Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

/ Примеры решения задач

.doc
Скачиваний:
23
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
2.36 Mб
Скачать

Это и есть параметрическое уравнение плоскости P.

Пример 4. Привести к нормальному виду уравнение плоскости

Решение. Так как свободный член уравнения плоскости то нормирующий множитель

Тогда нормальным уравнением будет

Значит, а расстояние от начала координат до плоскости равно 3.

Пример 5. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости и отстоящих от нее на расстояние

Решение. Пусть – точка искомой плоскости. ТогдаиОтсюда уравнения искомых плоскостейи

Пример 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки A(1, 0, –1), B(1, 3, –4) и образующей угол с плоскостью

Решение. Не ограничивая общности. Будем искать уравнение плоскости в виде

Поскольку точки A(1, 0, –1) и B(1, 3, –4) лежат в искомой плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Значит имеем

откуда Подставим найденные значенияD и B, выраженные через C, в уравнение плоскости:

Следовательно, нормальный вектор .

Воспользуемся тем, что плоскость образует угол с плоскостьюнормальный векторкоторой. По формуле косинуса угла между плоскостями имеем:

откуда илиНаходимC, преобразовывая последнее равенство:

Имеем окончательно уравнение плоскостей:

Уравнение прямой в пространстве. Взаимное

расположение прямых

Пример 1. Составить канонические уравнения прямой:

1) проходящей через точку параллельно вектору

2) проходящей через две заданные точки и

3) заданной общими уравнениями

Решение. 1) Пусть – произвольная точка искомой прямой. Тогдат. е. их координаты пропорциональны. Т. к.то имеем соотношения:

которые и представляют собой канонические уравнения прямой с заданными свойствами на плоскости.

2) Пусть – произвольная точка прямой. Тогда векторыи– коллинеарны, т. е. их координаты пропорциональны.

Т. к. то имеем:

Это и есть искомый результат.

3) Для перехода от общих уравнений прямой L к каноническим обычно поступают следующим образом. Подбирают какую-либо точку фиксируя числовые значения одной из координат и решая относительно нее систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Затем находят направляющий векторпрямойL как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, задающих L. Проиллюстрируем на примере.

–направляющий вектор плоскости ,– нормальный вектор плоскости

Тогда вектор . Определим его координаты:

Для нахождения точки зафиксируем одно из координатных значений, например,Тогда, подставив в заданные общие уравненияполучим:

или т. е..

Таким образом, искомые канонические уравнения

Пример 2. Докажите, что прямые ипараллельны, и найдите расстояние между ними, если они заданны параметрическими уравнениями:

и

Решение. Прямая имеет направляющий вектор, апричемт. к.Значит,

Найдем расстояние между ними, используя формулу расстояния от точки до прямой. Тогда

где и– радиус-векторы точеки.

Значит,

Пример 3. Докажите, что прямые ипересекаются, и найдите координаты точки пересечения, если они заданны параметрическими уравнениями:

и

Решение. причем. Значит.

Прежде всего, определим, лежат ли прямые в одной плоскости, т. е. являются ли векторы икомпланарными (здесь). Найдем для этого их смешанное произведение:

Значит, прямые лежат в одной плоскости и не параллельны. Следовательно они пересекаются.

Найдем их точку пересечения .

при подстановке в уравнение .

Значит, Итак,

Пример 4. Докажите, что прямые искрещиваются, и найдите расстояние между ними, если они заданы параметрическими уравнениями:

и

Решение. причем. Значит. Определим, компланарны ли они. Т. к.то условием компланарности прямых служит компланарность векторови. Найдем смешанные произведения этих векторов:

Значит, указанные векторы, а вместе с ними и прямые ине лежат в одной плоскости.

Прямые искрещиваются, т. к. они не пересекаются и не параллельны. Найдем расстояние между ними по формуле:

Итак,

Прямая и плоскость в пространстве

Пример 1. 1. Установить взаимное расположение прямой и плоскости, в случае их пересечения – найти координаты пересечения:

Решение. 1) 1) и

Определим координаты направляющего вектора прямой по ее каноническим уравнениям. Это векторНормальный векторплоскостиимеет координатыНайдем скалярное произведение векторови:

Значит, и прямаяL и плоскость P параллельны. Проверим, не лежит ли прямая L в плоскости P. Для этого определим принадлежность точки плоскостиP, подставив координаты в уравнение плоскости:

Следовательно, а значит,

2

2) и

Прямая имеет направляющий вектори точкуВыясним, будет липерпендикулярен нормальному векторузаданной плоскости

Осталось проверить принадлежность точки плоскости:

Значит, прямая L лежит в плоскости P.

3. 3) и

Направляющий векторзаданной прямой и направляющий векторплоскости не коллинеарны и не перпендикулярны, т. к.иЗначит, . Найдем координаты точкипересечения прямой и плоскости. Для этого перейдем сначала к параметрическим уравнениям прямой:

Затем в уравнение плоскости P подставим вместоих выражение через параметрt:

Откуда имеем

Подставим найденное значение параметра t в параметрические уравнения прямой:

Итак, .

Пример 2. Найти координаты точки N, симметричной точке относительно прямой, проходящей через точкии.

Решение. Для решения задачи воспользуемся следующими рассуждениями: симметричная точке M точка N находится в той же плоскости, что прямая AB и точка M, лежит на перпендикуляре MN к прямой AB и находится от прямой AB на том же расстоянии, что и точка M.

Пусть Тогда

1) – компланарны;

2) ;

3) ;

4) середина отрезка MN лежит на прямой AB.

Составим систему уравнений, используя координатную форму записи условий 1–3.

–компланарны при условии т. е.откуда получаем

откуда

Условие равносильно условиюиличто приводит к уравнению

затем

откуда

.

следовательно,

После подстановки ,получимили

Таким образом, точки иудовлетворяют первым трем условиям. Осталось проверить четвертое. Найдем серединыиотрезковисоответственно и проверим, какая из точек (или) лежит на прямой

ли

или

т. к. но

т. к.

Итак,

Пример 3. Прямая L задана общими уравнениями

Написать уравнение ее проекции на координатную плоскость Oxz.

Решение. Построим канонические уравнения прямой L. В качестве направляющего вектор можно взять вектор гдеТогда

т. е.

Присвоив переменной x значение 0, получим систему уравнений из которой найдема значит точкалежит на прямойL.

Таким образом, канонические уравнения прямой L таковы:

что эквивалентно системе трех уравнений, описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz соответственно.

Итак, искомое уравнение

. Поверхности второго порядка

Пример 1. Использовать форму и построить поверхность заданную уравнением

Решение. Используем при исследовании геометрических свойств и форм поверхности метод сечений.

Определим сечение поверхности плоскостями гдепараллельными координатной плоскостиOxy:

Очевидно, что это кривые, проекции которых на ось Oxy задаются уравнение

(1)

Уравнение (1) при не имеет решений относительноЭто означает, что соответствующее сечение есть пустое множество точек, а значит, рассматриваемая поверхность целиком расположена ниже плоскостиПриуравнение (1) определяет эллипс

с полуосями ивырождающийся в точку (0, 0, 1) приЗаметим, что все эллипсы, получающиеся в сечениях поверхности плоскостямиподобны между собой, причем с уменьшениемих полуоси неограниченно монотонно возрастают.

Дальнейшее уточнение форм можно получить, рассматривая сечения координатными плоскостями Oxz и Oyz:

и

Имеем в первом случае кривую т. е. параболу с параметромвершиной в точкеи ветвями, направленными в отрицательную сторону осиOz. Во втором – параболу с параметромвершиной в точкеи аналогичным направлением ветвей.

Выполненное исследование позволяет построить заданную поверхность (рис. 1). Это эллиптический параболоид с вершиной в точке (0, 0, 1), направленный в сторону убывания значенийz с осью симметрии Oz.

Рис. 1.

Пример 2. привести уравнение к каноническому виду и определить тип поверхности, которую оно задает:

1)

2)

3)

4)

Решение. Воспользуемся методом выделения полных квадратов.

1) Преобразуем левую часть уравнения:

Значит, уравнение равносильно

или

Соседние файлы в предмете Алгебра и начала анализа