1.Числовой ряд, его сход-ть.

Определение: Формально записанная сумма бесконечного мн-ва чисел(1) наз-ся числовым рядом. Если послед-ть его частичных сумм{S_n}: S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, ,..., S_n=a₁+...+a_n=... имеет конечный пределlim S_n=S, то говорят, что ряд (1) сходится и имеет суммуS(в этом случае запись (1) не просто формальная запись, а выражает число). Еслиlim S_nне существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится (в этом случае (1) не выражает никакого числа, но еслиlim S_n=, то ряду (1)приписывают сумму бесконечности).

2.T-ма ( Критерий Коши сход-ти ряда).

[ряд (1) сходится]

(при достаточно больших номерах любой отрезок ряда делается сколь угодно малым по модулю).

 Сходимость ряда (1) равносильно сход-ти послед-ти частичных сумм {S_n}, а сход-ть послед-ти равносильна выполнению критерия Коши для послед-ти:, где

3.Определение:Рядназ-сяk-ым остатком ряда. Если этот ряд сход-ся, то его сумму обозначают.

Т-ма (о сход-ти остатка ряда)

k-ый остаток ряда сход-ся или расход-ся одновременно с самим рядом. В случае сход-ти суммаS=S_k+r _k (k-ая частичная сумма плюс сумма k-го остатка ряда)

При достаточно больших номерах (>k)ряд и его k-ый остаток имеют одинаковые отрезки ряда, поэтому критерий Коши для них выполняется или не выполняется одновременно так, что сам ряд и его остаток сход-ся или расход-ся одновременно. Пусть ряд (1) сход-ся:

lim S_n= S R,тогда при n>kбудетn=k+m, гдеm- некоторое натуральное числоS_n=a₁+a₂+...+a_k+a_k+1+...+a_k+m,где

_m=a_k+1+...+a_k+m- m-ая частичная сумма остатка рядаa_k+1+a_k+2+...+a_k+m+... Приn  S_n S, при этом m = n-k  (к-фиксированное) и потомуlim _m= r _k (т.к. по условию остаток ряда сход-ся). В пределе получаемS=S_k+r _k 

4.Следствие о роли конечного числа членов ряда .

Отбрасывание, добавление или изменение конечного числа членов ряда не влияют на его сход-ть (влияют только на сумму в случае сход-ти)

 При достаточно большом куказанные изменения не затрагиваютк-ый остаток ряда, ак-ый остаток ряда сходится или расходится одновременно с самим рядом

5.Т-ма (необходимые признаки сход-ти).

Если ряд (1) сходится, то:

1) n-ый член ряда стремится к нулю:lim a_n =0.

2)сумма k-ого остатка ряда, прик, стремится к нулю:lim r _k=0

 Пусть ряд (1) сходится, тогда:

1)lim S_n = S  lim S_n-1 = S  lim a_n = lim (S_n-S_n-1)= S - S = 0; 2) lim r_k =  т-ма о сход-ти ряда=lim(S-S_k)=S-lim S_k=S-S=0 

Из т-мы следует, что если lim a_n0, то ряд расходится, но условиеlim a_n=0 не гарантирует сход-ти ряда (это только необходимый признак, но не достаточный)

Пример:Геометрический ряд.

b+bq+bq²+...+bq^n-1+...=сходится приq<1 и расходится приq1  Приq1 a_nне стремится к0, чего не может быть. Необходимый признак сход-ти не выполнен ряд рассходится. Еслиq<1 ряд сходится и

Пример:Гармонический ряд.

расходится, т.к. , хотя необходимый признак выполнен:lim a_n=

6.Определение :Суммой рядовa_nиb_nи произведениемa_nна числоназ-ся ряды(a_n+b_n) и a_n.

Т-ма о линейных операциях с рядами.

Если рядыa_n и b_nсходятся, то их линейная комбинация(a_n+b_n)cходится к линейной комбинации сумм данных рядов:

 Пусть a_n=A, b_n=B, т.е.A= lima_i, B= limb_i , тогда для ряда С_n=(a_n+b_n) сущ-ет С = limC_i = lim(a_i+b_i) = для конечной суммы распределитель- ный и сочетательный законы верны == lim (a_i+b_i) = A+B, т.е.(a_n+b_n) = a_n + b_n  Признаки сходимости положительных рядов.

Если у ряда а₁+а₂+…+а_n+… (1) все члены а_n за исключением м.б. конеч. их числа имеют одинак. знак, то ряд наз-ся знакопостоянным : положительным - если а_n  0 и отриц-м – если а_n0.Т.к. отр. ряд можно получить из полож. умножением на –1, то дост. рассм. пол. ряды.

Теор Критерий сходимости положительного ряда.

Пол. ряд (1) сходится  посл-ть его частичных сумм ограничена.

 Ряд (1) сх-ся  сх-ся посл. Част. Сумм {Sn}. У пол. ряда. Эта посл. Монотонно возр-ет (Sn+1=Sn+a_n+1,a_n+10  Sn+1 Sn), а монот.посл. сх-сяона ограничена

7.Теор Признак сравнения в форме нер-ва.

Если сущ ( n₀): ( n>n₀)[anbn], то из сх-ти ряда bnсх-ть рядаan, а из расх. рядаanрасх. р.bn.

 Благодаря сл.1.5. можно счит., что нер-во вып-ся для всех номеров нач. с 1го (n)[anbn],

тогда ai bi. Если р.bnсх-ся, то по т.2.1. посл-ть его частич-х сумм огр-на:

biM тогда из (*) aiM, т.е. посл. част-х сумм рядаanогран-на, а это по 2.1. означ. что р.anсх-ся. Если р.anрасх. то расх и р.bnт.к. в прот. Случ. По док-му сх-ся бы р.an.

8.Теор Признак сравнения в пред форме.

Если сущ. Lim(an/bn)=kконеч. или бескон., то

1. при к=0; из сх-ти bnсх-тьan

2. при к=+; из расх-ти bnрасх-тьan

3. при 0<к<+; оба ряда сх-ся или расх. одновременно.

 Док-во анал-но док-ву соотв. Пр-ку сравнения несоб. Инт-ов 

9.Теор Признак Даламбера

Если сущ. lim(an+1)/an=D, то при D<1 ряд (1) сх-ся приD>1- расх-ся, причёмlim an=+

 Если lim(an+1)/an<1, то (q>0):[ lim(an+1)/an<q<1].По сл-ию о сохр. нер-ва Т-6.5. нач. с нек. номераn будет (an+1)/an<q. Благод. 1.5. мож. Счит., что (n)[ (an+1)/an < q],знач.(n)[a_n+1<anq]a2<a1q,a3<a2q<(a1q)q=a1q²a3<a1q²…an<a1q^n-1. Т.к. геом. р.a1q^n-1 при 0<1сх-ся, то по пр-ку срав. Сх-ся рядan. Пустьlim(an+1)/an>1, тогда (q):[ lim(an+1)/an>q>1]. При дост. больших номрахnбудет (an+1)/an>qa_n+1>anq, мож. счит., что это верно при всех ном-хn, отсюда ан-но предыдущему получаемan>a1q^n-1; ноlima1q^n-1=+ liman=+, ряд расх-ся.

10.Теор Радикальный признак Коши.

Если lim =c, то при с<1ряд сх-ся, приc>1- расх-ся, причёмliman=+

Самост. Ан-но теореме 2.4. Исп-ть ><qan><qⁿ

11.Теор Инт-й признак Коши.

Если члены ряда an являются знач-ми некот. неотр. убывающей ф-ииf(x), непрерывной на[1,+[: a1=f(1),a2=f(2),…,an=f(n),…, то ряд сх. Или расх. одноврем. с несоб. инт-ом(1to +)f(x)dx.

Сумма anвыраж. Площадь ступ. фигуры с беск. Основанием[0, +[, а (1to +)f(x)dx – пл-дь криволю трапеции с бескон основанием [1, +[ под графиком y=f(x). Утв-ся, что обе эти площади конеч. или бескон. одновременно.

 Согл. критерию сх-ти несоб. инт-ла от неотр. ф-ии инт-л сх-сяФ(х)=(1to x)f(t)dtограничена на[1, +[, а согл. кр-ю сх-ти +го ряда, ряд an сх-ся  посл-ть частич. Сумм {Sn} огр-на. Ввиду убывания f k<x<k+1f(k)f(x)f(x+1)akf(x)a _k+1  (k to k+1)akdx(k to k+1)f(x)dx(k to k+1)a _k+1dxak(k to k+1)f(x)dxa _k+1 (k=1 to n)ak(k=1 to n) (k to k+1)f(x)dx(k=1 to n)a _k+1  Sn(1 to n+1)f(x)dxS_n+1-a1SnФ(n+1)S_n+1-a1.

Если (1 to +) сх-ся, то{Ф(n+1)} ограничена, тогда из нер-ва S_n+1Ф(n+1)+a1что{ S_n+1}

Ограничена и потому anсх-ся. Если же(1to +) расх-ся, то{Ф(n+1)} неограничена, а из нер-ва SnФ(n+1) {Sn}неограничена и потому ряд расх-ся

12.Пример

(1/n^ ) – наз-ся общим гармоническим рядом (Дирихле), сх-ся при>1 и расх. при1.

 (1 to +)dx/x^ - сх-ся при>1 и расх. при 1. При >0ф-яf(x)=1/x^ будет убывающей, неотрицательной, непрерывной на[1, +[, причём f(n)=1/n^=an. Поэт. Согл. 2.6. данный ряд сх-ся или расх. одноврем. с интегралом.

При <0an=1/n^  +, а пр=0an=11 anне0ряд расх-ся. Т.о. при всех -<1 ряд расх., при>1сх-ся.

14.Теор Об абсолютной сходимости.

Если сходится |a_n|, то сх-ся и сам a_n.

 [|a_n|-сх-ся ](*крит Коши*)(>0)(n _):(m>n>n_)[||a_n||<|a_n|<].Но |a_n|||a_n|(>0)(n_):(m>n>n_)[|a_n|]<](*крит. Коши*)a_n сх-ся.

Определение

Если ряд |a_n| сх-ся, то говорят, что ряд a_n абс. сх-ся. Если сам ряд a_n сх-ся, а ряд |a_n| расх., то говорят, что a_n сх-ся неабсолютно(условно).

13.Определение

Ряд у которого полож. члены чередуются через один наз-ся знакочередующимся. Для зн.ч. ряда им-ся свой дост. признак. сх-ти.

Теор Признак Лейбница

Если у зн.ч. ряда n-й член стремится к 0 монотонно убывая, то ряд сх-ся, сумма ряда им. знак 1го члена ряда и не превосх. его по модулю.

 Пусть у зн.ч. ряда a1+a2-…-an+… lim |a_n|=0, |a1||a2||a3||an|=c_n тогда ряд запис. в виде с1-с2+с3-… (1),еслиa10 и –с1+с2-с3+… (2) если а10.

а10. Для частич. сумм с чёт. номерамиn=2kимеемS_2k=c1-c2+c3-c4+…+c_2k-1-c_2k=

{(c1-c2)+(c3-c4)+…+ c_2k-1-c_2k (3)

{c1-(c2-c3)-(c4-c5)-…-c_2k (4). Т.к. с1с2…, то все скобки0, поэтому (3) S_2k0, посл. {S_2k} возрастает: S_2k+2 = S_2k+ (c_2k+1-c_2k+2) S_2k. (4) S_2kc1. Т.о.{S_2k}возрастает и ограничена сверхуона имеет конеч.lim S, причём 0 S_2kс10 Sс1.

Для посл-ти частич. сумм с неч. номерами n=2kимеемS_2k-1=c1-c2+…+c_2k-1=(c1-c2+…+c_2k-1-c_2k)+c_2k=S_2k+c_2k

lim(k) S_2k-1=(*по усл.lim(k) c_2k=0*)= lim(k) S_2k=S. Теперь покажем, что вся посл-ть{S_n} имеет предел S. Зададим>0. Тогдаlim(k) S_2k=S(n1): (n=2kn1)[|S_n-S|<], аlim(k) S_2k-1=S(n2):(n=2k-1n2)[|S_n-S|<]. Возьмёмn_=max{n1,n2}. Тогда(n> n_)[|S_n-S|<].Это означ. Чтоlim S_n=S. Т.о. данный ряд сх-ся к сумме S, причём 0Sc1(*a10c1=a1*)0sa1.Ан-но в случаеa10док-ся, что ряд сх-ся кS, причём –с1S0(*а10-с1=а1*)а1S0.Т.о.S и а1 имеют один знак, причём|S||a1| 

Опр.Знакочер. ряд удовл. условиям признака Лейбница наз-ся рядом лейбницевского типа. Любой остаток ряда лейб. типа есть т.ж. ряд лейб. типа, поэт верно следствие:

Следствие Об остатке ряда лейб. типа.

Любой n-й остаток ряда л.типа имеет знак 1-го члена этого остатка (т.е. членаa_n+1) и не превосх. его по модулю :|r_n||a_n+1|