Чебанова Н.А., Гильмутдинова А.Я., Чебанов В.И. Сборник тестовых заданий по математике для ВУЗов [часть 1]

Н.А.ЧЕБАНОВА, А.Я.ГИЛЬМУТДИНОВА, В.И.ЧЕБАНОВ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ

УФА 2002

Министерство образования Российской Федерации Уфимский государственный авиационный технический университет

Н.А.ЧЕБАНОВА, А.Я.ГИЛЬМУТДИНОВА, В.И.ЧЕБАНОВ

СБОРНИК ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВУЗОВ

ЧАСТЬ 1

Рекомендовано Государственным комитетом Российской Федерации по высшему образованию в качестве учебного пособия для студентов технических направлений и инженерных специальностей высших учебных заведений

2-е издание

УФА 2002

Авторы: Н.А. Чебанова, А.Я. Гильмутдинова, В.И. Чебанов

УДК 51(07) ББК 22.1(Я7)

Ч34

Ч34 Сборник тестовых заданий по математике для вузов: Учебное пособие. Ч. 1 / Н.А. Чебанова, А.Я. Гильмутдинова, В.И. Чебанов; Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. - 2-е изд. -Уфа: УГАТУ, 2002. - 158 с.

ISBN 5-86911-068-8

Содержатся тестовые задания по теории и ее практическим приложениям в объеме базового курса высшей математики для технических университетов. В первой части предлагаются пакеты тестовых заданий по линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии, теории пределов, дифференциальному исчислению функции одной переменной.

Предназначается для унифицированного контроля знаний студентов первых курсов технических университетов, может быть использовано в качестве информационно-методического обеспечения государственного образовательного стандарта по математике в вузовском образовании.

Библиогр.: 8 назв.

Научный редактор:	д-р пед. наук, профессор В.С. Аванесов.
Рецензенты: кафедра математического анализа БГПИ,
	д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. Института
	математики с ВЦ УНЦ РАН А.Б. Секерин.
ISBN 5-86911-068-8	© Уфимский	государственный
	авиационный		технический
	университет,		1995
	© Уфимский	государственный
	авиационный		технический
	университет,		2002
	© Н.А.Чебанова,А.Я.Гильмутдинова,
	В.И. Чебанов,		2002

СОДЕРЖАНИЕ

	Предисловие .................................................................................................................				.. 4
1. Пакеты тестовых			заданий по тематическому		модулю
	"Линейная алгебра" ..............................................................................				.....14
2.	Пакеты	тестовых	заданий по	тематическому	модулю
	"Векторная алгебра".................................................................................				.42
3.	Пакеты тестовых		заданий по	тематическому	модулю
	"Аналитическая геометрия"........................................				............................ 62
4.	Пакеты	тестовых	заданий по	тематическому	модулю
	"Теория пределов"......................................................................................				90
5.	Пакеты	тестовых	заданий по	тематическому модулю
	"Дифференциальное исчисление функции одной
	переменной" (часть 1)..............................................................................				112

6.Пакеты тестовых заданий по тематическому модулю "Дифференциальное исчисление функции одной

переменной" (часть 2)..............................................................................	141
Список литературы......................................................................................	157

3

		ПРЕДИСЛОВИЕ
В пособии предлагаются критериально-ориентированные					гомогенные
пакеты	тестовых	заданий	для	текущего	контроля,

которые позволяют четко и объективно определить знания, умения и навыки по конкретной области содержания базового курса математики. Экспериментальные пакеты тестовых заданий по заявленным модулям были апробированы в УГАТУ: участвовали 600 студентов разных направлений бакалаврской подготовки. Проанализировав результаты тестирования и замечания опытных преподавателей, не участвовавших в

разработке	контрольных	материалов,	авторы	усовершенствовали
тестовые задания и увеличили их число			в каждом	модуле. Моди-

фицированные пакеты тестовых заданий, предлагаемые в пособии, позволяют интенсифицировать и своевременно переструктурировать процесс обучения.

Обучение вообще, и в частности математике, - отнюдь не равномерный, а скорее скачкообразный процесс. У каждого свои способности и склонности, а значит, у каждого свой путь к достижению

математической	культуры	(и	по	времени,		и по маршруту).			Но
нет такого знания, которое		познано одним			человеком		и	не может
быть познано другим. Для		каждой	задачи		существует		оптимальный
язык, на котором ее следует решать. Важнейший этап								решения -
поиск такого языка и последующий перевод. Сделать								перевод	на
другой язык -	значит, логично и		четко сформулировать					задание.	А
это не так просто. Здесь предлагаются краткие, четкие,								красивые
формулировки	теоретических	тестовых		заданий,		изящные,			без

громоздких вычислений, задания на практическое применение усвоенной

теории.	И если	после лекций		или	книг по	математике	студент
в первый момент невольно вздыхает:					"Правда,	в голове	у	меня
теперь полно всяких			мыслей ...	только	вот о чем они - не знаю!",
то после	работы	с	тестами он	твердо	определит,	что усвоил, а		что

нет из содержания соответствующего раздела. Преподавателю тестовый

контроль позволяет объективно и качественно		оценить		структуру
знаний и эффективно измерить их	уровень у	каждого		студента
группы.
Для адекватного отображения тщательно отобранного содержания
контролируемых разделов используются четыре		формы		тестовых
заданий: открытая, закрытая, на	соответствие	и	дополнение.

4

Например,задание по теоретическому	материалу в закрытой форме:
Если последовательность	имеет	конечный предел, то
она

А.Ограничена сверху, но не ограничена снизу Б.Ограничена снизу, но не ограничена сверху В.Ограничена.

Студент

выбирает

правильный

ответ

и

пишет: Ответ: В.

Если

задание в

открытой

форме,

то студент

должен написать

ответ сам, например:

Геометрический

смысл коэффициентов

l, m,

n в уравнениях

прямой

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

есть ______________________________.

l

m

n

Ответ: (l,m,n)-координаты направляющего вектора этой прямой.

Задания на соответствие предполагают умение выбирать правильный ответ для каждого условия. Например:

Установить соответствие

Произведение

Результат

векторов

1.

А.

0

j

j

Б.

1

2.

k

j

В.

-1

Г.

2

Ответ: 1. Б,

2. А.

В заданиях

на доказательство,

например:

Формулировка

теоремы

о

производной

обратной функции

такова_____________________. Доказательство.______________________,

студент

должен

сформулировать

теорему

и

доказать

ее.

Тестовый

контроль

проводится

сразу

после

изучения

соответствующего

раздела

математики

с

интервалом в

2-4 недели

в

течение

семестра

в

зависимости

от

объема

модуля.

На

одно контрольное

тестирование

отводится

2

академических

часа.

Рекомендуется

использовать

для

оценки

номинальную

шкалу:

1балл

- за

правильный

ответ,

0 баллов

-

в

противном

случае.

Тест

должен

быть

выполнен

четко,

с

полным

обоснованием ответов

5

как	теоретических,		так	и	практических заданий.				Оценка
«удовлетворительно»			выставляется		за не менее		50 %, "хорошо"			-за
не	менее 75 %,	«отлично» - за			98-100 % решенных			заданий		из
теоретической и		практической		частей		теста	соответственно.
	Технология	использования		пособия		следующая:		перед	началом

тестирования раздаются сборники и листы бумаги для ответов, указывается номер пакетa тестовых заданий, обозначается время начала и окончания контроля. По завершении тестирования cтуденты

сдают полученные материалы, листы с	ответами	(в	книге	никто
ничего не пишет).
При проверке работ рекомендуется	выставлять	суммарный		балл.

Просматривая проверенные работы, студенты сравнивают свой балл с эталонным и самостоятельно оценивают уровень своих достижений, что

исключает

ситуации,

связанные

с

субъективными

факторами

оценки в системе "преподаватель-студент".

Тестирование при текущем контроле знаний может быть

интегрировано

с

обучением,

так

как

помогает студенту

обнаружить

и

исправить

ошибки

в

усвоении

учебного

материала,

а

преподавателю

своевременно

скорректировать

методику

обучения.

В процессе работы над пособием авторы придерживались программ по

математическим

дисциплинам,

составленных

в

соответствии

с

требованиями

Государственных

образовательных

стандартов

для

технических

направлений

бакалаврской

подготовки

иинженерно-

технических специальностей, сгруппированных по

признаку

близости

содержания

и

объема

часов,

выделенных

на

их

изучение.

Предлагаемые в

первой

части

сборникa

пакеты

тестовых

заданий

разработаны

в

соответствии

с

программами

по

математическим дисциплинам, выделяющими на изучение рассматриваемых разделов 150-300 часов, состоящими из следующих модулей.

6

ЛИ Н Е Й Н А Я А Л Г Е Б Р А

1.Определители второго и третьего порядков, их свойства, способы вычисления. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n-го порядка. Вычисление определителя разложением по строке

(столбцу). Матрицы, линейные	операции	и их свойства.
Умножение матриц, понятие обратной матрицы.

2.Системы двух и трех линейных уравнений. Матричная запись системы линейных уравнений. Правило Крамера.

3. Понятие линейного пространства. Линейная независимость, базис

и размерность линейного пространства. Пространство Rn.

4.Ранг матрицы, его свойства. Теорема о базисном миноре. Элементарные преобразования матриц.

5.Системы линейных уравнений, условия их совместности. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных уравнений методом

полного исключения (методом Гаусса). Однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений. Структура общего решения системы линейных уравнений.

ВЕ К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А

1.Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.

Пространства R2 и R3. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора. Коллинеарные, компланарные векторы. Линейная

	зависимость векторов.
2.	Базис на	плоскости	и в	пространстве. Координаты				вектора и
	линейной комбинации векторов в данном базисе. Действия над
	векторами,	заданными своими координатами. Координаты и
	проекции вектора в ортонормированном базисе.
3.	Скалярное	произведение		векторов	и	его	свойства. Выражение
	скалярного произведения через координаты сомножителей. Длина вектора
	и угол	между	двумя	векторами.		Условие ортогональности
	двух векторов. Механический и геометрический смысл скалярного
	произведения.
4.	Векторное	произведение		двух	векторов.		Выражение через
	координаты	сомножителей.		Механический			смысл	векторного
	произведения и геометрический смысл его модуля.
								7

5. Смешанное	произведение	трех векторов,	его свойства, выражение
через координаты его		сомножителей.	Геометрический смысл
смешанного	произведения.	Условие компланарности трех векторов.

АН А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я

1.Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и

	перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой						на
	плоскости.
2.	Различные формы уравнения плоскости и прямой в					пространстве.
	Расстояние от точки до плоскости и прямой в пространстве.					Угол между
	плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и					плоскостью.
	Условия параллельности		и перпендикулярности двух			плоскостей и
	прямой с плоскостью.
3.	Кривые второго порядка:		окружность,		эллипс, гипербола, парабола,
	их	геометрические	свойства	и	канонические	уравнения.

Фокальные свойства. Изображение кривых, заданных каноническими уравнениями.

4. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Конусы. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды.

Геометрические		свойства	этих	поверхностей,	исследование
их	форм	методом	сечений.	Изображение	поверхностей
второго порядка, заданных каноническими уравнениями.

ТЕ О Р И Я П Р Е Д Е Л О В

1.Понятие множества. Операции над множествами. Числовые

множества,	промежутки. Ограниченные	и	неограниченные
множества.	Понятие верхней и нижней	грани.

2.Последовательности. Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся числовой последовательности. Монотонные последовательности, их пределы. Арифметические действия над последовательностями, имеющими

предел.	Теорема		о	предельном переходе в неравенствах.
Бесконечно		малые и		бесконечно большие последовательности,
связь	между		ними .	Необходимое	и достаточное условие

8

	существования конечного предела. Принцип вложенных отрезков.
3.	Понятие	функции,		способы ее		задания.		Сложные			функции.
	Элементарные функции. Два определения предела функции в точке.
	Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы.
	Ограниченность функции, имеющей предел. Бесконечномалые функции
	и их	свойства.		Произведение		бесконечно			малых		функций.
	Частное	от	деления бесконечно			малой	функции на				функцию,
	имеющую предел, отличный от нуля.					Предел суммы,			произведения и
	частного		функции.		Переход	к	пределу		в	неравенствах.
	Замечательные пределы, следствия. Сравнение бесконечно малых
	функций.	Эквивалентные			бесконечно малые.			Замена			бесконечно
	малых	эквивалентными при вычислении пределов. Бесконечно
	большие функции. Связь между бесконечно большими и бесконечно
	малыми функциями. Символы "O" и "o".
4.	Непрерывность		функции.		Непрерывность			основных		элементарных
	функций. Свойства непрерывных в точке функций: непрерывность
	суммы,	произведения, частного. Непрерывность сложной и
	обратной функции. Односторонняя непрерывность.Точки разрыва
	функции и их классификация. Непрерывность функции на отрезке.
	Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность,
	существование			наибольшего		и	наименьшего				значений,
	существование промежуточных значений. Свойство монотонной
	функции. Обратная функция и ее непрерывность.

ДИ Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Е И С Ч И С Л Е Н И Е

ФУ Н К Ц И И О Д Н О Й П Е Р Е М Е Н Н О Й

1.Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Производная суммы, произведения и частного. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные элементарных функций. Таблица производных.

2.Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференциал функции. Связь с производной. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных

вычислениях. Производная и дифференциал	высших порядков.
Параметрически заданные функции и их	дифференцирование.
Дифференцирование функции, заданной неявно.

9