Шпоры по матану

Функции нескольких переменных. Функция двух переменных, Опр.1 Переменная Z называется функцией от двух переменных Х и У, если каждой паре действительных чисел (X,У) из некоторого множества D по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно или несколько значений Z . Обозначается: Z = f(X,У), х,у - независимые переменные, аргументы. Опр.2 Множество пар действительных чисел (х,У) для которых функция имеет имеет смысл ,т.е. существует, называется областью определения функции. Определение 3. Дельта окрестностью точки Мо (x0,y0) области D называется множество точек M(x,yM0?<? Т.е. внутренняя часть круга с центром в точке Мо и радиусом дельта. ) из области D, находящихся от точки Мо на расстоянии меньшем дельта, т.е. ?M Опр.4 Множество точек называется связным, если любые две точки могут быть соединены непрерывной линией целиком состоящей из точек этого множества. Опр.5 Точка М называется внутренней точкой некоторого множества, если любая окрестность этой точки состоит из точек этого множества. Опр.6 Множество, все точки которого внутренние, называется открытым множеством. Опр.7 Связанное открытое множество называется областью. Опр.8 Точка М называется граничной точкой области, если в любой её окрест­ности содержатся как точки принадлежащие этой области, так и не принадлежащие ей. Опр.9 Совокупность граничных точек называется границей области. Опр.1О Область с присоединённой к ней границей называется замкнутой областью. Функции трёх переменных. Опр. Переменная и называется функцией от трёх переменных x,y,z если каждой тройке действительных чисел (x,y,z) из некоторой области по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно или несколько значений переменной и. Обозначается: u=f(x,y,z), где x,y,z- независимые переменные. Опр. Переменная W называется функцией от n переменных x,y,z.. .t, если каждой системе из n чисел (x,y,z.. t) по некоторому правилу или закону ставится в соот­ветствие одно или несколько значений переменной W. Обозначается: W=f(x,y,z...t) Замечание. Если систему из n чисел обозначить как точку M(x,y,z…t) в n-мерном пространстве, то функцию можно обозначить: W=f(M). Предел функции двух переменных. Непрерывность. Дана функция z=f(x,y) в некоторой области D. Опрl. Число А- предел функции z=f(x,y) при стремлении точки М(х,у) к точке М0(x0,у0), если для любого ε>0 найдётся такое δ>0, такое, что для всех М(х,у), удовлетворяющих неравенству |М0М|>δ выполнится неравенство |f(x, у) - А|< ε Обозначается: lim f(x,y)=А; lim f(x,y)=А М—>М0 Неравенство |М0М|< δ означает, что < δ; А - ε <f(x,y)<А+ ε Иначе говоря , для любой эпсилон- окрестности точки А, сколь угодно малой, напе­рёд заданной, найдётся такая эпсилон окрестность точки М ,что для всех точек из этой окрестности значение функции не выйдет за пределы плоскостей z=А+ ε ,z=А- ε. Замечание: все теоремы, изложенные для пределов функции одной переменной,cправедливы и для функции двух переменных. Опр2. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке (хо,у0) если она: 1 .определена в этой точке; 2.существует lim f(x,y) З.этот предел равен значению функции в этой точке. (Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке (х0,у0), если для любого ε>0 существует δ>0, что для всех точек М, удовлетворяющих неравенству < δ выполнится неравенство | f(x,y)-f(xo,yo) |< ε). Если обозначить (х-хо)=∆х; (у-уо)=∆у, то соотношение < δ можно записать в виде Замечание: 1 .Сумма конечного числа непрерывных в точке М функций есть функ­ция, непрерывная в этой точке. Произведение конечного числа непрерывных в точке М функций есть функция, непрерывная в этой точке. Частное от деления конечного числа непрерывных в точке М функ­ций есть функция, непрерывная в этой точке. Сложная функция, состоящая из непрерывных функций, есть функция, непрерывная в этой точке. Если условие непрерывности не выполняется, то функция терпит разрыв. Частные производные функции двух переменных. Дадим х приращение ∆х оставляя у постоянным. Функция получит приращение ∆x z. Оно называется частным приращением функции по переменной х. Опр. Если существует предел lim ∆xz/∆x ∆х—>x то он называется частной производной от функции z=f(x,y) по переменной х и обозначается f'x’ (x,y) или dz/dx lim∆x z / ∆x= f x'(x,y) ∆х→0 Дадим у приращение ∆у, оставляя х неизменным. Тогда функция получит приращение ∆y z -частное приращение функции по переменной у. Опр. Если существует lim∆y z / ∆y ∆y→0 то он называется частной производной от функции z=f(x,y) по переменной у и обозначается f y'(x,y) или dz/dy lim∆y z / ∆y= f y'(x,y) ∆y→0

Геометрический смысл частных производных. tg?=lim(tg(?))=lim?yz/?y = dz/dy ?y>0 ?y>0 Итак , dz/dy есть тангенс угла наклона касательной к кривой, образованной пересечениями поверхности с плоскостью х=со к оси ОУ. Аналогично dz/dx -тангенс угла наклона касательной к кривой , образованной пересечением поверхности y=const ,к оси ОХ. Полное приращение функции. ?ифференциируемость функции. Связь с непрерывностью. z=f(x,y)Дадим х приращение ?х, а у приращение ?у. Функция получит приращение ?z=f(x+?x,y+?y)-f(x,y)- полное приращение функции. Теорема. Если функция непрерывна в точке (х,у), то Опр. Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке (х,у), если её пол¬ное приращение представимо в виде: ?z=А(х,у) ?х+В(х,у) ?у +х1, ?х+х2?у; где x1и x2; - бесконечно малые функции более высокого порядка ,чем ?х и ?у, а А(х,у) и В(х,у)- заданные функции Теорема.(Связь дифференцируемости с непрерывностью): Если функция диффе¬ренцируема в точке (х,у) ,то она непрерывна в этой точке. Теорема.(Необходимое условие дифференцируемости функции двух переменных) Если функция дифференцируема в точке (х,у) ,то в этой точке у неё существует частная производная fx’ (x,y) и fy ' (х,у). Замечание: Определение дифференцируемой функции можно записать так: ?z= fx’ (х,у)?х+ fy’ (х,у). ?у +х1, ?х+х2?у, гдех1и х2-бесконечно малые. Теорема.(Достаточное условие дифференцируемости) Если в окрестности точки (х,у) функция z=f(x,y) имеет частные производные и эти производные непрерывны в этой точке ,то функция z=f(x,y) дифференцируема в этой точке. Производная сложной функции. 1 .случай. ?аны функции x=?(t), y=?(t) и функция z=f(x,y). Z = f(?(t),?(t))- сложная функция зависящая от t. Теорема. Если функции x=?(t), y=?(t) дифференцируемы в точке t.n производная находится по формуле: dz/dt= dz/dx*dx/dt+dz/dy*dy/dt Случай 2.Теорема.Если сложные функции x=x(u,v) и y=y(u,v) дифференцируемы в точке (u,v), а функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х,у), где x=x(u,v) и y=y(u,v), то сложная функция z=f(x(u,v), y(u,v)) дифференцируема в точке (u,v) и её частная производная находится по формуле: dz/du=dz/dx*dx/du+dz/dy*dy/du dz/dv=dz/dx * dz/dv+dz/dy * dy/dv. Дифференциал функции двух переменных. Дана функция z=f(x,y) дифференцируема в точке (х,у). Тогда её полное прира¬щение представимо в виде : ?Z=fx'(х,у)?х+f y'(х,у)?у+?1?x + ?2?y,где ?1 и ?2 бесконечно малые. В этом приращении различают две части : fx' (х,у) ? х+ fy' (x,y) ? у- главная часть приращения функции, а ?1?x + ?2?y - бесконечно малые более высокого порядка, чем ?x и ?y. Опр. Главная часть полного приращения функции называется дифференциалом функции и бозначается dz. Инвариантность формы дифференциала. Было установлено ,что dz=dz/dx* ?x+dz/dy* ?у. Рассмотрим функцию z=x, тогда с одной стороны dz=dx ,а с другой по определению дифференциала dz= 1 * ?x + о * ?у. Отсюда dx=?x. Аналогично рассмотрим фунуцию z=y , с одной стороны dz=dy, a с другой dz= о * ?х +1 * ?у,поэтому dy= ?y .Тогда дифференциал запишется в виде : dz=dz/ dx* dx+ dz/dy* dy (2-ая форма дифференциала) Эта форма дифференциала не зависит от того ,является ли х и у независимыми переменными или некото¬рыми функциями от других переменных .Покажем это. Формулу 2 мы вывели в предположении ,что x и у независимые переменные. Предположим теперь ,что z= f(x,y); x= x(u,v); y=y(u,v). Тогда сложная функция z=f(x(u,v), y(u,v)) -функция от переменных u ,v и они в этом случае независимые переменные ,а х и у -проме¬жуточные. Тогда dz=dz/du*du+dz/dv*dv. По правилу дифференцирования слож¬ных функций найдём : dz/du=dz/dx*dx/du+dz/dy*dy/du; dz/dv=dz/dx*dx/dv+dz/dy*dy/dv. Подставим в дифференциал: dz=( dz/dx*dx/du+dz/dy*dy/du) du+ (dz/dx*dx/ dx/dv +dz/dy*dy/dv) dv; Раскрывая скобки и группируя , получим: dz= dz/dx(dx/du* du+ dx/dv*dv)+ dz/dy(dy/du* du+ dy/dv* dv). Ho (dx/du* du+ dx/dv*dv)= dx и (dy/du* du+ dy/dv* dv) = dy. Тогда получим : dz=dz/dx*dx+dz/dy*dy. 1-ая форма дифференциала применима лишь в случае , если х и у -независимые переменные. 2-ая форма же применяется во всех случаях.

Производная неявной функции. Опр 1. Если каждому значению х ставятся в соответствие те значения у ,для которых имеет место равенство F^y^O, то говорят ,что это равенство определяет у как функцию от х ,заданную неявно. Замечание: не всякое уравнение определяет неявную функцию: х2+у2+4=0; Sin(x+y)+5=0;eчн=0. Теорема существования неявной функции. Если 1. F(x,y) определена и непрерывна вместе со своими частными производными F'x(x,y) и Fy(x,y)B окрестности точки (х0 ,у0). 2. F(хо,уо)=0. 3.Fy (х0,у0) ≠ 0, то Гх„ — 8 < х < х0 + 8 а. Уравнение F(x,y)=0 в прямоугольнике определяет у как однозначную и непрерывную функцию от х. б. При х=х0 и у=у0 в. Эта функция дифференцируема в интервалле и её производная находится по формуле : du/ dy=-F'x(x,y)/F'y{x,y). Опр2. Если каждой паре чисел (х,у) ставятся в соответствие те значения z для которых выполняется равенство F(x,y,z)=0 ,то говорят ,что это уравнение определяет z как функцию от х,у заданную неявно Частные производные высших порядков. Дана функция z=f(x,y) дифференцируемая в точке (х,у). Значит у неё существуют частные производнаые f'x (х,у) и f'y (x,y). Они являются снова функциями двух переменных ,и если они дифференцируемы в точке (х,у) ,то от каждой из них также существуют частные производные. Всего их 4 и они называются частными производными второго порядка и обозначаются: f'x (x,y), f'y (x,y) или Смешанные производные второго порядка: Дифференциалы высших порядков. Опр. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифферен­циала первого порядка и обозначается: d2z = d(dz) = d(f'x(x,y)dx + f'y(x,y)dy)= =d(f'x(x,y))dx+d(f'y(x,y))dy=(fxx׳׳(x,y))dx+(fxy׳׳(x,y))xy+( fyx׳׳(x,y))dx+( fyy׳׳(x,y))dy= = fxx׳׳(x,y)dx2+2 fxy׳׳(x,y)dxdy+ fyy׳׳(x,y))dy2 d2 z= d2 z/dx2 * dx2 +2d2 z/dx*dxdy+ d2 z/dy: *dy2. Дифференциал третьего порядка. d3z=d3z/dx3*dx3+3d3z/dx2dy*dx2dy+3d3z/dxdy2*dxdy2+d3z/dy3*dy3. Символически дифференциалы различных порядков можно записать в виде: d"z =(d/dx*dx + d/dy*dy)nf(x,y).Замечание: Дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают. Рассмотрим dz= f'x (x,y)dx+ f'y(x,y)dy ,где х и у являются некоторыми функциями от других переменных. В этом случае dx и dy фиксировать нельзя. Тогда d2z = d(dz) - d(f'x (x,y)dx + f'y (x,y)dy) = =d(f'x(x,y))dx+f'x(x,y)d(dx)+d(f'y(x,y)dy+f'y(x,y)d(dy)= =( fxx׳׳(x,y)dx+ fxy׳׳(x,y)dy)dx+ fx׳(x,y)d2y+( fyx׳׳(x,y)dx+ fyy׳׳(x,y)dx)dy+ fy׳(x,y)d2y= =( fxx׳׳(x,y)dx2+2 fxy׳׳(x,y)dxdy+ fyy׳׳(x,y)dy2+ fx׳(x,y)d2x+ fy׳(x,y)d2y Формула дифференциала изменилась. Касательная и нормаль к поверхности. Дана функция z=f(x,y) дифференцируемая в точке NQ(x0,y0,z0) .Графиком её является некоторая поверхность. Опр. Касательной плоскостью поверхности z=f(x,y) в точке N0 называется плоскость для которой угол между этой плоскостью и секущей N0N стремится к нулю при стремлении точки N к N0 по поверхности. Касательная плоскость либо существует в точке , либо нет. Опр. Прямая ,проходящая через точку касания перпендикулярной плоскости называется нормалью поверхности в данной точке. Уравнение нормали уравнение касательной:ƒ´x(x0,y0)(x-x0)+ƒ´y(x0,y0)(y-y0)-z+z0=0 (x-xo)/m=(y-yo)/n=(z-zo)/p. S=(m,n,p); S=(ƒ´x(xo,yo),ƒ´y(xo,yo);-1). Тогда урав­нение нормали запишется :(x-xo)/f´x(xo, yo)=(y-yo)/f´y(xo,yo) = (z-zo)/-1. Уравнение касательной плоскости поверхности заданной неявно. ƒ´x(xo,yo){x-xo) + f´´y (xo ,yo)(y-yo) = z-zo. Поверхность задана неявно уравнением: F(x, y, z) =0. По правилу дифференцирования неявных функций известно, что: dz/dx=-F´x(x,y,z)/F´z(x,y,z); dz/dy= -F´y(x,y,z)/F´z(x,y,z). Тогда ƒ´x(xo,yo)=-F´x(xo,yo,zo)/F´z(xo,yo,zo); ƒ´y(xo,yo)=-F´y(xo,yo,zo)/F´z(xo,yo,zo).

Производная по направлению. Опр. Если существует предел lim ∆u/∆S до он называется производной от функции u=f(x,y,z) по направлению S и обозначается :du/dS= lim ∆u/∆S. ∆s~>o du/dS=du/dx*cos α,+ du/dy*cos β,+ du/dz*cos γ. Градиент функции. Опр. Вектор, координатами которого являются частные производные от функции u=f(x,y,z) называется градиентом функции обозначается: gradu -( du/dx; du/dy; du/dz). Экстремум функции нескольких переменных Точка (хо,у0) называется точкой минимума функции z=f(x,y), если в любой её окрестности выполняется неравенство : f(xo,yo)<f(x,y). Точка (хо,уо) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если в любой её окрестности выполняется неравенство: ƒ(xo,.yo)>f(x,y). Необходимое условие экстремума функции двух переменных. Если в точке (хо,уо) функция достигает минимума или максимума (если (хо,уo) -точка экстремума ), то в этой точке её частные производные обращаются в 0 или не существуют, т.е. ƒ´x(xo, yo)=0 или не существует иƒ´x(xo,yo)=О или не существует. Наибольшее наименьшее значения функции в области. Пусть функция непрерывна в замкнутой области .Тогда по свойству функций , непрерывных в замкнутой области она достигает в этой области своего наимень­шего m и наибольшего М значений. Чтобы найти эти значения ,нужно: найти критические точки функции и вычислить значение функции в этих точках; найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах; среди найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее Условный экстремум. Требуется найти экстремум функции z=f(x,y), при условии , что х и у связаны соотношением φ(х,у)=0. Такой экстремум называется условным. Равенство φ(х,у)=0 задаёт у как функцию от х неявно. Если бы удалось выразить у через х и подставить в функцию z = f(x,y), то z была бы функцией от одной переменной х. Поэтому в точках экстремума dz/dx=0. Достаточное условие. Составляется дифференциал :d2 F= d2 F/dx2 +2 d2 F/dxdx+ d2 F/dy2 .Если d2 F>0,to (xu,y0,λ)-точка условного максимума, d2F<0 ,то (х0,у0,λ0)-точка условного минимума. Или в следующем виде: составляется другой вид достаточного условия Если ∆>0-(xo,yo, λo)-точка условного максимума, ∆<0-точка условного минимума.