РГР Дифуры [15 вариант]

5 _ 05 _15

2 y2 dx+(x +e1/ y ) dy = 0, y |x=e =1

2 dx

1/ y

2 y

dy = −(x +e

)

x = uv

2 y2 (u 'v +uv ') = −uv −e1/ y

2 y2u 'v + 2 y2uv '+uv = −e1/ y

v(2 y2u '+u) + 2 y2uv ' = −e1/ y

2

u ' = −u

2 y2 du

= −u

−

du

=

dy

2

2 y

dy

u

2 y

2

1 / y

2 y

uv ' = −e

2

1 / y

2

1 /

= −e

2 y uv '

2 y uv ' = −e

u = e

u = e

1/(2 y)

u = e

1/(2 y)

(1)

1/(2 y)

= −e1/ y

v ' = −

e1/(2 y)

2 y2 e1/(2 y) v '

2

v = e1/(2 y)

2 y

y|x=e =1 C = 0 x = e1/ y

1

t =1/(2 y)

1

e

2 y

(1)∫−

dy =

dt =

−1

dy

= ∫et dt = et +C = e

2 y

+

2 y

2

2 y2

−ln u = −1/ 2 y
	2	1/ y
y 2 y		uv ' = −e

+C x = uv = e1/ y +C e1/(2 y)

C

5 _ 06 _15

y '− y = 2xy2 , y(0) =1/ 2

−

1

dy

+

1

= −2x

y2

dx

y

z =1/ y dz

= −

1

dy

y2

dx

dx

z '+ z = −2x

z = uv

u 'v +uv '+uv = −2x

v(u '+u) +uv ' = −2x

u ' = −u

du

= −u

du

= −dx

u

dx

u

uv ' = −2x

v '

uv ' = −2x

uv ' = −2x

z = uv = 2(1 − x) +Ce−x

=1/ y

y =

1 =

1

2(1 − x) +Ce−x

z

y(0) =1/ 2 C = 0

y =

1

2(1 − x)

(1)∫−2xex dx = −2∫x ex dx =

dv = ex dx

v = ex

du = x; du = dx

= −2ex (x −1)+C = 2ex (1 − x)+C

= e			u = e
	−x	(1)		−x
= −2xex
			v = 2ex (1		− x) +C

=−2 x ex − ∫ex dx =

5 _ 08 _15
yy′= −2x ,	M (4, 2).

построимполенаправлений дляданногодиф. уравнения. Изоклины, соответствующиенаправлениямполяс угловымкоэффициентом

равнымk есть y = −2kx

интегральныекривыеимеютвид:

y dxdy = −2x

2 y dy = −xdx

2 y2 = −x2 +C

2 y2 + x2 =C

M (4,2) C = 24

те. .

2 y2 + x2 = 24

5 _ 09 _15

M0 (1, −1), a : b =1: 3

уравнениекасательной y −Y = y '(x − X )

где(x, y) −координатыпроизвольной точкиискомой линии

по условию

KN

=

a

b

NM

xN

+KON ~+NML

KN

=

ON

=

a

NM

x − xN

b

NL

точка N(xN ;0) принадлежиткасательной

y = y '(x − xN ) bxN

= ax −axN xN =

a

x

a

+b

a

y

x = x −

a +b

y '

y

=

b

x

dy

=

a +b

y

y =Cx

a+b

b

y '

a +b

dx

b

x

M0 (1, −1), a : b =1: 3 C = −1

y = −x4 / 3

5 _12 _15

y '''− y ' = 3x2 −2x +1 − линейноенеоднородноедифференциальное уравнение характеристическое уравнение

k3 −k = 0 k = 0, k =1, k = −1

общее решение линейногооднородногодифференциального уравнения

y

общ

= C +C

e−x +C ex

1

2

3

частное решение линейногонеоднородногодифференциального уравнения

y = x(ax2 +bx +c) = ax3 +bx2 +cx

час

′

2

yчас

= 3ax

+ 2bx +c

′′

= 6ax + 2b

yчас

′′′

= 6a

yчас

′′′

′

2

yчас

− yчас

= 3x

−2x +1

6a −3ax2 −2bx −c −3x2 + 2x −1 = 0

6a =1 +c

6 (−1) =1 +c

a = −1

+ a = 0

−3(1 + a)x2 +(2 −2b)x +6a −c −1 = 0 1

a = −1

b =1

= 2b

2

b =1

c = −7

y = x(−x2 + x −7)

час

y = y

общ

+ y = C +C

e−x

+C ex − x3

+ x2 −7x

час

1

2

3