Тригонометрия

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ – один из классов элементарных функций.

Функция у = cos х. Если построить единичную окружность с центром в начале координат, и задать произвольное значение аргумента x0 и отсчитать от оси Ox угол x0, то этому углу на единичной окружности соответствует некоторая точка A (рис. 1) а ее проекцией на ось Ох будет точка М. Длина отрезка ОМ равна абсолютной величине абсциссы точки A. Данному значению аргумента x0 сопоставлено значение функции y = cos x0 как абсциссы точки А. Соответственно точка В (x0; у0) принадлежит графику функции у = cos х (рис. 2). Если точка А находится правее оси Оу, то косинус будет положителен, если же левее – отрицателен. Но в любом случае точка А не может покинуть окружность. Поэтому косинус лежит в пределах от –1 до 1:

–1 = cos x = 1.

Дополнительный поворот на любой угол, кратный 2p, возвращает точку A на то же место. Поэтому функция у = cos x периодическая, ее период равен 2p:

cos (x + 2p) = cos x.

Если взять два значения аргумента, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, x и –x, найти на окружности соответствующие точки Ax и А-x. Как видно на рис. 3 их проекцией на ось Ох является одна и та же точка М. Поэтому

cos (–x) = cos (x),

т.е. косинус – четная функция, f(–x) = f(x).

Значит, можно исследовать свойства функции y = cos х на отрезке [0, p], а затем учесть ее четность и периодичность.

При х = 0 точка А лежит на оси Ох, ее абсцисса равна 1, а потому cos 0 = 1. С увеличением х точка А передвигается по окружности вверх и влево, ее проекция, естественно, только влево, и при х = p/2 косинус становится равен 0. Точка A в этот момент поднимается на максимальную высоту, а затем продолжает двигаться влево, но уже снижаясь. Ее абсцисса все убывает, пока не достигнет наименьшего значения, равного –1 при х = p. Таким образом, на отрезке [0, p] функция у = cos х монотонно убывает от 1 до –1 (рис. 4, 5).

Из четности косинуса следует, что на отрезке [–p, 0] функция монотонно возрастает от –1 до 1, принимая нулевое значение при х = –p/2. Если взять несколько периодов, получится волнообразная кривая (рис. 6).

Итак, функция y = cos x принимает нулевые значения в точках х = p/2 + kp, где k – любое целое число. Максимумы, равные 1, достигаются в точках х = 2kp, т.е. с шагом 2p, а минимумы, равные –1, в точках х = p + 2kp.

Функция y = sin х. На единичной окружности углу x0 соответствует точка А (рис. 7), а ее проекцией на ось Оу будет точка N. Значение функции у0 = sin x0 определяется как ордината точки А. Точка В (угол x0, у0) принадлежит графику функции y = sin x (рис. 8). Ясно, что функция y = sin x периодическая, ее период равен 2p:

sin (x + 2p) = sin (x).

Для двух значений аргумента, х и – , проекции соответствующих им точек Аx и А-x на ось Оу расположены симметрично относительно точки О. Поэтому

sin (–x) = –sin (x),

т.е. синус – функция нечетная, f(–x) = –f(x) (рис. 9).

Если точку A повернуть относительно точки О на угол p/2 против часовой стрелки (другими словами, если угол х увеличить на p/2), то ее ордината в новом положении будет равна абсциссе в старом. А значит,

sin (x + p/2) = cos x.

Иначе, синус – это косинус, «запоздавший» на p/2, поскольку любое значение косинуса «повторится» в синусе, когда аргумент возрастет на p/2. И чтобы построить график синуса, достаточно сдвинуть график косинуса на p/2 вправо (рис. 10). Чрезвычайно важное свойство синуса выражается равенством

.

Геометрический смысл равенства виден из рис. 11. Здесь х – это половина дуги АВ, а sin х – половина соответствующей хорды. Очевидно, что по мере сближения точек А и В длина хорды все точнее приближается к длине дуги. Из того же рисунка несложно извлечь неравенство

|sin x| < |x|, верное при любом х.

Формулу (*) математики называют замечательным пределом. Из нее, в частности, следует, что sin х » х при малых х.

Функции у = tg х, у = ctg х. Две другие тригонометрические функции – тангенс и котангенс проще всего определить как отношения уже известных нам синуса и косинуса:

Как синус и косинус, тангенс и котангенс – функции периодические, но их периоды равны p, т.е. они вдвое меньше, чем у синуса и косинуса. Причина этого понятна: если синус и косинус оба поменяют знаки, то их отношение не изменится.

Поскольку в знаменателе тангенса находится косинус, то тангенс не определен в тех точках, где косинус равен 0, – когда х = p/2 + kp. Во всех остальных точках он монотонно возрастает. Прямые х = p/2 + kp для тангенса являются вертикальными асимптотами. В точках kp тангенс и угловой коэффициент составляют 0 и 1 соответственно (рис. 12).

Котангенс не определен там, где синус равен 0 (когда х = kp). В остальных точках он монотонно убывает, а прямые х = kp – его вертикальные асимптоты. В точках х = p/2 + kp котангенс обращается в 0, а угловой коэффициент в этих точках равен –1 (рис. 13).

Четность и периодичность. Функция называется четной, если f(–x) = f(x). Функции косинус и секанс – четные, а синус, тангенс, котангенс и косеканс – функции нечетные:

sin (–α) = – sin α tg (–α) = – tg α

cos (–α) = cos α ctg (–α) = – ctg α

sec (–α) = sec α cosec (–α) = – cosec α

Свойства четности вытекают из симметричности точек Pa и Р-a (рис. 14) относительно оси х. При такой симметрии ордината точки меняет знак ((х; у) переходит в (х; –у)). Все функции – периодические, синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2p, а тангенс и котангенс – p:

sin (α + 2kπ) = sin α cos (α + 2kπ) = cos α

tg (α + kπ) = tg α ctg (α + kπ) = ctg α

sec (α + 2kπ) = sec α cosec (α + 2kπ) = cosec α

Периодичность синуса и косинуса следует из того, что все точки Pa + 2kp, где k = 0, ±1, ±2,…, совпадают, а периодичность тангенса и котангенса – из того, что точки Pa + kp поочередно попадают в две диаметрально противоположные точки окружности, дающие одну и ту же точку на оси тангенсов.

Основные свойства тригонометрических функций могут быть сведены в таблицу:

Функция Область определения Множество значений Четность Участки монотонности (k = 0, ± 1, ± 2,…)

sin x –Ґ < x < +Ґ [–1, +1] нечетная возрастает при x О ((4k – 1) p /2,(4k + 1) p/2),убывает при x О ((4k + 1) p/2,(4k + 3) p/2)

cos x –Ґ < x < +Ґ [–1, +1] четная Возрастает при x О ((2k – 1) p, 2kp), убывает при x О (2kp, (2k + 1) p)

tg x x № p/2 + pk (–Ґ, +Ґ) нечетная возрастает при x О ((2k – 1) p /2, (2k + 1) p /2)

ctg x x № pk (–Ґ, +Ґ) нечетная убывает при x О (kp, (k + 1) p)

sec x x № p/2 + pk (–Ґ, –1] И [+1, +Ґ) четная Возрастает при x О (2kp, (2k + 1) p), убывает при x О ((2k – 1) p, 2kp)

cosec x x № pk (–Ґ, –1] И [+1, +Ґ) нечетная возрастает при x О((4k + 1) p /2,(4k + 3) p/2),убывает при x О ((4k – 1) p /2,(4k + 1) p/2)

Формулы приведения. По этим формулам значение тригонометрической функции аргумента a, где p/2 < a < 2p, можно привести к значению функции аргумента a, где 0 < a < p/2, как той же, так и дополнительной к ней.

Аргумент b

Функция – a + a p – a p + a + a + a 2p – a

sin b cos a cos a sin a –sin a –cos a –cos a –sin a

cos b sin a –sin a –cos a –cos a –sin a sin a cos a

Поэтому в таблицах тригонометрических функций даются значения только для острых углов, причем достаточно ограничиться, например, синусом и тангенсом. В таблице даны только наиболее употребительные формулы для синуса и косинуса. Из них легко получить формулы для тангенса и котангенса. При приведении функции от аргумента вида kp/2 ± a, где k – целое число, к функции от аргумента a:

1) название функции сохраняется, если k четное, и меняется на «дополнительное», если k нечетное;

2) знак в правой части совпадает со знаком приводимой функции в точке kp/2 ± a, если угол a острый.

Например, при приведении ctg (a – p/2) убеждаемся, что a – p/2 при 0 < a < p/2 лежит в четвертом квадранте, где котангенс отрицателен, и, по правилу 1, меняем название функции: ctg (a – p/2) = –tg a.

Формулы сложения. sin (a b) = sin a cos b cos a sin b;

cos (a b) = cos a cos b sin a sin b

Формулы кратных углов. Эти формулы выводятся прямо из формул сложения:

sin 2a = 2 sin a cos a;

cos 2a = cos2 a – sin2 a = 2 cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2 a;

sin 3a = 3 sin a – 4 sin3 a;

cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a;

Формулу для cos 3a использовал Франсуа Виет при решении кубического уравнения. Он же впервые нашел выражения для cos na и sin na, которые позже были получены более простым путем из формулы Муавра.

Если в формулах двойного аргумента заменить a на a/2, их можно преобразовать в формулы половинных углов:

;

;

Формулы универсальной подстановки. Используя эти формулы, выражение, включающее разные тригонометрические функции от одного и того же аргумента, можно переписать как рациональное выражение от одной функции tg (a/2), это бывает полезно при решении некоторых уравнений:

; ;

; ;

Формулы преобразования сумм в произведения и произведений в суммы. До появления компьютеров эти формулы использовались для упрощения вычислений. Расчеты производились с помощью логарифмических таблиц, а позже – логарифмической линейки, т.к. логарифмы лучше всего приспособлены для умножения чисел, поэтому все исходные выражения приводили к виду, удобному для логарифмирования, т.е. к произведениям, например:

2 sin a sin b = cos (a – b) – cos (a + b);

2 cos a cos b = cos (a – b) + cos (a + b);

2 sin a cos b = sin (a – b) + sin (a + b).

Формулы для функций тангенса и котангенса можно получить из вышеприведенных.

Формулы понижения степени. Из формул кратного аргумента выводятся формулы:

sin2a = (1 – cos 2a)/2; cos2a = (1 + cos 2a)/2;

sin3a = (3 sin a – sin 3a)/4; cos3a = (3 cosa + cos 3a)/4.

С помощью этих формул тригонометрические уравнения можно приводить к уравнениям более низких степеней. Таким же образом можно вывести и формулы понижения для более высоких степеней синуса и косинуса.

Производные и интегралы тригонометрических функций

(sin x)` = cos x; (cos x)` = –sin x;

(tg x)` = ; (ctg x)` = –;

т sin x dx = –cos x + C; т cos x dx = sin x + C;

т tg x dx = –ln |cos x| + C; т ctg x dx = ln |sin x| + C;

Каждая тригонометрическая функция в каждой точке своей области определения непрерывна и бесконечно дифференцируема. Причем и производные тригонометрических функций являются тригонометрическими функциями, а при интегрировании получаются так же тригонометрические функции или их логарифмы. Интегралы от рациональных комбинаций тригонометрических функций всегда являются элементарными функциями.

Представление тригонометрических функций в виде степенных рядов и бесконечных произведений. Все тригонометрические функции допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sin x b cos x представляются рядами. сходящимися для всех значений x:

Эти ряды можно использовать для получения приближенных выражений sin x и cos x при малых значениях x:

при |x| < p/2;

при 0 < |x| < p

(Bn – числа Бернулли).

Функции sin x и cos x могут быть представлены в виде бесконечных произведений:

(эта формула была получена Эйлером в 1740);

Тригонометрическая система 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ¼, cos nx, sin nx, ¼, образует на отрезке [–p, p] ортогональную систему функций, что дает возможность представления функций в виде тригонометрических рядов.

Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются как аналитические продолжения соответствующих тригонометрических функций действительного аргумента в комплексную плоскость. Так, sin z и cos z могут быть определены с помощью рядов для sin x и cos x, если вместо x поставить z:

,

.

Эти ряды сходятся по всей плоскости, поэтому sin z и cos z – целые функции.

Тангенс и котангенс определяются формулами:

,

.

Функции tg z и ctg z – мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z – простые (1-го порядка) и находятся в точках z = p/2 + pn, полюсы ctg z и cosec z – также простые и находятся в точках z = pn, n = 0, ±1, ±2,…

Все формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного аргумента, справедливы и для комплексного. В частности,

sin (–z) = –sin z,

cos (–z) = cos z,

tg (–z) = –tg z,

ctg (–z) = –ctg z,

т.е. четность и нечетность сохраняются. Сохраняются и формулы

sin (z + 2p) = sin z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

т.е. периодичность также сохраняется, причем периоды такие же, как и для функций действительного аргумента.

Тригонометрические функции могут быть выражены через показательную функцию от чисто мнимого аргумента:

;

;

.

Обратно, eiz выражается через cos z и sin z по формуле:

eiz = cos z + i sin z

Эти формулы носят название формул Эйлера. Леонард Эйлер вывел их в 1743.

Тригонометрические функции также можно выразить через гиперболические функции:

z = –i sh iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

где sh, ch и th – гиперболические синус, косинус и тангенс.

Тригонометрические функции комплексного аргумента z = x + iy, где x и y – действительные числа, можно выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительных аргументов, например:

sin (x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y;

cos (x + iy) = cos x ch y + i sin x sh y.

Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:

Если неизвестный угол входит в уравнение как аргумент тригонометрических функций, то уравнение называется тригонометрическим. Такие уравнения настолько часто встречаются, что методы их решения очень подробно и тщательно разработаны. С помощью различных приемов и формул тригонометрические уравнения сводят к уравнениям вида f(x) = a, где f – какая-либо из простейших тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс или котангенс. Затем выражают аргумент x этой функции через ее известное значение а.

Поскольку тригонометрические функции периодичны, одному и тому же а из области значений отвечает бесконечно много значений аргумента, и решения уравнения нельзя записать в виде одной функции от а. Поэтому в области определения каждой из основных тригонометрических функций выделяют участок, на котором она принимает все свои значения, причем каждое только один раз, и находят функцию, обратную ей на этом участке. Такие функции обозначают, приписывая приставку агс (дуга) к названию исходной функции, и называют обратными тригонометрическими функциями или просто аркфункциями.

Обратные тригонометрические функции. Для sin х, cos х, tg х и ctg х можно определить обратные функции. Они обозначаются соответственно arcsin х (читается «арксинус x»), arcos x, arctg x и arcctg x. По определению, arcsin х есть такое число у, что

sin у = х.

Аналогично и для других обратных тригонометрических функций. Но такое определение страдает некоторой неточностью.

Если отразить sin х, cos х, tg х и ctg х относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов координатной плоскости, то функции из-за их периодичности становятся неоднозначными: одному и тому же синусу (косинусу, тангенсу, котангенсу) соответствует бесконечное количество углов.

Чтобы избавиться от неоднозначности, из графика каждой тригонометрической функции выделяется участок кривой шириной p, при этом нужно, чтобы между аргументом и значением функции соблюдалось взаимно однозначное соответствие. Выбираются участки около начала координат. Для синуса в качестве «интервала взаимной однозначности» берется отрезок [–p/2, p/2], на котором синус монотонно возрастает от –1 до 1, для косинуса – отрезок [0, p], для тангенса и котангенса соответственно интервалы (–p/2, p/2) и (0, p). Каждая кривая на интервале отражается относительно биссектрисы и теперь можно определить обратные тригонометрические функции. Например, пусть задано значение аргумента x0, такое, что 0 Ј x0 Ј 1. Тогда значением функции y0 = arcsin x0 будет единственное значение у0, такое, что –p/2 Ј у0 Ј p/2 и x0 = sin y0.

Таким образом, арксинус – это функция агсsin а, определенная на отрезке [–1, 1] и равная при каждом а такому значению a, –p/2 < a < p/2, что sin a = а. Ее очень удобно представлять с помощью единичной окружности (рис. 15). При |а| < 1 на окружности есть две точки с ординатой a, симметричные относительно оси у. Одной из них отвечает угол a = arcsin а, а другой – угол p- а. С учетом периодичности синуса решение уравнения sin x = а записывается следующим образом:

х = (–1)n arcsin a + 2pn,

где n = 0, ±1, ±2,...

Так же решаются другие простейшие тригонометрические уравнения:

cos x = a, –1 = a = 1;

x = ±arcos a + 2pn,

где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 16);

tg х = a;

x = arctg a + pn,

где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 17);

ctg х = а;

х = arcctg a + pn,

где п = 0, ±1, ±2,... (рис. 18).

Основные свойства обратных тригонометрических функций:

arcsin х (рис. 19): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – [–p/2, p/2], монотонно возрастающая функция;

arccos х (рис. 20): область определения – отрезок [–1, 1]; область значений – [0, p]; монотонно убывающая функция;

arctg х (рис. 21): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (–p/2, p/2); монотонно возрастающая функция; прямые у = –p/2 и у = p/2 – горизонтальные асимптоты;

arcctg х (рис. 22): область определения – все действительные числа; область значений – интервал (0, p); монотонно убывающая функция; прямые y = 0 и у = p – горизонтальные асимптоты.

Т.к. тригонометрические функции комплексного аргумента sin z и cos z (в отличие от функций действительного аргумента) принимают все комплексные значения, то и уравнения sin z = a и cos z = a имеют решения для любого комплексного a:

,

.

Функции tg z и ctg z принимают все комплексные значения, кроме ±i: уравнения tg z = a, ctg z = a имеют решения для любого комплексного числа a № ± i:

,

.

Для любого z = x + iy, где x и y – действительные числа, имеют место неравенства

½|e\up12y–e\up12-y| Ј |sin z| Ј ½(e\up12y+e\up12-y),

½|e\up12y–e\up12-y| Ј |cos z| Ј ½(e\up12y+e\up12-y),

из которых при y ® Ґ вытекают асимптотические формулы (равномерно относительно x)

|sin z| » 1/2 e|y|,

|cos z| » 1/2 e|y|.

Тригонометрические функции возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу тригонометрическими функциями, встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и других, однако эти соотношения не являлись самостоятельным объектом исследования, так что тригонометрические функции как таковые ими не изучались. Они рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 – 2-я половина 3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30' с точностью до 10–6. Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin a встречается уже у Ариабхаты (конец 5 в.). Функции tg a и ctg a встречаются у аль-Баттани (2-я половина 9 – начало 10 вв.) и Абуль-Вефа (10 в.), который употребляет также sec a и cosec a. Ариабхата знал уже формулу (sin2a + cos2a) = 1, а также формулы sin и cos половинного угла, с помощью которых построил таблицы синусов для углов через 3°45'; исходя из известных значений тригонометрических функций для простейших аргументов. Бхаскара (12 в.) дал способ построения таблиц через 1 с помощью формул сложения. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций различных аргументов в произведение выводились Региомонтаном (15 в.) и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан дал таблицу значений синуса через 1'. Разложение тригонометрических функций в степенные ряды получено И.Ньютоном (1669). В современную форму теорию тригонометрических функций привел Л.Эйлер (18 в.). Ему принадлежат их определение для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией и ортогональности системы синусов и косинусов.