Шпоры по матану [3 семестр] / тест3-теория
.docx-
Функция f(t) называется оригиналом, если удовлетворяет следующим условиям: 1)f(t)=0 при t<0;
2)|f(t)|≤
; 3)На каждом конечном интервале оригинал
имеет только несколько точек разрыва;
1.Интеграл
Лапласа F(p)=
где f(t)
– оригинал, сходится абсолютно для
всех значений p,
удовлетворяющих условию Rep>
,где.
показатель роста функции f(t).
1.Преобразованием
Лапласа единичной функции
является
ф.Хевисайда
1.В
преобразовании Лапласа F(p)=
функция f(t)=0
при значениях t<0
1.Преобразованием
Лапласа функции действительного
переменного f(t)
называется функция комплексного
переменного F(p),
определяемая формулой F(p)=
1.При
возрастании t
модуль функции-оригинала f(t)
растет не быстрее, чем функция
1.Изображением
функции f(t)
называется функция комплексного
переменного F(p),
определяемая формулой:
1.Интегралом
Лапласа называется интеграл вида:
1.Изображением F(p) оригинала f(t) является аналитическая функция в полуплоскости α=Re p>δ , где δ – показатель роста функции f(t), причем функция F(p) является аналитической в этой полуплоскости.
1.Если
F(p)
изображение, то
равен 0.
2. По теореме запаздывания, если F(p)÷f(t), то для любого постоянного τ>0 изображением оригинала f(t – τ) является e-pτF(p)
2.По
теореме подобия, если F(p)÷f(t),
то для любого постоянного λ>0 изображением
оригинала f(λt)
является
2.По теореме затухания, если f(t)÷F(p), то для любого действительного или комплексного числа а изображением оригинала eatf(t) является F(p-a)
2.По
теореме о дифференцировании по параметру,
если при любом значении x
оригиналу f(t,x)
соответствует изображение F(p,x),
то изображением оригинала
является
2.Если f(t)÷F(p) и f(0)=0 , то изображением оригинала f’(t) является pF(p)
2.Если
f(t)÷F(p),
то изображением
является
2.Если f(t)÷F(p), то изображением функции (-t)f(t) является F’(p)
2.Если f(t)÷F(p) и f(0)=f’(0)=…
…=f(n-1)(0)=0, то изображением оригинала f(n)(t) является pnF(p)- -pn-1f(0)-…-f(n-1)(0).
2.Если
f(t)÷F(p),
то изображением оригинала
является
2.Если f(t)÷F(p), g(t)÷G(p), то изображением оригинала Af(t)+Bg(t) является AF(p)+BG(p)
3.Если F(p) является изображением f(t), то G(p)=p2F(p) – pf(0) – f’(0) есть изображение оригинала f’’(t)
3.Если
F(p)
– изображение f(t)
и
сходится,
то этот интеграл является изображением
оригинала
3.По
теореме об интегрировании интеграла,
если f(t)÷F(p),
то
является изображением оригинала
3.Если f(t)÷F(p), то изображением оригинала [-tf(t)] является F’(p).
3.Если f(t)÷F(p) и g(t)÷G(p), то оригиналом изображения AF(p)+BG(p) является Af(t)+Bg(t)
3.По теореме затухания, если f(t)÷F(p), то для любого числа а оригиналом изображения F(p-a) является eatf(t)
3.Если
при любом значении х оригиналу f(t,x)
соответствует изображение F(p,x),то
оригинал изображения
есть
3.Если f(t)÷F(p), то для любого постоянного τ>0 оригиналом изображения e-pτF(p) является f(t-τ)
3.Если
f(t)÷F(p),
то для любого постоянного λ>0 оригиналом
изображения
является f(λt)
3.Если f(t)÷F(p), то оригинал изображения pF(p)-f(0) есть f’(t)
4.
4.
4.
4.
teλt
4.
4.
4.
4.
4.t4÷
4.
5.
t÷
;
5.eλt÷
;
t ch ωt÷
5.t2÷
;
sin(t-τ)÷
5.t
sin ωt÷
;
t3÷
5.
;
5.
;
5.
;
5.
;
5.
;
5.
6.Сверткой
двух функций f(t)
и g(t)
наз-ся
6.Если
f(t)÷F(p)
и g(t)÷G(p),
то изображением произведения f(t)g(t)
является
,
Re z=j < δ0.
6.Если
f(t)÷F(p)
и g(t)÷G(p),
то изображением свертки f
является F(p)G(p).
6.Если
f(t)÷F(p)
и g(t)÷G(p),
то свертка
является изображением оригинала
f(t)g(t)
6.
Если f(t)÷F(p)
и g(t)÷G(p),
то оригиналом свертки изображений
является f(t)g(t)
6.Если
f(t)
и g(t)
– оригиналы, то и свертка
является тоже оригиналом
÷
=F(p)G(p)
6.Интеграл
вида
называется изображением свертки
f(t)g(t)
6.Коммутативность
свертки означает, что
равен интегралу
6.Если
f(t)÷F(p)
и g(t)÷G(p),
то оригиналом свертки изображений
является f(t)g(t)
6.Сверткой изображений F(p) и G(p) называется
f(t)g(t)=
7.F(p) – изображение f(t), G(p) – изображение g(t), то pF(p)G(p) является изображением оригинала f’(t)g(t)+f(0)g(t)
7.По
теореме обращения, если функция f(t)
является оригиналом, а F(p)
– ее изображение, то в любой точке t,
где оригинал f(t)
непрерывен, имеет место формула: f(t)=
7.
Если f(t)÷F(p),
f’(t)
тоже является оригиналом и существует
предел функции f(t)
при t→∞,
то
равен f(0)
7.Если
f(t)÷F(p),
g(t)÷G(p)
и f(0)=0,
то изображением свертки f’(t)
является pF(p)G(p)
7.По
теореме разложения, если изображение
– рациональная функция, где А(р) и В(р)
– многочлены, (степень А(р) меньше
степени В(р)), то оригинал имеет вид:
f(t)=
,
где pk
– нули В(р).
7.
Если f(t)÷F(p)
и g(t)÷G(p),то
изображением оригинала
является pF(p)G(p)
7.Если
f’(t)
является оригиналом, а функция F(p)
- аналитическая на бесконечности, то
равен f(0),
тк f’(t)=pF(p)-f(0)
7. Если f(t)÷F(p), g(t)÷G(p) и g(0)=0, то изображением оригинала f(t)*g’(t) является pF(p)G(p)
7.
Если f(t)÷F(p),
то интеграл
(интегрирование производится по любой
бесконечной прямой Re
p=
,
лежащей в полуплоскости абсолютной
сходимости интеграла Лапласа от f(t))
равен f(t)
7.
Если f(t)÷F(p)
и g(t)÷G(p),
то изображением произведения f(t)g(t)
является
9.Изображением
оригинала f(t)=t
cos
2t
является
9.f(t)=
9.f(t)=t
sin3t :
9.f(t)=t
sin5t :
9.f(t)=(t+1)sin 2t=t sin2t+sin2t
9.f(t)=t
ch 2t:
9.f(t)=tcos3t:
9.f(t)=tsin6t:
10.f(t)=
:
(
)
10.f(t)=
:
10.f(t)=
10.f(t)=
+1)cos
=
=
:
10.f(t)=
10.f(t)=
=
=
=
10.f(t)=
:
10.f(t)=
10.f(t)=
10.f(t)=
11.f(t)=
÷
=
=
=
11.f(t)=
÷
=
=
11.f(t)=
11.f(t)=
=
11.
(ln|q-2|-ln|q+3|)
=
ln
11.f(t)=
:
11.f(t)=
:
11.f(t)=
÷
11.f(t)=
:
11.f(t)=
-
=
12.f(t)=etsh
5t:
12.f(t)=e2tcos
t:
12.
f(t)=e2tt2:
12.
f(t)=sin(2t-1)=sin2(t -
:
12.
f(t)=e2tsin
3t:
12.
f(t)=cos 3(t-5):
12.
f(t)=e2tsh
t:
12.
f(t)=cos 5(t-2):
12.
f(t)=cos3(t-2):
12.
f(t)=e3tt2:
13.F(p)=
Выч{
+
=
= sin3t+2cos 3t
13.F(p)=
13.
F(p)=
13.
F(p)=
13.
F(p)=
13.
F(p)=
13.
F(p)=
13.
F(p)=
:
3e3t
-2e2t
13.
F(p)=
:
4e2t-3
13.
F(p)=
:
e7t-
e6t
14.F(p)=
14.F(p)=
14.F(p)=
14.
F(p)=
14.
F(p)=
14.
F(p)=
14.
F(p)=
14.
F(p)=
14.
F(p)=
14.
F(p)=
15.Решением задачи Коши явл:
x’’+x=2cos t, x(0)=0, x’(0)=-1,
x(t)÷X(p),
x’(t)÷pX(p)-0, x’’(t)=p2X(p)+1,
2cos t÷
,
pX(p)+1+X(p)=
, X(p)=
,
,
x(t)=t sint – sin t=sin t(t-1)
15.x’’+x’=1, x(0)=0, x’(0)=1,
x(t)÷X(p);x’(t)÷pX(p);x’’(t)=p2X(p)-1;
1÷
;p2X(p)-1+pX(p)=
;
p(p+1)X(p)=
X(p)=
x(t)=t
15. x’’+3x’=et;x(0)=0;x’(0)=-1
15. x’’+2x’-3x=e-t ;x(0)=0;x’(0)=1;
15.x’’-2x’=e2t; x(0)=;x’(0)=0
