Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика (Решебник)

Р Е Ш Е Б Н И К

О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова

ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ

2001

У Д К 51 Б Б К 22.1

362

Зи м и н а О.В., К и р и л л о в А.И., С а л ь н и к о в а Т. А. Высшая ма­ тематика. — 2-е изд., испр. — М.: Физико-математическая литература, 2001. - 368 с. (Решебник.) - ISBN 5-9221-0126-9.

Книга содержит примеры решения почти всех типовых задач по высшей математике. Каждой задаче отведен отдельный раздел, содержащий обшую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теоретическими пояс­ нениями и решение конкретного примера. Кроме того, в раздел включены десять задач для самостоятельного решения и ответы к ним.

Для студентов и преподавателей технических, экономических и сель­ скохозяйственных вузов; может быть использована как при очной, так и при дистанционной формах обучения.

Ил. 6.

Первое издание — 2000 г.

	© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2001
	(с) О.В. Зимина, А.И. Кириллов,
ISBN 5-9221-0126-9	Т.А. Сальникова, 2000, 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ

П Р Е Д И С Л О В ИЕ		7
Г л а в а ! . А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я ГЕОМЕТРИЯ		11
1.1.	Разложение вектора по базису	11
1.2.	Коллинеарность векторов	13
1.3.	Угол между векторами	14
1.4.	Площадь параллелограмма	15
1.5.	Компланарность векторов	17
1.6.	Объем и высота тетраэдра	18
1.7.	Расстояние от точки до плоскости	21
1.8.	Уравнение плоскости с данным нормальным вектором . . . .	23
1.9.	Угол между плоскостями	24
1.10. Канонические уравнения прямой		25
1.11. Точка пересечения прямой и плоскости		28
1.12. Проекция точки на плоскость или прямую		31
1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости		33
Г л а в а 2 . ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА		36
2.1.	Правило Крамера	36
2.2.	Обратная матрица	39
2.3.	Понятие линейного пространства	41
2.4.	Системы линейных уравнений	44
2.5.	Линейные операторы	53
2.6.	Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора	55
2.7.	Действия с операторами и их матрицами	59
2.8.	Преобразование координат вектора	62
2.9.	Преобразование матрицы оператора	65
2.10. Собственные значения и собственные векторы		68
Г л а в а З . П Р Е Д Е Л Ы		71
3.1.	Понятие предела последовательности	71
3.2.	Вычисление limn-^oo[i\(^)/Qm(n)]	73
3.3.	Вычисление limn->oo[/(^)/p('^)]	75
3.4.	Вычисление Итп^оо[и{пУ^'^^]	77
3.5.	Понятие предела функции	79
3.6.	Понятие непрерывности функции в точке	82
3.7.	Вычисление limx-^a[Pn{x)/Qm{x)]	84

	Оглавление
3.8.	Вычисление \imx-^o[f (х)/д{х)]	86
3.9.	Вычисление \imx^a[f{x)/g{x)]	88
3.10. Вычисление \imx-^o[u{xy^''^^		89
3.11. Вычисление \imx-^a[u{xy^''^^		92
3.12. Вычисление limx->.ai^(w(a;)i'(a:) +/(ж))		94
Г л а в а 4 . Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И Р О В А Н И Е		97
4.1.	Понятие производной	97
4.2.	Вычисление производных	99
4.3.	Уравнение касательной и нормали	102
4.4.	Приближенные вычисления с помощью дифференциала . . . .	103
4.5.	Логарифмическое дифференцирование	104
4.6.	Производная функции, заданной параметрически	106
4.7.	Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически .	108
4.8.	Производные высших порядков	110
4.9.	Формула Лейбница	112
4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически . . .		114
Г л а в а б . Г Р А Ф И К И Ф У Н К Ц И Й		117
5.1.	Общая схема построения графика функции	117
5.2.	Наибольшее и наименьшее значения функции	124
5.3.	Исследование функции с помощью производных высших по­
	рядков	126
Г л а в а б . Ф У Н К Ц И И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . .		129
6.1.	Частные производные	129
6.2.	Градиент	131
6.3.	Производная по направлению	133
6.4.	Производные сложной функции	135
6.5.	Производная неявной функции	138
6.6.	Касательная плоскость и нормаль к поверхности	140
6.7.	Экстремум функции двух переменных	142
Г л а в а 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ		146
7.1.	Интегрирование подведением под знак дифференциала . . . .	146
7.2.	Интегрирование по частям	148
7.3.	Интегрирование рациональных функций с простыми вещест­
	венными корнями знаменателя	150
7.4.	Интегрирование рациональных функций с кратными вещест­
	венными корнями знаменателя	153
7.5.	Интегрирование рациональных функций с простыми комп­
	лексными корнями знаменателя	157
7.6.	Интегрирование выражений Я(8Шж, cos х)	161
7.7.	Интегрирование выражений sin^*^ ж cos^'^ ж	165

	Оглавление
7.8.	Интегрирование выражений Д(ж, f/^f^,		f/~^,	. . . ) . . .	167
7.9.	Интегрирование выражений R{x,	yjo? db ж^) и Я(ж, \/х2 — а^)			169
7.10. Интегрирование дифференциального бинома					172
Г л а в а 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ					175
8.1.	Подведение под знак дифференциала				175
8.2.	Интегрирование по частям				177
8.3.	Интегрирование выражений il(sin ж, cos ж)				179
8.4.	Интегрирование выражений sin^"^ X, cos^" ж				183
8.5.	Интегрирование выражений К{х,	\1 ^ ^ ,	l / ^ ^ '	. . . ) . . .	185
%.Q.	Интегрирование выражений R{x,	Va?T^)	и R{x,	Vx^ - а2)	188
8.7.	Вычисление площадей в декартовых координатах				190
8.8. Вычисление длин дуг у = f{x)					192
8.9.	Вычисление длин дуг х = х{1), у = y{t)				194
8.10. Вычисление длин дуг Q = д{(р)					196
8.11. Вычисление объемов по площадям поперечных сечений . . .					197
8.12. Вычисление объемов тел вращения					199
Г л а в а 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ					202
9.1.	Криволинейные интегралы первого рода				202
9.2.	Криволинейные интегралы второго рода				207
Г л а в а	10. Р Я Д Ы				211
10.1.	Понятие суммы ряда				211
10.2.	Первая теорема сравнения				214
10.3.	Вторая теорема сравнения				217
10.4.	Признак Даламбера		•		219
10.5.	Признак Коши				. 222
10.6.	Интегральный признак Коши				225
10.7.	Признак Лейбница				227
10.8.	Приближенное вычисление суммы ряда				229
10.9.	Область сходимости функционального ряда				231
10.10. Область сходимости степенного ряда					234

10.11.Вычисление суммы ряда почленным интегрированием . . . . 237

10.12.Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием . 241

10.13. Ряд Тейлора		245
10.14. Приближенные вычисления с помощью рядов		247
Г л а в а 11. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Е УРАВНЕНИЯ		251
11.1.	Понятие решения	251
11.2.	Уравнения с разделяющимися переменными	252
11.3.	Однородные уравнения	255
11.4.	Линейные уравнения 1-го порядка	257

Оглавление

11.5.Уравнение Бернулли

11.6.Уравнения в полных дифференциалах

11.7.Уравнения вида F(x,y(^\2/(''+^)) = О

11.8.Уравнения вида F(у,у',2/") = О

11.9.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

11.10.Принцип суперпозиции

11.11.Метод Лагранжа

Гл а в а 12. К Р А Т Н Ы Е ИНТЕГРАЛЫ

12.1.Изменение порядка интегрирования

12.2.Двойной интеграл в декартовых координатах

12.3.Двойной интеграл в полярных координатах

12.4.Интеграл в обобщенных полярных координатах

12.5.Вычисление объемов с помощью двойного интеграла

12.6.Вычисление площадей в декартовых координатах

12.7.Вычисление площадей в полярных координатах:

12.8.Вычисление массы плоской пластины

12.9.Тройной интеграл в декартовых координатах

12.10.Тройной интеграл в цилиндрических координатах

12.11.Тройной интеграл в сферических координатах

12.12.Вычисление объемов с помощью тройного интеграла

12.13.Вычисление массы тела

Гл а в а 13. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

13.1.Поверхностный интеграл первого рода

13.2.Интеграл по цилиндрической поверхности

13.3.Интеграл по сферической поверхности

Гл а в а 1 4 . ТЕОРИЯ ПОЛЯ

14.1.Векторные линии

14.2.Поток векторного поля

14.3.Поток векторного поля через часть цилиндра

14.4.Поток векторного поля через часть сферы

14.5.Вычисление потока по формуле Остроградского

14.6.Работа силы

14.7.Циркуляция векторного поля

14.8.Вычисление циркуляции по формуле Стокса

262

265

269

271

. . . . 274 278 281

285

285

289

292

297

. . . . 301 304 307 310 315 318 321

. . . . 325 328

333

333

336

339

342

342

344

348

351

355

357

359

361

ПРЕДИСЛОВИЕ

В толковом словаре русского языка под редакцией профессора Д.Н. Уп1акова сказано, что решебник — это учебное пособие, содер­ жащее подробные решения задач, помещенных в каком-нибудь задач­ нике, ключ к задачнику. РЕШЕБНИК "Высшая математика" — ключ сразу к нескольким основным задачникам, используемым при изуче­ ния математики, среди которых в первую очередь следует упомянуть изданный в сотнях тысяч экземпляров "Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты)" Л. А. Кузнецова. В дополнение к этой книге распространяется пакет программ РЕШЕБНИК.ВМ, ко­ торый помогает решать задачи, выполняя по указанию учащихся все­ возможные математические действия.

Чтобы приобрести устойчивый навык решения задач одного типа, нужно решить три-пять таких задач. Однако, решение объективно необходимого количества задач не предусмотрено действующими учебными планами по двум причинам.

Во-первых, даже без повторений стандартный объем обязатель­ ных домашних заданий превосходит все разумные пределы.

Во-вторых, в имеющихся задачниках собраны разнообразные за­ дачи, среди которых редко встречается несколько задач в точности одного и того же типа.

Выходит, что студенты должны все понять решив одну-две за­ дачи. При этом их внимание отвлекается от сути дела на второсте­ пенные или уже пройденные вопросы, а также на выполнение различ­ ных преобразований и расчетов.

Более того, чтобы научиться решать задачи, нужно самостоя­ тельно выполнять все действия, все "потрогать руками". Но сту­ денты не могут сами выполнить все действия, поскольку на выполне­ ние всех действий вручную требуется слишком много времени. Сту­ денты не могут все "потрогать руками", поскольку чтобы познако­ миться со всеми математическими действиями и ситуациями, нужно решить столько задач, на решение которых у студентов нет времени.

По этим причинам студенты, как правило, не решают задачи пол­ ностью и, следовательно, не до конца уясняют себе их суть. Напри-

8	Предисловие

мер, у студентов часто нет времени на графическое представление ответов задач и их анализ, а также на анализ и проверку промежу­ точных результатов. Некоторые важные и интересные задачи имеют столь громоздкие решения, что преподаватели не могут предложить их студентам.

В результате у студентов остаются более или менее обширные пробелы в знани^ях.

Комплекс РЕШЕБНИК "Высшая математика" предназначен для того, чтобы устранить эти проблемы современного математического образования. Он — первый опыт создания учебного пособия нового типа, с которым возможно разнообразное обш,ение: от пассивного чтения до внесения в него изменений и получения ответов на вопросы. Такое пособие в процессе работы адаптируется к потребностям учапцегося и помогает ему применять на практике полученные из пособия знания.

Комплекс РЕШЕБНИК "Высшая математика" поможет студен­ там учиться по-новому, т.е. без ленужных трудностей и потерь вре­ мени, оптимальным образом организуя взаимодействие человека и компьютера, при котором дело человека — правильно ставить за­ дачи, а дело компьютера — быстро и правильно их решать.

Комплекс РЕШЕБНИК "Высшая математика" состоит из книги РЕШЕБНИК "Высшая математика" и пакета компьютерных про­ грамм РЕШЕБНИК.ВМ.

Книга РЕШЕБНИК "Высшая математика" содержит примеры ре­ шения почти всех типовых задач из таких разделов высшей матема­ тики, как аналитическая геометрия, линейная алгебра, пределы, диф­ ференцирование, графики, функции нескольких переменных, неопре­ деленные, определенные и криволинейные интегралы, ряды, обыкно­ венные дифференциальные уравнения, кратные и поверхностные ин­ тегралы, векторный анализ.

Каждой задаче отведен отдельный раздел книги, содержащий об- ш;ую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теорети­ ческими пояснениями и решение конкретного примера. Кроме того, в раздел включены задачи того же типа и ответы к ним. Препода­ ватели могут предложить часть из них на аудиторных практических занятиях, другие — в виде домашних заданий, остальные использо­ вать в контрольных работах, на коллоквиумах, зачетах и экзаменах.

Чтобы научиться решать задачи того или иного типа, рекоменду­ ется сначала изучить план решения (алгоритм) в обш;ем виде, затем

Предисловие

9

рассмотреть пример реализации плана в конкретном случае и затем по аналогии с ним решить несколько задач из числа предлагаемых для самостоятельного решения.

Пакет РЕШЕБНИК.ВМ состоит из документов MS Word и специ­ альных компьютерных программ.

Документы MS Word в основном идентичны тем, которые вклю­ чены в книгу.

Программы пакета обеспечивают связь (интерфейс) MS Word с системой символьной математики DERIVE фирмы Soft Warehouse Inc. Благодаря этой связи любое математическое выражение из доку­ мента MS Word может быть передано в DERIVE для преобразований, результат которых затем вставляется в документ MS Word.

В пакете РЕШЕБНИК.ВМ материалы книги РЕШЕБНИК "Выс­ шая математика" становятся интерактивными шаблонами для доку­ ментов студентов и преподавателей. Например, если студенту нужно решить какую-нибудь задачу, то он может:

1)найти задачу данного типа;

2)изучить план ее решения;

3)изучить пример;

4)изменить исходные данные и выполнить надлежаш;ие действия

сними;

5)сохранить содержание окна в каком-нибудь файле;

6)передать файл преподавателю непосредственно или предвари­ тельно распечатав его.

Естественно, возникает вопрос: если пакет РЕШЕБНИК.ВМ вы­ полняет математические действия за учаш;ихся, то как же они смогут научиться выполнять эти действия самостоятельно? Ответ таков: пакет Решебник ВМ выполняет за учаш;ихся не те математические действия, которые они изучают в данный момент, а те, которые они уже изучили раньше. Так экономится время, внимание концентриру­ ется на сути изучаемого метода и математика становится прош;е j\jm понимания и интересней.

Заметим, что при использовании пакета РЕШЕБНИК.ВМ высво­ бождается свыше 60% учебного времени. Это время целесообразно уделить решению нескольких задач одного и того же типа, анализу и обсуждению результатов, а также изучению новых тем и разделов математики, включение которых в программу ранее не представля­ лось возможным.