Математические формулы и методы их применения / Линейная алгебра. Матрицы

Линейная алгебра Матрицы

2004 г.

Андрей Ивашов

Содержание		- 3 -
Основные понятия..........................................................................
Матрица.......................................................................................		- 3 -
Единичная ....................................................................................		- 3 -
Квадратная.................................................................................		- 3 -
Квадратичная............................................................................		- 3 -
Кубическая...................................................................................		- 3 -
Вырожденная..............................................................................		- 3 -
Невырожденная.........................................................................		- 3 -
Диагональная..............................................................................		- 4 -
Симметрическая.......................................................................		- 4 -
Транспонированная..................................................................		- 4 -
Союзная.........................................................................................		- 4 -
Обратная.....................................................................................		- 4 -
Мультиколлинеарная..............................................................		- 4 -
Соответственные матрицы................................................		- 4 -
Коммутативные матрицы ..................................................		- 5 -
Расширенная...............................................................................		- 5 -
Треугольная.................................................................................		- 5 -
Прямоугольная...........................................................................		- 5 -
Ступенчатая матрица..........................................................		- 5 -
Нулевая матрица......................................................................		- 5 -
Определитель.............................................................................		- 6 -
Минор.............................................................................................		- 6 -
Алгебраическое дополнение...................................................		- 6 -
Линейная комбинация..............................................................		- 6 -
Свойства матриц...........................................................................		- 7 -
Сложение (вычитание) матриц..........................................		- 7 -
Произведение матриц.............................................................		- 7 -
Теоремы о матрицах......................................................................		- 7 -
Определители...................................................................................		- 8 -
Разложение по строке (столбцу)........................................		- 8 -
Метод Гаусса..............................................................................		- 9 -
Определитель первого порядка..........................................		- 10 -
Определитель второго порядка........................................		- 10 -
Определитель третьего порядка.....................................		- 10 -
Правило Саррюса..............................................................		- 10 -
Метод диагоналей............................................................		- 10 -
Свойства определителей...........................................................		- 11 -
Обратная матрица......................................................................		- 12 -
Теорема об условии существования.................................		- 12 -
Теорема о единственности.................................................		- 12 -
Андрей Ивашов	- 30 -

Основные понятия

		çæ a11		a12		L a1n
Матрица - A	=	ç a21		a22		L a2n
mn		ç	M		M	M M
		ç		a
		ç a			m2	L a	mn
		è	m1

ö		a11
÷		a21
÷	=
÷		M
÷
÷		am1
ø

a12	L a1n
a22	L a2n			-
M	M M
am 2	L amn

упорядоченная прямоугольная таблица чисел (где элемен-

ты a11, a22, K, amn составляют главную диагональ мат-

рицы, а элементы a1n ,K, am1 - побочную). Тело матрицы

может быть записано как в круглых скобках (на рисунке слева), так и между двух двойных вертикальных линий (справа). Данные записи абсолютно идентичны.

	æ1		0	L 0ö
	ç	0	1	L		÷
Единичная -	ç				0÷		- матрица, на главной
	Emn = ç					÷
	ç M		M	M	M	÷
	ç	0	0	L		÷
	è				1ø

диагонали которой стоят единицы, а на местах осталь- ных элементов находятся нули.

		çæ a11		a12
Квадратная – A	=	ç a21		a22
mm		ç	M		M
		ç		a
		ç a			m2
		è	m1

La1m

La2m

M M

Lamm

ö

÷

÷÷ - матрица, число

÷

÷

ø

строк которой равно числу её столбцов.

æ a

Квадратичная – A = ç 11

çèa21

двух строк и двух столбцов.

	çæ a11	a12
Кубическая –	A = ç a21	a22
	ç a	a
	è 31	32

a ö

12 ÷ - матрица, состоящая из

a22 ÷ø

a ö

13 ÷

a23 ÷ - матрица, состоящая из

a33 ÷ø

трёх строк и трёх столбцов.

Вырожденная – квадратная матрица, определитель которой равен нулю (особая).

Невырожденная – квадратная матрица, определитель которой не равен нулю (неособая).

Андрей Ивашов

- 3 -

11.Пример: Найти обратную матрицу по теореме Лапласа

æ 2

5

7 ö

ç

6

3

4

÷

det (A) = -1;

A = ç

÷;

ç

5

-2

÷

è

-3ø

A11 = (

-1)

2

3

4

3

5

7

M11 =

-2 -3

= -1;

A21 = (-1)

M21 = -

-2 -3

=1;

3

6

4

A22 = (-1)

4

2

7

A12 = (-1)

M12

= -

5

-3

= 38;

M22 =

5

-3

= -41;

A13 = (-1)4 M13 =

6

3

= -27;

A23 = (-1)5 M23 = -

2

5

= 29;

5

-2

5 -2

4

5

7

A31 = (-1)

M31 =

3 4

= -1;

A32 = (-1)5 M32 = -

2

7

= 34;

6

4

A33 = (-1)6 M33 =

2

5

= -24;

6

3

æ -1 38 -27ö

~T

æ -1

1

-1 ö

æ 1

-1

1 ö

~

ç

1

-41 29

÷

=

ç

38

-41 34

÷

−1

ç

-38 41 -34

÷

A

= ç

÷

; A

ç

÷

; A

= ç

÷ .

ç

-1

34

÷

ç

-27

29

-24

÷

ç

27

-29

24

÷

è

-24ø

è

ø

è

ø

Ответ получен.

12.Пример: Найти обратную матрицу

æ cos α

-sin

(

α

ö

;

det (A) = cos2 (α )+ sin2 (α ) =1;

A = ç

( )

)

÷

ç

cos (α )

÷

è sin(α )

ø

æ cos(α )

sin(α )ö

T

æ cos(α )

sin(α ) ö

−1

~

A

= ç

cos (α )

÷

Þ

A = ç

(α )

÷ .

ç

÷

ç

÷

è-sin (α )

ø

è -sin

cos(α )ø

Ответ получен. 13.Пример: Найти ранг матрицы методом окайм-

ления миноров

Андрей Ивашов

- 28 -

Коммутативные матрицы – две матрицы удовле-

творяющие условию A× B = B × A (перестановочные).

	çæ a11		a12		L a1n	b1 ÷ö
¢	ç a21		a22		L a2n	b2	÷	- матрица,
Расширенная – Am (n+1) = ç		M		M	M M	M	÷
	ç		a				÷
	ç a			m2	L a	b	÷
	è	m1			mn	m ø

в которой, помимо её основной части, присутствуют ещё и свободные члены.

æ a11

a12

L a1n ö

æ a11

0 L 0 ö

ç

a22

L

÷

ç

a22

L 0

÷

Треугольная –

ç

0

a2n ÷

ç a21

÷

-

ç

M

M

M

M

÷;

ç

M

M

M M

÷

ç

÷

ç

÷

ç

0

0 L a

÷

ça

m1

a

L a

÷

è

mn ø

è

m 2

mn ø

квадратная матрица, у которой все элементы, располо- женные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю (слева на примере – верхняя треугольная; справа

– нижняя треугольная).

		çæ a11		a12
Прямоугольная – A	=	ç a21		a22
mn		ç	M		M
		ç		a
		ç a			m2
		è	m1

La1n

La2n

M M

Lamn

ö

÷

÷÷ - матрица,

÷

÷

ø

состоящая из m строк и n столбцов.

	çæ a11		a12	L a1n ÷ö
	ç	0	a22	L a2n ÷
Ступенчатая матрица – A	ç	M	M	M	M	÷
	= ç					÷ -
(m+i )n	ç	0	0	L amn ÷
	ç	M	M	M	M	÷
	ç					÷
	ç	0	0	L	0	÷
	è					ø

матрица у которой все элементы стоящие под главной диагональю равны нулю, содержащая нулевые строки (столбцы).

			æ0		0	L 0	ö
			ç	0	0	L 0	÷
	Нулевая матрица -	Amn =	ç				÷	- матрица, все
			ç M		M	M M	÷
			ç	0	0	L 0	÷
			è				ø
	Андрей Ивашов	- 5 -

æ1 3

-1 0ö

æ1 3 -1 0ö

æ1 3

-1

0ö

ç

-1 - 4

÷

II -2I ç

- 7

- 2

÷ III -II ç

- 7 - 2

÷

A¢ = ç2

3÷

~

ç0

3÷

~

ç0

3÷

ç

3

2

- 5

÷ III -3I ç

0

- 7

- 2

÷

ç

0

0

0 3

÷

è

6ø

è

6ø

è

ø

- нет решений.

Ответ получен.

7.Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса

ì2x + x

+ x

=

7

ï

1

2

3

íx1

+ 2x2 + x3

= 8;

ïx + x

2

+ 2x

=

9

î 1

3

æ2

1

1

7ö

æ2

1 1 7 ö

æ2 1 1 7 ö

1

III

ç

÷

2II - I ç

÷ III -II ç

÷

8

A¢ = ç1

2 1 8÷

~

ç0 3 1 9 ÷

~

ç

0 3 1 9 ÷

~

ç

1 2 9

÷

2 III -I ç

÷

ç

÷

è1

ø

è0 1 3 11ø

è

0 0 8 24ø

1

III

æ2

1

1

7

ö

ìx1 =1

8

ç

÷

Þ

ï

= 2 .

~

ç0 3 1 9

÷

íx2

ç0

0

1

3

÷

ïx

= 3

è

ø

î 3

Ответ получен.

8.Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса

ìx + 2y + 3z = 3 ïí3x + y + 2z = 7; ïî2x + 3y + z = 2

æ1 2 3 3ö

æ1 2

3

3 ö

æ1

2

3

3ö

ç

÷

II -3I ç

÷

(-1)II ç

0

5

7

÷ II -5III

A¢ = ç3 1 2 7

÷

~

ç0

- 5 - 7 - 2÷

~

ç

2÷

~

ç

÷ III -2I ç

÷

(-1)III ç

÷

è2 3 1 2

ø

è

0

-1 - 5 - 4ø

è

0

1

5

4ø

æ

1

ö

ìx = 2

æ1 2 3

3

ö

ç -

÷II æ1 2

3

3

ö

II -5III ç

-18

÷

è

18

ø

ç

5

4

÷

Þ

ï

~

ç0 0

-18÷

~

ç 0 1

÷

íy = -1 .

ç

4

÷

ç

0 0

1

1

÷

ï

è0 1 5

ø

è

ø

îz =1

Ответ получен.

9.Пример: Решить систему уравнений методом Крамера

Андрей Ивашов

- 26 -

Свойства матриц

Сложение (вычитание) матриц

Складывать (вычитать) можно только матрицы одина- ковых размеров. При сложении (вычитании) двух матриц каждый элемент первой матрицы складывается (вычита- ется) с соответствующим элементом второй.

Пример: Сложить и вычесть две матрицы

æ

1

0 ö

æ2

3ö

ç

÷

ç

÷

= A+ B; D = B - A;

A = ç

÷;

B = ç

÷; C

è

2

-1ø

è4

5

ø

æ

(1+ 2)

(0 + 3) ö

æ

3 3ö

æ

(2-1) (3- 0)ö

æ1

3ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

C = ç

÷

= ç

6 4

÷; D = ç

(4 - 2) (5+1)

÷

= ç

2

÷ .

è

(2 + 4) (-1+ 5)ø

è

ø

è

ø

è

6ø

Ответ получен.

Произведение матриц

При умножении матриц Amn и Bnl получается Cml матри-

ца, т.е. перемножать можно лишь соответственные друг другу матрицы. Каждый элемент конечной матрицы равен

сумме произведений соответствующих элементов итой ( i ) строки первой матрицы и житого ( j ) столбца вто-

рой. Умножение производится по правилу «строка на столбец».

Пример: Найти произведение двух матриц

æ1		0 ö	æ 2		3ö
ç		÷	ç		÷
A = ç	2	÷;	B = ç	4	÷;
è		-1ø	è		5ø

æ	(1×2 + 0 ×4)	(1×3 + 0 ×5) ö	æ2		3ö
ç		÷	ç	0	1	÷
A× B = ç	(2 × 2 + (-1)×4) (2×3 + (-1)×5)÷		= ç			÷ .
è		ø	è			ø

Ответ получен.

Теоремы о матрицах

1.Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы.

2.Основная теорема теории систем линейных уравнений

Пусть имеется совместная система уравнений, A - расширенная матрица этой системы и ранг A равен

n ( rang ( A) = n ). Тогда неизвестные x1, x2 ,..., xk можно объявить главными в том и только том случае, когда

Андрей Ивашов

- 7 -

Примеры с решениями

1.

Пример: Вычислить C = 5A - 2B

æ

2 3 5 ö

,

æ 2 -2 5 ö

A = ç

÷

B = ç

÷;

è

1 4 -2ø

è0 6 -4ø

æ 2 3 5

ö

æ 2 -2 5 ö æ10 15 25 ö æ

4 -4 10 ö

=

C = 5ç

÷

- 2ç

÷ = ç

÷ - ç

0 12 -8

÷

è

1 4 -2ø

è 0 6 -4ø è 5 20

-10ø è

ø

æ 6

19

15 ö

= ç

5

8

÷ .

è

-2ø

Ответ получен.

2.

Пример: Вычислить произведение матриц AB

æ

1

2

3 ö

æ1

2

4ö

ç

-3 1

÷

A = ç

5

4

÷

, B = ç3

÷;

è

-5ø

ç

0

2

÷

è1

ø

æ

1+ 6 + 3

2 - 6 + 0

4 + 2 + 6 ö æ10 -4 12

ö

C = ç

÷ = ç

-2 14

÷ .

è

5 +12 - 5 10 -12 + 0 20 + 4 -10ø è12

ø

Ответ получен.

3.Пример: Вычислить определитель матрицы методом Гаусса

	3	4		1			2	1						3			4			1			2	1
	3 5				3 5 1						II−3I			-6 -7 0 -1 -2
D =	6 8 1 5 9										III −I			3 4 0 3 8													=
											~
	3 5				3 7 9						IV −3I			-6 -7 0 1 6
											V +3I
	8 7			-3 0 4										17 19 0 6 7
				-6 -7 -1 -2												I+III			-12 -14					0 4
				3		4		3			8								21			25		0			-10
		1+3														II−3III												=
= (-1)				-6		-7		1			6					~			-6			-7		1			6
																IV −6III
																											-29
			17			19			6		7								53			61		0
= (-1)3+3				-12		-14					4
				21 25							-10		=
				53		61					-29

= (8700 + 7420 + 5124) -(5300 + 7320 + 8526) = 98 .

Ответ получен.

Андрей Ивашов

- 24 -

Здесь приведён пример разложения определитель по итой строке. При разложении по j -тому столбцу сумма будет выглядеть следующим образом:

m

S aij Aij = a1 j A1j + a2 j A2 j +K+ amj Amj . i=1

Метод Гаусса

Как уже отмечалось, в первом способе нахождения опреде- лителя, для его применения рациональнее использовать строку (столбец) который содержит максимальное коли- чество нулей. Оказывается данную ситуацию можно и нужно создать искусственно. Именно в этом и состоит суть метода Гаусса для нахождения определителя произ- вольного порядка.

В искомом определителе необходимо найти элемент, не равный нулю (оптимально – равный единице), затем, эле- ментарными преобразованиями, над строкой (столбцом) этого элемента привести все элементы, принадлежащие столбцу (строке), на котором находится элемент, к нулю. Теперь, с чистой совестью, раскладываем детерминант по модифицированному столбцу (строке) по рекуррентной формуле (см. выше). Таким образом, мы получили опреде- литель на порядок ниже исходного. Если есть необходи- мость в дальнейшем его понижении, применяем весь опи- санный алгоритм заново, но уже с полученным детерми- нантом.

Пример: Вычислить определитель методом Гаусса

	2	2			-1	1			II −2I					2	2				-1 1
	4	3			-1		2							0	-1				1		0
D =									III		−2I													=
	8	3			-1	2			~					4	-1			1			0
									IV		−2I
	3	3	-2			2							-1 -1					0			0
= (-1)1+4 ×				0	-1			1				II −I		(-1)×			0			-1					1					=
								1																0
				4		-1						~					4			0
				-1		-1			0								-1			-1				0

= (-1)1+3(-1)-41 -01 = (-1)×(4×(-1)- 0×(-1))= 4 .

Ответ получен.

По приведённой формуле можно вычислить определители любого порядка, однако есть методы для частных случаев: определителей первого, второго и третьего порядков.

Андрей Ивашов

- 9 -

Нахождение координат вектора при смене базиса

X = PX ¢ Þ X¢ = P−1X где

X - исходный вектор;

P - матрица перехода по базису;

X ¢ - искомый вектор.

Очевидно, что при смене базиса, координаты принадлежа- щего ему вектора тоже меняются. Суть данного метода в нахождении координат вектора в новом базисе.

Пример: В базисе e задан вектор x , найти его ко-

		¢
ординаты в базисе e
ìe¢	= e + e +11e
ï 1	1 2	3
e¢: íe2¢ = 1,1e1 - e2		; x{1;10;10} .
ï ¢	= -e1 + e2 + e3
îe3

(Данный пример может быть решён двумя способами: либо

перемножаем исходный вектор X

с матрицей перехода P

и выражаем из полученной системы искомый вектор

X ¢ ;

либо находим матрицу обратную к матрице перехода P−1 ,

умножаем её на исходный вектор X ,

автоматически по-

лучая искомый вектор X ¢

. Разберём оба варианта.)

æ 1

1,1

-1ö

¢

æ x1 ö

æ 1

1,1 -1ö æ x1¢ ö

I.

ç

-1 1

÷

ç

÷

ç

-1 1

÷

ç ¢

÷

P = ç 1

÷ Þ X = PX

Þ ç x2 ÷ =

ç 1

÷×

ç x2

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

è11 0 1

ø

è x3 ø è11 0 1

ø è x3¢

ø

ìx = x¢ +1,1x¢ - x¢

ìx¢

= x +1,1x

- 0,1x

ï 1

1

2

3

ï

1

1

2

3

Þ

íx2 = x1¢ - x2¢ + x3¢ Þ

íx2¢ = -10x1 -12x2 + 2x3

;

ï

¢

¢

ï

¢

= -11x1 -12,1x2

+ 2,1x3

îx3

=11x1

+ x3

îx3

æ 1

1,1

-1ö

æ

1

1,1

-0,1ö

II.

ç

-1

1

÷

P−1 =

ç

-10

-12

2

÷

P = ç 1

÷ ;

ç

÷ Þ X¢ = P−1X ;

ç

0

1

÷

ç

-11

-12,1

÷

è11

ø

è

2,1 ø

æ x1¢ ö

æ

1

1,1

-0,1ö

æ x1 ö

ìx1¢ = x1 +1,1x2 - 0,1x3

ç ¢

÷

ç

-10

-12

2

÷

ç

÷

Þ

ï ¢

= -10x1 -12x2 + 2x3 .

ç x2

÷

= ç

÷ ×ç x2 ÷

íx2

ç

÷

ç

-11 -12,1

2,1

÷

ç

÷

ï

è x3¢

ø

è

ø

è x3 ø

îx3¢ = -11x1 -12,1x2 + 2,1x3

Ответ получен.

Бесспорно, второй вариант предпочтительнее, т.к. отпа-

дает необходимость проделывать громоздкие действия над системой уравнений из первого.

Андрей Ивашов

- 22 -

Свойства определителей

1.При транспонировании определитель матрицы не меняется.

2.При перестановке местами любых двух строк (столб- цов) квадратной матрицы определитель меняет знак но сохраняет свою абсолютную величину.

	a11	a12	=	a21	a22	.
	a21	a22		a	a12
	14243			114243
	a11a22 −a12a21			a21a12 − a22 a11

3.Если квадратная матрица имеет две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен нулю.

4.Если соответствующие элементы каких-либо двух строк (столбцов) квадратной матрицы пропорцио- нальны, то её определитель равен нулю.

5.Если одна из строк (столбцов) матрицы является линейной комбинацией других её строк (столбцов), то определитель такой матрицы равен нулю.

6.Общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

	λa11	a12		= λa11a22 - λa12a21 = λ(a11a22	- a12a21 )= λ		a11	a12		.
	λa21	a22					a21	a22

7.Определитель квадратной матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) приба-

вить соответствующие элементы другой её строки (столбца), умноженные на любое число.

a11	a12	=	a11	a12	= a11 (a22 + λa12 )- a12 (a21 + λa11 )=
a21	a22		a21 + λa11	a22 + λa12

=a11a22 - a12a21 + λ(a12 a11 - a12 a11 )= a11a22 - a12a21 .

8.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические

дополнения соответствующим элементам другой строки (столбца) равна нулю.

ai1Aj1 + ai 2 Aj 2 +K+ ain Ajn = 0 , при i ¹ j .

9.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.

det(A×B)= det(A)×det(B) .

Андрей Ивашов

- 11 -

Линейная зависимость

	→	→	→	являются линейно зависимыми, если
Вектора a		, b ,	c
существуют такие λ1 , λ2 , λ3 среди которых хотя бы одно
не	равно	нулю	и	при этом выполняется равенство
→	→	→
λ1 a	+ λ2 b+ λ3 c = 0 .
Метод проверки

→{	}	→{	}	→{	}
a xa ; ya ;za ;		b xb; yb ; zb	;	c xc ; yc ; zc	;

Для проверки векторов на их линейную зависимость друг с другом составим систему векторов:

	æ xa	ö	æ xb	ö	æ xc	ö	ìλ1xa + λ2 xb + λ3 xc = 0
	ç	÷	ç	÷	ç	÷	ï	;
	λ1çç ya ÷÷ + λ2		çç yb ÷÷ + λ3		çç yc ÷÷ = 0 Þ		ïíλ1 ya + λ2 yb + λ3 yc = 0
	è za ø		è zb ø		è zc ø		îλ1za + λ2 zb + λ3 zc = 0

Решим её, к примеру, методом Гаусса. Теперь, если все па- раметры ( λ1 , λ2 , λ3 ) определены (т.е. ранг основной мат-

рицы, полученной из системы векторов равен числу пара- метров) и равны нулю, то вектора не являются линейно зависимыми, в обратном случае (когда ранг меньше коли- чества параметров) – являются.

Пример: Проверить линейную зависимость

→

→

→

Þ

a{1;-1;2};

b{-1;1;-1};

c{2;-1;1}

æ ö

æ - ö

æ ö

ìλ - λ + 2λ = 0

ç

1

÷

ç

1÷

ç

2 ÷

= 0 Þ

ï

1

2

3

λ1ç-1÷ + λ2

ç 1 ÷

+ λ3 ç-1÷

í- λ1 + λ2 -λ3 = 0 Þ

ç

2

÷

ç

-1÷

ç

1 ÷

ï2λ - λ + λ = 0

è

ø

è

ø

è

ø

î

1

2

3

æ 1 -1 2 0ö

II + I

æ1 -1 2 0ö æ1 -1 2 0ö

A =

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

-1 1 -1 0÷

~

ç0 0 1 0÷

~ ç

0 1 -3 0÷

ç

÷III

−2 Iç

÷

ç

÷

è

2 -1 1 0ø

è0 1

- 3 0ø è

0 0 1 0ø

ìλ1 = 0

→

→

→

ï

Þ íλ2 = 0

- вектора

a

, b ,

c

линейно независимы.

ï

îλ3 = 0

Ответ получен.

Андрей Ивашов

- 20 -

Теорема Лапласа

Для нахождения обратной матрицы по теореме Лапласа необходимо научиться пользоваться следующим определе- нием обратной матрицы:

1	~
A−1 = det(A) AT , при det (A) ¹ 0 .

Необходимо выполнить следующие действия:

a.Найти определитель матрицы(по теореме об условии существования обратной матрицы, определитель ос- новной матрицы не может быть равен нулю);

b.Получить союзную матрицу для основной;

c.Транспонировать союзную матрицу;

d.Поделить полученную матрицу на её определитель.

Пример: Найти обратную матрицу по теореме Лапласа

	æ	3	0	-5ö
	ç	1	3	÷	det(A)= -1;
A = ç				0 ÷;
	ç	0	2	÷
	è			1 ø
			2		3							0									3					0			-5
	A11 = (-1)			M11 =	2							1		= 3;						A21 = (-1)		M21 = -				2			1				= -10;
			3						1			0									4				3				-5
	A12 = (-1)			M12 = -					0 1						= -1;					A22 = (-1)		M22 =			0 1							= 3;
			4		1							3									5							3	0
	A13 = (-1)			M13 =	0 2									= 2;						A23 = (-1)		M23 = -						0 2				= -6;
			4		0							-5
	A31 = (-1)			M31 =	3							0			= 15;
			5								3	-5
	A32 = (-1)			M32 = -							1 0						= -5;
			6				3					0
	A33 = (-1)			M33 =			1 3							= 9;
	æ 3 -1 2 ö											~T			æ 3 -10 15 ö							æ -3 10 -15ö
~	ç	-10 3 -6			÷										ç				÷		−1	ç	1			-3							5	÷
A = ç						÷; A									= ç			-1 3 -5÷			; A	= ç												÷ .
	ç	15 -5 9			÷										ç			2	÷			ç	-2 6									-9		÷
	è				ø										è				-6 9 ø			è												ø
																						Ответ получен.
Андрей Ивашов																			- 13 -

Ранг матрицы

Рассмотрим два метода нахождения ранга матрицы.

Метод окаймления миноров

Для нахождения ранга матрицы по данному методу необ-

ходимо найти минор первого порядка матрицы отличный от нуля, затем, окаймляя найденный минор с двух сторон двумя прилежащими к нему строкой и столбцом, прове- рить чему он равен. Если данный минор (уже второго по- рядка) не равен нулю, следующая итерация окаймления производиться над ним. Данный алгоритм действителен пока очередной минор не будет равен нулю. Если так, то необходимо проверить, возможно ли провести его окайм- ление с другими строкой и/или столбцом. В случае поло- жительного ответа на данный вопрос дальнейшее окайм- ление проводится с участием уже нового минора. В про-

тивном случае решение останавливается и ранг матрицы оказывается равным порядку последнего, не равного нулю, минора.

Пример: Найти ранг матрицы методом окаймле- ния миноров

æ1	2	3		4	ö
ç					÷		=1 ¹ 0 Þ M1,1,22						1	2
A = ç1	0	1		2	÷ Þ M11							=			= -2 ¹ 0 Þ
ç					÷								1	0
è3	4	7	10ø
Þ M1,1,22,3,3	=	1	2		3	= 0; M1,21, 2,4,3 =			1	2		4	= 0 Þ
		1	0		1				1	0		2
		3	4		7				3	4	10
(т.к. больше				миноров				третьего				порядка, окаймляющих

M11,2,2 , второго порядка, в матрице нет, её ранг равен двум)

Þ rang (A) = 2 .

Ответ получен.

Метод Жордана - Гаусса

Метод заключается в том, чтобы элементарными преоб- разованиями (не только над строками, но и столбцами) над исходной матрицей, привести её к виду единичной, при этом удаляя строки (столбцы), состоящие из одних нулей. В итоге получится единичная матрица n -го порядка и ранг исходной матрицы будет равен n . Иначе говорят, ранг будет равен числу, определяющему количество единиц

Андрей Ивашов

- 18 -

Решение систем уравнений

С помощью матриц можно решить лишь системы линей- ных алгебраических уравнений. В некоторых случаях сис-

тему можно привести к данному определению методом подстановки.

Матричный метод

Метод решения систем линейных алгебраических уравне- ний с помощью обратной матрицы.

A× X = B Þ X = A−1 ×B , при D = det(A)¹ 0 ; где

A- числовая матрица;

B- матрица-столбец свободных членов (ответов);

X- матрица-столбец неизвестных.

Пример: Решить систему уравнений матричным методом (с помощью обратной матрицы)

Найти все неизвестные системы матричным методом решения систем линейных алгебраических уравнений.

ì3x -5x

3

= 5

ì3x + 0x -5x

3

= 5

ï

1

ï

1

2

ïíx1

+ 3x2 = -1 Þ

ïíx1 +3x2 + 0x3 = -1 Þ

î2x2 + x3 = -2

î0x1 + 2x2 + x3 = -2

æ3 0 -5ö

æ 5 ö

æ x1

ö

ç

÷

ç

÷

ç

÷

Þ A =

ç1 3 0

÷; B =

ç

-1÷; X = ç x2

÷

Þ

ç

0 2 1

÷

ç

- 2÷

ç x

÷

è

ø

è

ø

è 3

ø

æ -3

10

-15ö

Þ

det(A)= -1 ¹ 0;

ç

- 3

5

÷

Þ (*)

A−1 = ç 1

÷

ç

6

- 9

÷

è- 2

ø

æ - 3 10 -15öæ 5 ö æ(- 3)5 +10(-1)+ (-15)(- 2)ö æ 5 ö

ç

-3 5

֍

÷

=

ç

5+ (- 3)(-1)+ 5(- 2)

÷

ç

- 2

÷

Þ

X = ç 1

֍

-1÷

ç 1×

÷

= ç

÷

ç

֍

÷

ç

÷

ç

2

÷

è - 2 6 -9 øè

- 2ø è (- 2)5 + 6(-1)+ (- 9)(- 2)

ø è

ø

æ x1

ö æ 5 ö

ìx1 = 5

ç

÷

ç

÷

ï

Þ

ç x2

÷

= ç

- 2

÷

Þ

íx2

= -2 .

ç x

÷

ç

2

÷

ïx

3

= 2

è 3

ø

è

ø

î

(*) – Для того чтобы научиться находить обратные мат- рицы читайте раздел «Обратная матрица».

	Ответ получен.
Андрей Ивашов	- 15 -

Метод нахождения обратной матрицы из матрицы

второго порядка.......................................................................	- 12 -
Теорема Лапласа......................................................................	- 13 -
Метод Гаусса............................................................................	- 14 -
Решение систем уравнений........................................................	- 15 -
Матричный метод.................................................................	- 15 -
Метод Крамера........................................................................	- 16 -
Метод Гаусса............................................................................	- 16 -
Ранг матрицы.................................................................................	- 18 -
Метод окаймления миноров................................................	- 18 -
Метод Жордана - Гаусса.......................................................	- 18 -
Линейная зависимость................................................................	- 20 -
Метод проверки.......................................................................	- 20 -
Базис...................................................................................................	- 21 -
Нахождение матрицы оператора при смене базиса.- 21 -
Нахождение координат вектора при смене базиса....	- 22 -
Заключение.......................................................................................	- 23 -
Примеры с решениями..................................................................	- 24 -
Содержание......................................................................................	- 30 -

Андрей Ивашов

- 2 -

Андрей Ивашов

- 31 -

		æ	1	a12
		ç
Диагональная – A	=	ç a12		1
mm		ç	M		M
		ç		a
		ç a			2m
		è	1m

La1m

La2m

M M

L1

ö

÷

÷÷ - матрица, на

÷

÷

ø

главной диагонали которой находятся только единицы.

		çæ a11	a12
Симметрическая – A	=	ç a12	a22
mm		ç		M
		ç M	a
		ç a		2m
		è 1m

La1m

La2m

M M

Lamm

ö

÷

÷÷ - матрица,

÷

÷

ø

все элементы которой подчиняются правилу aij = aji , все- гда квадратная.

	çæ a11	a21		L an1 ÷ö
Транспонированная –	T ç a12	a22		L an2		÷	- матри-
	Amn = ç					÷
	ç M	a	M	M M		÷
	ç a		2m	L a		÷
	è 1m				nm ø

ца, в которой все строки стоят на месте столбцов, а столбцы, соответственно, на месте строк (при этом оп-

ределитель транспонированной матрицы по отношению к исходной остаётся прежним).

		çæ A11		A12
Союзная - A~	=	ç A21		A22
mn		ç	M	M
		ç
		ç	A	A
		è	m1	m 2

LA1n

LA2n

M M

LAmn

ö

÷

÷÷ - матрица, все эле-

÷

÷

ø

менты которой заменены на их алгебраические дополне- ния.

Обратная – A−1 - матрица, удовлетворяющая условию

A× A−1 = A−1 × A = E .
	æ	x	2 yö
Мультиколлинеарная –	ç		÷	- матрица, одна
	A = ç		÷
	è	2x	4 yø

из строк которой линейно зависима от другой строки этой матрицы.

Соответственные матрицы – две матрицы, число

строк первой из которых соответствует числу столбцов второй, но не наоборот.

Андрей Ивашов

- 4 -

	æ 2					-4			3							1						0	ö
	ç	1				-2			1							-4						2	÷									-4		3
A =	ç																						÷	2			2,3			=					= 2	¹ 0
	ç		0 1						-1							3 1							÷	Þ M1 = -4	¹ 0 Þ M1,2							-2 1
	ç																						÷
	ç	4		-7					4							-4						5	÷
	è																						ø
							2			-4							3									2		-4		3		1
																										1		-2		1		-4
Þ M1,2,31,2,3				=			1			-2						1					=1		¹ 0 Þ M1,2,3,41,2,3,4		=									= 0;
																										0	1 -1
							0		1							-1																3
																										4	-7			4		-4
						2			-4							3					0
M1,2,3,41,2,3,5 =						1			-2							1					2	= 0 Þ rang( A) = 3 .
						0			1 -1												1
						4			-7							4					5

Ответ получен. 14.Пример: Найти матрицу оператора в базисе e¢ ,

если в базисе e матрицаимеет вид Ae

ìe1¢ = e1 - e2 + e3

æ 0 1 1ö

¢

ï

¢

= -e1 + e2 - 2e3 ;

Ae =

ç

÷

e : íe2

ç

-1 0 1 .

ï

÷

¢

= -e1 + 2e2 + e3

ç

1

÷

îe3

è

-1 1ø

æ

1 -1 -1ö

æ 5 3 -1ö

ç

-1 1 2

÷

Þ

ç

÷

P = ç

÷

P−1 = ç

3 2 -1÷ ;

ç

1 -2 1

÷

ç

÷

è

ø

è

1 1 0 ø

æ 5 3 -1ö æ 0 1 1ö æ 1 -1 -1ö æ -3 -4 23ö

A

=

ç

3 2 -1÷

×ç

-1 0 1÷

×ç

-1 1 2

÷

= ç

-3 -1 15

÷ .

e′

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

÷

ç

1

÷

ç

1 -2 1

÷

ç

0 -2 5

÷

è

1 1 0 ø è

-1 1ø è

ø è

ø

Ответ получен.

Андрей Ивашов

- 29 -