Шпоры по матану [3 семестр] / 1тест-теоремы
.docxП-к Деламбера:
Пол.ряд
Если
треб доп исследование
Док: 1)⊐ ---|-------|-------- |--->
q 1
n1=[N]+1
Геометрическая прогрессия (т.к. q<1) =>наш ряд сходится
2) ⊐ ---|-------|-------- |--->
1 q
=>
an↗ =>an0 нарушается необходимый пр-к сх-ти => наш ряд расходится
чтд
п-к Коши:
⊐
Если
ится
=>(?)
Док: 1)⊐ ---|-------|-------- |--->
q 1
=>an<qn
<+∞ => ряд сх
⊐---|-------|-------- |--->
1 q
=>an>qn →+∞
Нарушается необходимый пр-к сходимости – ряд расходится.
чтд
Ф-ка т-мы о диф-ии степ. ряда с радиусом сходимости R (т-ма Абеля):
Область сходимости ряда есть (-R;R) (R-радиус сходимости)
Док: ⊐ Тогда
=при При ряд расх
чтд
ф-ка т-мы о почленном инт-ии:
если обл сход-ти) равномерно сходится на [a,b], то
=
Док:
S(x)=Sn(x)+Rn(x)
Rn(x)=fn+1(x)+fn+2(x)+…
<ε(b-a)
n>N
чтд
т-а о почленном диф-ии:
если ряд сходится на [a,b], а равномерно сходится на [a,b], то =
=
Док: Обозначим
=
==
Продиф-ем это равенство
чтд
ф-ка II (предельной) т-мы сравнения:
(1) и (2)
=
тогда(1) и (2) сход. Одновременно.
Док: < =>
=>Из сх. (2) след сx. (1)
Т.к.
=>
=>, поэтому из сход-ти (1) следует сход.(2), а из расход-ти (2) - расх (1)
Чтд
По т-ме о знакопеременных рядах, если сход ряд , то - абсолютно сходящийся ряд
Док: Проверим критерий сх-ти Коши. Берем ε>0. Найдем N: |an+1+…+an+p|≤|an+1|+…+|an+p|<ε
Критерий Коши гарантирует сх-ть нашего ряда.
Чтд
Т-ма Лейбница о сход-ти знакочередующихся рядов:
Если an↘0, то a1-a2+a3-a4+… сх
Док: S2n=(a1 – a2)+(a3 – a4)+…+(a2n-1 – a2n) ≥0 S2n↗
S2n= a1 – (a2 – a3) - … - a2n
S2n≤a1
↘0
Чтд
ф-ка инт. п-ка Маклорена-Коши:
⊐
Тогда
(ряд интегралов сход одновременно)
Док:
f(2) y=f(x)
f(3) y=
f(4)
1 2 3
f(x)= если x
тк f(x) ↘
Из сход ряда следует сход интеграла, а из расхода инт след расход ряда.
Из сх инт след сх ряда, а из расх ряда след расх интеграла.
Чтд