Шпоры по матану [3 семестр] / тест2-теоремы
.docxПо основной т-ме о вычетах, если в замкнутой области G с кусочно-гладкой границей C функция f(z) аналитична всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек a1,a2,…,an, то равен
Док:
0=
Ho
=
=)
(=) =2πi c-1
Чтд
Если функция f(z) имеет в точке z=a полюс порядка m, то вычет в этой точке равен: (*)
Док: f(z)=
+
…
+
c-1 – это n-1 коэф.Тейлора, справа для этого коэф.есть форм-ла (*)
Чтд
Если функция f(z) – аналитическая в замкнутом кольце G:r≤|z-a|≤R (r<R), то коэффициенты C-n (nN) ряда Лорана в G имеют вид:
Док:
+
=
=
=
Чтд
По т-ме Коши для составного контура, если функция f(z) – аналитическая в замкнутой многосвязной области G с кусочно-гладкой границей, состоящей из внешнего контура C0 и внутренних контуров C1, C2,…,Cn, то интеграл равен
Док:
Чтд
Если ф-я f(z) – аналитическая в односвязной замкнутой области G с кусочно-гладкой границей С и z0G, то интеграл равен
Док:
Чтд
Если ф-ия f(z) имеет в точке z=a простой полюс, то вычет в этой точке равен:
Выч{f;z0}=(z-z0)f(z) (*)
Док:
Чтд
По интегральной т-ме Коши, если f(z) – аналитическая в замкнутой односвязной области G, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой кривой С, то f(z0)=
(
Док: ф-я =f’(z0) в G={z0}
=f’(z0)
0=
- =
Чтд
Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y), определенная в некоторой области G, была дифференцируема в этой области, необходимо и достаточно, чтобы
(u и v – гармонические функции)
Док:
+
----------------
Чтд
Ряды Тейлора:
=
|z|<1
|z|<1
=
=
cos z=ch (iz)=
sin z=
Ln z=ln()=
=