РГР Пределы [вариант 29]

1) Понятие числовой последовательности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Определение. Конечная или бесконечно удаленная точка числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел, если, какова бы ни была окрестность точки а, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.

Точка а числовой прямой называется пределом последовательности {x_n} действительных чисел, если для любого ε > 0 существует такой номер n_ε , что для всех номеров n > n_ε члены x_n содержаться в окрестности U(a; ε). Записывают, что

Теорема. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малым.

Доказательство. Пусть

и {x_n} – ограниченная последовательность, т.е. существует такое c > 0, что для всех номеров n выполняется неравенство |x_n| ≤ c.

Зафиксируем произвольное ε > 0, тогда, согласно определению предела, из условия следует, что существует такой номер n₀, что для всех номеров n > n₀ имеет место неравенство |α| < ε/с, а следовательно и неравенство

| α_n x_n | = | α_n | | x_n | < = ε.

Это и означает, что , т.е. что последовательность { α_n x_n } – бесконечно малая.

2) Является ли бесконечно большой при x→ 0 функция

3) Доказать, что (указатьN(ε)).

4)Вычислить предел числовой последовательности.

5) Вычислить предел числовой последовательности.

6) Вычислить предел числовой последовательности.

7) Вычислить предел числовой последовательности.

8) Вычислить предел числовой последовательности.

9) Доказать (найти δ(ε)),что:

, при любом

10) Доказать, что функция непрерывна в точке (найти δ(ε)).

11) Вычислить предел функции.

12) Вычислить предел функции.

13) Вычислить предел функции.

14) Вычислить предел функции.

16) Вычислить предел функции.

17) Вычислить предел функции.