РГР [вариант 10]

концы которого дают пределы интегрирования по y : -1 и 0. Из уравнений линий

выражаем x через y. Для y = − 4−x2 : x = ± 4−y2 , для y = 4−x2 − 2 : x = ± 4−( y+2)2 .

Т.к. рассматриваемые области находятся выше оси Ox, то в полученных зависимостях выбираем перед корнем знак "+".

−∫3 dx

∫0

fdy + ∫0

dx ∫0

fdy = ∫0

4−( y+2)2

dy

∫

fdx

−

2

−

3

2

−

2

2

− 4−x

4−x

−2

1

4−x

двух

разбивать

значит, пределы по x равны 0 и 1. Пределы интегрирования по y:y = −x2 . y = x.

∫∫(12xy +9x2 y2 )dxdy = ∫1		dx ∫x (12xy +9x2 y2 )dy = ∫1		dx(6xy2 +3x2 y3 )					x2 =
D	0	−x2	0						−x
= ∫1 (6x2 +3x7 / 2 −6x5 +3x8 )dx = (2x3 + 2			3 x9 2 − x6 + 13 x9 )			1	= 2
	0					0

= ∫2 8y(1 −e−y2 / 4 )dy = (4 y2 )		2 −(−16e−y2 / 4	)		2 =16 −16 +	16	=	16
0		0			0	e		e

	0 yz
							y
0			0	0	0				0

	1	1		1		y	2			1
	= −2∫y2			(1 + y −ey )dy = 2∫(ey − y −1)dy = 2 ey −				− y			= 2e −5
		y	2
						2
	0			0						0

∫∫∫ 15x +30z	dx dy dz = ∫dx∫dy	∫	15x +30z dz =15∫dx∫dy xz + z		=
V	0 0	0	0 0		0

=15∫1 dx∫x (x4 + x3 +9 y4 +3xy2 +6x2 y2 )dy =15∫1 dx((x4 + x3 )y + 9				5 y5 + xy3 + 2x2 y3 )		x =
0	0	0				0
= ∫1 (30x4 +72x5 )dx = (6x5 +12x6 )			1 = 6 +12 =18
0			0

	D				1			3		1			1
												2 x
								2 x
	x	3	−	3			9	3		−3ln 3 −1 = 26 −3ln 3
=				2	ln x			= 3
							1

x = r cosϕ

y = r sin ϕ

Окружность x2 −2x + y2 = 0 имеет полярное уравнение

r2 sin2 ϕ −4r cosϕ + r2 cos2 ϕ = 0. Откуда r = 4 cosϕ. Аналогично x2 −8x + y2 = 0 r2 sin2 ϕ −8r cosϕ + r2 cos2 ϕ = 0 r = 8cosϕ.

Прямая y = x	3	имеет полярное уравнение r sin ϕ = r cosϕ					.
						3
Откуда tgϕ =	1	3	ϕ =π	6	. Аналогично
y = x 3 r sinϕ =			3r cosϕ tgϕ = 3 ϕ =π			3
Тогда площадь фигуры будет определяться по формуле:

π / 3

4 cos ϕ

π / 3

r

2

S = ∫∫dxdy =

∫ dϕ

∫ rdr =

∫

dϕ

2

D

π / 6

2 cos ϕ

π / 6

3ϕ

+

3

π 3

=

π

=

2

sin 2ϕ

2

π 6

4 cos ϕ

= π∫/ 3 6 cos2 ϕdϕ =

2 cos ϕ	π / 6

MD = ∫∫μ(x, y)dxdy =

0

3

r (cosϕ −sin ϕ)

0

(cosϕ −sin ϕ)dϕ(r)

3

∫

dϕ∫

rdr =

∫

=

r

2

1

D

−π / 2

1

−π / 2

= 2 ∫0 (cosϕ −sin ϕ)dϕ = 2 (sin ϕ +cosϕ)

0−π

= 4

−π / 2

2

2 cosϕ

−2r sin ϕ

∂ϕ

∂r

=

= 6r

∂y

∂y

3sin ϕ

3r cosϕ

∂ϕ

∂r

(1)

π / 2

1

m = ∫∫m(x, y) dx dy

=

∫

dϕ∫6r 8r3 cos3 ϕ 3r sin ϕdr =

D

0

0

π

π

/ 2

1

2

r

6

1

=

∫

cos3 ϕ sinϕ dϕ ∫144 r5

dr = −∫cos3 ϕ d(cosϕ) 144

|

=

0

0

0

6

0

cos4 ϕ

π

1

=

−

2

24 =

24 = 6

4

|

4

0

	25	9					x				25	9					x x
=		∫(3 +		x )		x −		dx		=		∫		3	x −				dx =
	27						3				27						3
		0										0
	25				2x2	x 9			50						x 9
=			2x x −			|		=		x x 1				−		|	= 20
	27				15	0			27						15 0