Шпоры по матану [3 семестр] / 1тест-теоремы

П-к Деламбера:

Пол.ряд

Если

треб доп исследование

Док: 1)⊐ ---|-------|-------- |--->

q 1

n₁=[N]+1

Геометрическая прогрессия (т.к. q<1) =>наш ряд сходится

2) ⊐ ---|-------|-------- |--->

1 q

=>

a_n↗ =>a_n0 нарушается необходимый пр-к сх-ти => наш ряд расходится

чтд

п-к Коши:

⊐

Если

ится

=>(?)

Док: 1)⊐ ---|-------|-------- |--->

q 1

=>a_n<qⁿ

<+∞ => ряд сх

⊐---|-------|-------- |--->

1 q

=>a_n>qⁿ →+∞

Нарушается необходимый пр-к сходимости – ряд расходится.

чтд

Ф-ка т-мы о диф-ии степ. ряда с радиусом сходимости R (т-ма Абеля):

Область сходимости ряда есть (-R;R) (R-радиус сходимости)

Док: ⊐ Тогда

=при При ряд расх

чтд

ф-ка т-мы о почленном инт-ии:

если обл сход-ти) равномерно сходится на [a,b], то

=

Док:

S(x)=S_n(x)+R_n(x)

R_n(x)=f_n+1(x)+f_n+2(x)+…

<ε(b-a)

n>N

чтд

т-а о почленном диф-ии:

если ряд сходится на [a,b], а равномерно сходится на [a,b], то =

=

Док: Обозначим

=

==

Продиф-ем это равенство

чтд

ф-ка II (предельной) т-мы сравнения:

(1) и (2)

=

тогда(1) и (2) сход. Одновременно.

Док: < =>

=>Из сх. (2) след сx. (1)

Т.к.

=>

=>, поэтому из сход-ти (1) следует сход.(2), а из расход-ти (2) - расх (1)

Чтд

По т-ме о знакопеременных рядах, если сход ряд , то - абсолютно сходящийся ряд

Док: Проверим критерий сх-ти Коши. Берем ε>0. Найдем N: |a_n+1+…+a_n+p|≤|a_n+1|+…+|a_n+p|<ε

Критерий Коши гарантирует сх-ть нашего ряда.

Чтд

Т-ма Лейбница о сход-ти знакочередующихся рядов:

Если a_n↘0, то a₁-a₂+a₃-a₄+… сх

Док: S_2n=(a₁ – a₂)+(a₃ – a₄)+…+(a_2n-1 – a_2n) ≥0 S_2n↗

S_2n= a₁ – (a₂ – a₃) - … - a_2n

S_2n≤a₁

↘0

Чтд

ф-ка инт. п-ка Маклорена-Коши:

⊐

Тогда

(ряд интегралов сход одновременно)

Док:

f(2) y=f(x)

f(3) y=

f(4)

1 2 3

f(x)= если x

тк f(x) ↘

Из сход ряда следует сход интеграла, а из расхода инт след расход ряда.

Из сх инт след сх ряда, а из расх ряда след расх интеграла.

Чтд