаты стоят в разном порядке. Различны и кортежи (1, 2, 3) и (1, 2, 3, 4) -

они имеют разную длину.

Координатами кортежа могут быть множества, кортежи и т.д. При этом, например, кортежи ({a, b}, c) и ({b, a}, c) равны, так как {a, b}={b, a}, а кортежи

((a,b), c) и ((b, a), c) различны, так как (a, b) ≠ (b, a) . (Поясним {a, b} -

множество, (a, b) - кортеж).

Кортеж, не содержащий ни одной координаты (т.е. кортеж длины 0), называется пустым.

Подчеркнем еще раз отличия понятий кортежа и множества:

а) в множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи, отличающиеся порядком элементов, различны даже в случае, если они имеют одинаковый состав;

16

б) в множестве все элементы различны, а в кортеже координаты могут повторяться.

Чтобы различать множества и кортежи, элементы множеств заключают в фигурные скобки, а элементы кортежей – в круглые (в частности, в круглые скобки заключают элементы UупорядоченныхU множеств).

Введем теперь понятие декартова произведения множеств.

Пусть A1, A2 , ...., An - некоторые множества. Их декартовым

произведением называют множество, состоящее из всех кортежей вида (a1, ..., an ) , где ak Ak , 1 ≤ k ≤ n . Декартово произведение множеств A1, A2 , ...., An

обозначают A1 ×.... × An .

НапримерU ,U если A ={1,2, 3}, B ={x, y}, то

A × B ={(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)} и B × A ={(x,1), (x, 2), (x,3), ( y,1), ( y, 2), ( y, 3)}.

Этот пример показывает, что, вообще говоря, декартовы произведения A × B и B × A различны, хотя они содержат поровну элементов.

Различны и множества A × B ×C , (A × B)×C и A ×(B ×C) - первое состоит из троек (a, b, c), второе – из пар вида ((a, b), c), а третье – из пар вида (a, (b, c)),

где во всех случаях a A, b B , c C .

Если хотя бы одно из множеств А, В пусто, то считают, что их декартово

произведение пусто:

A × = × A = × = .

НапримерU ,U декартово произведение R × R состоит из пар (x, y) действительных чисел, причем (x1, y1 )= (x2 , y2 ) в том и только в том случае,

когда

x1 = x2 ,

y1 = y2 .

Каждой

такой

паре

соответствует

точка

M (x, y)

на

плоскости,

для

которой числа

x и

y

являются декартовыми координатами

(отсюда название «декартово произведение»). Декартово произведение R × R× R

состоит из троек чисел (x, y, z) ,

которые можно рассматривать как координаты

точки

M (x, y, z) в

трехмерном

пространстве.

Декартово

произведение

R × R×...× R

(п множителей) называют п-мерным арифметическим

пространством. Его обозначают Rn .

Пусть А – произвольное множество и п – натуральное число. Декартовой

п-ой степенью множества А называется множество, обозначаемое через An

и

состоящее

из

всевозможных

кортежей

длины

п

элементов из

А:

An ={(a1,...,an )ai A, i 1,n}.

В заключение перечислим основные свойства операций над множествами, обозначая буквами А, В, С произвольные множества.

1)A B = B A (коммутативность операции );

2)A ∩ B = B ∩ A (коммутативность операций ∩);

3)(A B) C = A (B C) (ассоциативность операции );

4)(A ∩ B)∩C = A ∩ (B ∩C) (ассоциативность операции∩);

5)A A = A (идемпотентность операции );

17

6)A ∩ A = A (идемпотентность операции ∩);

7)A (A ∩ B)= A ;

8)A ∩ (A B)= A ;

9)(A B)∩C = (A ∩C) (B ∩C);

10)(A B) C = A (B C);

11)(A B)\ C = (A \ C) (B \ C);

12)(A ∩ B)\ C = (A \ C)∩ (B \ C);

13)(A B)×C = (A ×C) (B ×C);

14)(A ∩ B)×C = (A ×C)∩ (B ×C);

15)A \ (B C)= (A \ B)∩ (A \ C);

16)A \ (B ∩C)= (A \ B) (A \ C);

17)A \ (B C)= (A \ B)\ C ;

18)A \ (A B)= ;

19)A \ (A ∩ B)= A \ B ;

20)A = A ;

21)A ∩ = .

Свойства 7), 8) называются законами поглощения, свойства 9) – 14) –

законами правой дистрибутивности операций умножения, сложения,

вычитания и декартова произведения ( ∩, , \, ×), относительно операций сложения и умножения ( , ∩).

Справедливость выписанных равенств следует непосредственно из определений операций над множествами и легко проверяется. Так, проверку равенства 12) можно записать в виде последовательности следующих утверждений:

a ( A ∩ B) \ C a A ∩ B, a C a A, a B, a C a A \ C, a B \ C

a ( A \ C) ∩ (B \ C) .

По аналогии с объединением и пересечением двух множеств можно ввести

объединение и пересечение произвольного семейства множеств Ai , i I :
IAi	={a				a Ai	для всех i I},
i I	={a				a Ai хотя бы для одного i I}.
UAi
i I						если I ={1, 2, ..., n}, то
В частности,							вместо IAi ,	UAi пишут
							i I	i I
			n			n
соответственно IAi ,						UAi , или A1 ∩ A2 ∩... ∩ An , A1 A2 ... An .
	i =1					i =1
Если	имеет место равенство A = UAi ,						то говорят, что	множество А
						i I

разложено в объединение своих подмножеств Ai , i I . Если при этом Ai ≠ при всех i I и Ai ∩ Aj = при i ≠ j , то говорят о разбиении множества А.

18

1.3 Отношения на множествах

Прежде чем определить строго понятие отношения, приведем примеры отношений из школьной математики. Такими примерами могут служить отношения «меньше», «больше» на числовых множествах, отношения параллельности и перпендикулярности на множестве прямых плоскости, отношение подобия многоугольников, отношение равносильности систем уравнений относительно одних и тех же неизвестных и т.д. В каждом случае отношение позволяет выделять из всех пар элементов множества такие пары (a, b) , в которых а связано этим отношением с b, например a < b, a ||b и т.п. В

связи с этим в общем случае принимается следующее определение: Отношением на множестве А называется любое подмножество декартова

квадрата A2 множества А.

Пусть ρ - любое отношение на множестве А. Тогда для любого элемента а из А можно определить подмножество [a]ρ ={b A: aρb}.

Так, если ρ есть отношение < на O O, то [a]ρ есть множество всех целых чисел, больших, чем а. Если ρ - отношение параллельности, то [a]ρ есть

множество всех прямых, параллельных прямой а, и т.д. Естественно возникает
вопрос: для каких отношений	ρ на А все различные подмножества типа [a]ρ
образуют разбиение множества А?
Отношение ρ на	множестве A ≠ называется отношением

эквивалентности, если оно обладает следующими свойствами:

1)ρ - рефлексивно, т.е. aρa для любого a A,

2)ρ - симметрично, т.е. aρb bρa для любых a, b A,

3)ρ - транзитивно, т.е. aρb, bρc aρc для любых a, b, c A.

В приведенных выше примерах отношениями эквивалентности являются отношения параллельности прямых, подобия многоугольников и равносильности систем уравнений.

Теорема Если ρ есть отношение эквивалентности на множестве А, то все попарно различные подмножества типа [a]ρ образуют разбиение

множества А.

Доказательство. Из определения соотношения эквивалентности видно, что a [a]ρ , и поэтому каждое из множеств [a]ρ не пусто и каждый элемент из А

содержится хотя бы в одном из таких подмножеств. Остается доказать, что любые
два подмножества [a]ρ , [b]ρ	либо совпадают,	либо	не пересекаются. Пусть
[a]ρ ∩[b]ρ ≠ , и x [a]ρ ∩[b]ρ . Тогда имеем соотношения: aρx и bρx . Из них,
используя свойства симметричности и транзитивности,			получим xρa и bρa . Если
с – любой элемент из [a]ρ , то имеем aρc , что вместе с bρa приводит к
соотношению bρc . Следовательно, c [b]ρ ,		т.е.	[a]ρ [b]ρ . Аналогично

доказывается и обратное включение. Таким образом, из наличия во множествах [a]ρ , [b]ρ одного общего элемента х следует их полное совпадение. Значит,

19

различные подмножества типа [a]ρ либо совпадают, либо не пересекаются.

Теорема доказана.

Если ρ есть отношение эквивалентности, то элементы, связанные отношением ρ , называются эквивалентными, а подмножества [a]ρ - классами

эквивалентности. Подчеркнем, что в этом случае все элементы одного класса эквивалентны между собой, а любые элементы из разных классов – не эквивалентны.

1.4 Отображения множеств

Большую роль в математике имеет установление связей между двумя множествами X и Y , связанное с рассмотрением пар объектов, образованных из элементов первого множества и соответствующих элементов второго множества. Особое значение при этом имеет отображение множеств.

Пусть X , Y - произвольные множества. Отображением множества X в множество Y называется всякое правило f, по которому каждому элементу

множества	X сопоставляется вполне	определенный (единственный)	элемент
множества Y .
Тот	факт, что f есть отображение X в Y , кратко записывают		в виде:
f : X →Y .
Применяют также обозначение		X R Y . Чаще отображения обозначают
буквами f, q, F.		f множества Х в множество	Y , надо
Итак, чтобы задать отображение

каждому элементу x X поставить в соответствие один и только один элемент y Y .

Если при этом элементу х из Х сопоставлен элемент y из Y, то y называют

образом элемента х, а х – прообразом элемента y при отображении f , что записывается в виде f (x) = y .

Из определения отображения f следует, что у каждого элемента x из Х образ единственный, однако для элемента y Y прообразов может быть много, а может и вообще не быть. Множество всех прообразов элемента y Y называется

его полным

прообразом

и

обозначается

через

f −1( y) . Таким

образом,

f −1( y) ={x X

f (x) = y}.

из А и

Естественным путем определяются образ

f ( A1)

подмножества

A1

прообраз f −1(B ) подмножества B

из В при отображении

f :

f (A )=

1

{f (a)}, f

1

{f −1(b)}.

U

−1(B

)=

U

1

1

a A1

b B1

НапримерU

,U пусть

A ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

и

f

-

отображение

А

в А,

сопоставляющее каждому элементу а из А остаток от деления а на число 4. Тогда имеем:

20

f (0) = 0, f (1) =1,

f (2) = 2,

f (3) = 3,

f (4) = 0,

f (5) =1, f (6) = 2 ;

f −1(0) ={0, 4},

f −1(1) ={1, 5}, f −1(2) ={2, 6},

f −1(3) ={3},

f −1(5) = ;

f ({0, 4, 5})={0, 1},

f −1({0, 1})={0, 1, 4, 5}.

В зависимости от свойств, образов и прообразов различают

отображения сюръективные, инъективные и биективные.

Отображение

f : X →Y называется сюръективным, если

f (X ) =Y , т.е.

каждый

элемент из

Y

отображается

хотя

бы

один элемент из

Х, или

f −1( y) ≠ при любом

y Y .

Отображение

f : X →Y

называется

инъективным,

если

разные

элементы множества Х отображаются в разные элементы множества

Y т.е.

f (x ) = f (x

2

) x = x

2

,

или

f −1( y)

является

либо

пустым,

либо

1

1

одноэлементным множеством при любом y Y . Инъективные отображения называются также вложениями.

Отображение f : X →Y называется биективным, или взаимно однозначным отображением X на Y , если оно сюръективно и инъективно,

т.е. если f −1( y)	есть одноэлементное множество при любом y Y . В этом
случае можно определить отображения ϕ : Y → X ,		положив для любого	y Y :
ϕ( y) = x f (x) = y . Оно называется обратным к f		и обозначается в виде	f −1 .
Изобразим для наглядности виды отображений.
X →Y	X →Y	X →Y

Сюръективное		Инъективное			Биективное
			Рисунок 12

Отображение множества А в себя называется преобразованием множества А. Биективное преобразование множества А называется

подстановкой множества А.

Примером подстановки множества целых чисел может служить отображение f : Z → Z , определенное равенством f (a) = a +1, a Z .

Заметим еще, что отображение f множества А в В называют также

функцией, заданной на множестве А со значениями в множестве В. При этом элемент f (a) называют значением функции f точке а. Само множество А

21

называют областью определения функции f , а множество f ( A) B - областью значений функции f .

Функцию f : A → B зачастую трактуют как переменную величину y ,

принимающую значения из В и так зависящую от переменной величины х, принимающей значения из А, что каждому значению а переменной величины х

соответствует вполне определенное значение f (a)			величины y . При этом пишут
y = f (x) и вместо «функция f » говорят «функция			f (x) ».
	РассмотримU	различные отображения и определим их виды.U

1) Пусть Х – множество окружностей на плоскости. Сопоставляя каждой окружности ее центр, получим отображение Х на Y . Это отображение f не

является инъективным, поскольку одна и та же точка может быть центром бесконечного множества окружностей. Но оно сюръективно, так как любая точка

– центр некоторой окружности. Поэтому обратное соответствие f −1 всюду определено, сюръективно, но не функционально.

2)	Соответствие	f : x → x2 , x R	является числовой функцией заданной
на всем множестве R действительных чисел. Множеством значений этой
функции является совокупность R1 неотрицательных чисел.				Так как R1 ≠ R , то
функция f	не сюръективна. Она и не инъективна, так как (−x)2 = x2 . Поэтому
она не имеет обратной функции.
3)	Отображение	f : x → x3 , x R	сюръективно и	инъективно: для

любого y R есть одно и только одно число x R такое, что x3 = y . Этим числом

является 3	y .
4)	Отображение f :x →	1	, x R	( R - множество неотрицательных
		1 + x2	1	1

чисел) множества R1 в себя всюду определено, инъективно, но не сюръективно.

Действительно, для дроби 1 +1x2 , выполнено 0 < 1 +1x2 ≤1.

Поэтому множеством значений этой функции является промежуток (0, 1] .

Обратная функция определена на этом промежутке и принимает неотрицательные значения.

5)				Отображение		f :Z → Z ,	определенное		правилом
2a,				a ≥ 0,
f (a) =	a		−1, a < 0,		является	инъективным	отображением. Оно	не	является
2
биективным,				поскольку f (Z ) = N0 ≠ Z . Однако, если таким				же	образом

определить отображение Z в N0 , то получим биективное отображение.

В теории и на практике часто приходится осуществлять последовательно различные отображения множеств. В связи с этим дадим определение:

Композицией отображений ϕ и f , где f : A → B , ϕ : B →C называется отображение f oϕ : A →C , определенное условием:

22

(ϕ o f )(a) =ϕ(f (a)).	(*)
Композиция ϕ o f отображений ϕ,	f называется также произведением
отображений f , ϕ и обозначается в виде	f ϕ , или fϕ . Таким образом x A :
(fϕ)(x) = (ϕ o f )(x) =ϕ(f (x)).

Отметим некоторые свойства композиций отображений.

1. Если f1 : A → B, f2 : B → C,	f3 : C → D ,
то (f3 o f2 )o f1 = f3 o(f2 o f1 ).	(**)

Для доказательства найдем образ элемента а из А при действии

отображений, записанных в левой и правой частях равенства (**). Из (*) имеем:

((f3 o f2 )o f1 )(a) = (f3 o f2 )(f 1 (a))= f3 (f2 (f1(a))), (f3 o(f1 o f2 ))(a) = f3 ((f1 o f2 )(a))= f3 (f2 (f1(a))).

Отсюда и следует (**).

2. Если отображение f1 : A → B , f2 : B → C сюръективны, инъективны и биективны, то соответственно таким же будет и отображение f2 o f1 .

Предлагаем читателю доказать это утверждение самостоятельно. Заметим, что в общем случае из биективности f2 o f1 не следует

биективность f1, f2 ; из сюръективности f2 o f1 следует сюръективность лишь f1,

аиз инъективности f2 o f1 следует инъективность лишь f2 .

3.Если f и ϕ - преобразования множества А, то их композиция ϕ o f также является преобразованием множества А.

1.5 Необходимые сведения о группах, кольцах, полях

Пусть дано некоторое множество А, содержащее хотя бы один элемент. Будем говорить, что в множестве А определена алгебраическая операция, если указан закон, по которому любой паре элементов а и b, взятых из этого множества в определенном порядке, ставится во взаимно однозначное соответствие некоторый элемент с, также принадлежащий этому множеству. Если эту операцию называют сложением, то элемент с называют суммой элементов а и b и обозначают символом а + b; если операцию называют умножением, то элемент с называется произведением элементов а и b и обозначают символом аb. В остальных случаях алгебраическую операцию будем обозначать символом *.

Алгебраическая операция * называется коммутативной, если результат ее применения не зависит от порядка элементов, т.е. для любых элементов а и b из рассматриваемого множества выполняется равенство a * b = b * a .

Алгебраическую операцию * называют ассоциативной, если для любых трех элементов а, b, с рассматриваемого множества выполняется равенство

(a * b) * с = a * (b * с) .

Если операция ассоциативна и коммутативна, то результат не зависит от

порядка расположения элементов в этом выражении.

Для алгебраической операции * часто приходится рассматривать наличие обратной операции, что равносильно решению уравнений a * x = b , y * a = b

23

относительно элементов x и y из множества А. Решение этих уравнений

приводит к правой и левой обратным операциям. В случае их существования будем говорить, что операция * имеет обратную операцию. Наличие обратной операции равносильно существованию для любого элемента рассматриваемого множества правого и левого обратных элементов.

Если для элемента а правый и левый обратные элементы совпадают, то этот единственный элемент называют обратным элементом к элементу а. В случае, когда алгебраическая операция названа сложением, обратный элемент к элементу а называют противоположным элементом для элемента а и обозначают символом – а; в случае, когда алгебраическая операция названа

умножением, обратный элемент к элементу а обозначается символом а−1 . Это позволяет операцию, обратную к умножению, записать в виде ba = ab−1.

Пусть в множестве К введены две операции – операция сложения и операция умножения. Говорят, что эти операции связаны законом дистрибутивности, если для любых элементов а, b, с из К выполняются соотношения (a + b)c = ac + bc , a(b + c) = ab + ac .

Группой называют множество с одной ассоциативной обратной операцией. Если алгебраическая операция в группе названа сложением, то группу называют аддитивной; если алгебраическая операция в группе названа умножением, то группу называют мультипликативной. Группу с коммутативной операцией называют абелевой; группу, состоящую из конечного числа элементов, называют конечной группой, а число элементов в группе –

порядком группы.

ПримерамиU U групп являются:

1.Множество всех целых чисел с операцией сложения чисел.

2.Множество всех четных чисел с операцией сложения чисел.

3.Множество всех чисел, кратных данному числу п, с операцией сложения чисел.

4.Множества всех векторов на прямой, на плоскости и в пространстве с операцией сложения векторов.

Если дана какая-либо группа G и подмножество Н, содержащееся в G , образует группу относительно алгебраической операции, заданной в G , то группу

Нназывают подгруппой группы G . Например, аддитивная группа всех четных чисел является подгруппой аддитивной группы всех целых чисел, которая сама

является подгруппой аддитивной группы всех действительных чисел. Множество К называют кольцом, если в нем определены ассоциативные

операции сложения и умножения, связанные законом дистрибутивности, причем операция сложения коммутативная и обладает обратной операцией – вычитанием.

Кольцо называют коммутативным, если в нем операция умножения коммутативная, и некоммутативным – в противном случае. Заметим, что любое кольцо является абелевой группой по сложению.

Коммутативное кольцо Р, в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный элемент относительно умножения, называют

полем.

ПримерамиU U полей являются:

24

1.Множество всех чисел вида a + b 2 , где а и b - рациональные числа,

соперациями сложения и умножения.

2.Множество, состоящее из двух элементов 0 и 1, с операциями

сложения и умножения, заданными равенствами 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1+1=0,

и 0 0 = 0 , 0 1 =1 0 = 0 , 1 1 =1.

В любом поле множество всех элементов является абелевой группой с операцией сложения, а множество всех ненулевых элементов – абелевой группой с операцией умножения. Отсюда следует, что операции сложения и умножения имеют обратные операции – вычитание и деление. Для этих операций используют те же обозначения, что и для одноименных числовых операций. Кроме того, для четырех операций (сложение, умножение, вычитание, деление) сохраняются

обычные

правила

преобразования выражений, а именно:

a

±

c

=

ad ± bc

,

b

d

bd

a

c

= ac

− a

= − a .

,

b

d

b

bd

b

Перечислим нужные нам в дальнейшем общие факты об элементах произвольного поля.

В поле Р определена операция, называемая сложением, которая каждой паре элементов а и b поля Р ставит в соответствие элемент а + b из Р, называемый суммой элементов а и b. При этом:

1)	сложение коммутативно, т.е. a + b = b + a для любых элементов а и b из
Р;	сложение ассоциативно, т.е. a + (b + c) = (a + b) + c для любых
2)

элементов а, b, с из Р;

3)в поле Р существует единственный элемент 0, называемый нулевым, такой, что a + 0 = a для любого элемента а из Р;

4)для любого элемента а из Р существует единственный элемент − a ,

называемый противоположным, такой, что a + (−a) = 0 (это свойство

обеспечивает существование операции, обратной к сложению, - вычитания).

В поле Р определена операция, называемая умножением, которая каждой паре элементов а и b из Р ставит в соответствие элемент аb из Р, называемый произведением элементов а и b. При этом:

1)умножение коммутативно, т.е. ab = ba для любых элементов а и b из Р;

2)умножение ассоциативно, т.е. a(bc) = (ab)c для любых элементов а, b, с

из Р;

3)в поле Р существует единственный элемент 1, называемый единичным, такой, что a 1 =1 a = a для любого элемента а из Р;

4)для каждого ненулевого элемента а из Р существует единственный

элемент a−1 , называемый обратным, такой, что a a−1 = a−1 a =1 (это свойство обеспечивает существование в поле Р операции, обратной к умножению, - деление).

В поле Р сложение и умножение связаны законом дистрибутивности, т.е. для любых элементов а, b, с из Р выполняется соотношение (a + b)c = ac + bc .

25

1.6 Вопросы для самопроверки

1Определите понятие множества (способы задания; обозначение множества, элементов множества).

2Равные множества, подмножество данного множества (определение, обозначение).

3Пересечение множеств (определение, обозначение).

4Перечислите свойства и операции пересечения множеств.

5Дайте определение объединения множеств (обозначение, иллюстрация).

6Перечислите свойства операции объединения множеств.

7Дайте определение дополнения к множеству A.

8Перечислите свойства операции дополнения.

9Определите разность двух множеств.

10Дайте определение кортежа длины n .

11Какие два кортежа называются равными?

12Определите отличия понятий кортежа и множества.

13Определите декартовое произведение множеств.

14Приведите примеры декартова произведения множеств.

15Определите n -мерное арифметическое пространство через декартово произведение.

16Что означает – декартовая n -ая степень множества A?

17Какие свойства операций над множествами называются законами поглощения?

18Перечислите законы правой дистрибутивности операций умножения, сложения, вычитания и декартова произведения относительно операций сложения

иумножения.

19Осуществите проверку равенства (A ∩ B)\ C = (A \ C)∩ (B \ C).

20Что означает объединение и пересечение произвольного числа

множеств?

21Что означает высказывание «множество A разложено в объединение своих подмножеств»?

22Сформулируйте определение отношения на множестве A.

23Приведите примеры отношений на множестве.

24Какое отношение на множестве называется отношением эквивалентности?

25Приведите примеры отношений эквивалентности.

26Сформулируйте и докажите теорему об отношении эквивалентности.

27Сформулируйте определение отображения множества X в множество

Y .

28 Что означает образ элемента, прообраз элемента в отображении f (x) = y ?

29Что означает – полный прообраз?

30Какие виды отображений вы изучили?

26

31Сформулируйте определение и приведите пример сюръективного отображения.

32Сформулируйте определение и приведите пример инъективного отображения.

33Сформулируйте определение и приведите пример биективного отображения.

34Сформулируйте определение композиции отображений.

35Сформулируйте и докажите свойства композиций отображений.

36Что означает понятие алгебраическая операция?

37Какая алгебраическая операция называется коммутативной?

38Какая алгебраическая операция называется ассоциативной?

39Что означает существование обратной алгебраической операции?

40Сформулируйте определение обратного элемента к элементу a (для сложения, для умножения).

41Сформулируйте определение группы.

42Какая группа называется аддитивной?

43Какая группа называется мультипликативной?

44Какая группа называется абелевой?

45Приведите примеры групп.

46Сформулируйте определение кольца.

47Какое кольцо называется коммутативным (некоммутативным)?

48Сформулируйте определение поля.

49Приведите примеры полей.

50Перечислите операции, определенные в поле и их свойства.

27