Шпоры по матану [3 семестр] / тест1-теория
.docxЧисловые и функциональные ряды
1. Если задана бесконечная последовательность чисел а1,а2,…,аn,...,
то числовым рядом называется выражение
1.частичными суммами ряда наз-ся конечные суммы S1=a1 , S2=a1+a2, …,
Sn=a1+a2+…+an
1. суммой числового ряда наз-ся S=limSn (n->∞) (если сущ)
1.ряд наз-ся сх-ся если сх-ся посл-ть{Sn}n-1,те
1.необходимым условием сх-ти ряда явл an->0
1.ряд на-ся расходящимся если |qn|-> (limSn=∞)
1.если числ ряд сх-ся то его сумма равна S = limSn (n->∞)
1.облостью сх-ти функ ряда наз-ся мн-во Е ряда сх-ти
для хЕ и расх-ся для хD/E
1.если то ряд расход
1.если не сущ предела посл-ти частичных сумм ряда
то этот ряд рсх
2.остатком ряда наз-ся Rn=an+1+an+2+… Свойство отбрасывания (добавления) конечного числа членов ряда таково: если к ряду a1+ a2+…+an= (1) прибавить или отбросить конечное число членов то полученный ряд и ряд (1) сх-ся или расх-ся одновременно
2.если ряд сх-ся, а с-число (с≠0), то ряд = с
2.если ряды и сх-ся то ряд сх-ся
2.пусть даны положительные ряды и , тогда по первой теореме сравнения, если an bn для n, то из сх-ти b => сх-ть а, а из расходимости а => расх b
2.по 2ой (предельной) теореме сравнения , «+» ряд сх-ся, если сх-ся «+» ряд и
2.если «+» убывающая посл-ть {an стремиться к 0, то ряд сх-ся
2.если ряд «+» и монотонно убывающей ф-ии f(x) при х≥1 интеграл ,то ряд )( (одновременно расходятся)
2. если ряд «+» и монотонно убывающей ф-ии f(x) при х≥1 интеграл ,то ряд )( (одновременно сходятся)
2.если даны «+» ряды и причем an≤bn (при n≥N) и ряд расх-ся, то ряд расх-ся
2. если для «+» рядов и , и ряд расх-ся, то ряд расх-ся одновр-но
3.По интегральному при-ку Маклорена-Коши, если ф-я f(x) положительна и монотонно убывает при x≥a и ряд интегралов сходиться одновременно, то )(
3.по при-ку Деламбера, положительный ряд сх-ся, если lim =e<1
3. по теореме Лейбница, знакочередующийся ряд сх-ся если аn ↓0; lim an=0
3.по при-ку Коши «+» ряд сх-ся,если <=> <+∞
3.если ф-й ряд мажорируем на отрезке [a,b], и Un(x) непр.ф-ии на этом отрезке,то по т-ме Вейерштрасса ряд ряд сх-ся равномернона М, то S(x) непрерывно до М
3.ряд наз-ся абсолютно сх-ся если ряд абсолютн беем… <+∞. По т-ме о знакопеременных рядах,если сх-ся ряд , то сх-ся и сам знакопеременный ряд
3.если для «+» ряда вып усл-е: , то этот ряд расх-ся
3.фун-й ряд можно почленно интегрировать, если
3.если знакочередующийся ряд сх-ся и an+1 ≤an для n, то для суммы S этого ряда верно:S≤a1
3. «+» рядсх-ся, если <1
4.Если степенной ряд сходиться в точке x0, то по теореме Абеля он сходится во всех значениях х, удовл-х неравенству |х| - |x0|
4.по теореме о почленной интегрируемости функц рядов, если ф-ии Un(x), (n=1,2,3,..) непрерывны в промежутке [a,b] и равн сх-ся на [a,b], то =
4.если , то радиус сх-ти R ряда равен
4.по т-ме о почленной дифференцируемости ф-х рядов, если ф-и Un(x) непрерывно диф-мы при x(a,b) и ряд сх-ся равномерно сх-ся на (a,b), то ()’ =
4.если для ряда сущ , то радиус R сх-ти ряда равен
4. если радиус сх-ти ряда равен R, то радиусы сх-ти R1,R2 рядов и соответственно, равны R/по т-ме 6/R при диф-ии и интегр не меняется
4.число R≥0 наз-ся радиусом сх-ти степенного ряда , если |x|≤R ряд абс сх-ся,а при |x|>R ряд расх-ся когда ряд сх-ся лишь в считаем что R=0. Если же ряд сх-ся при всех значениях x R, то считаем,что R=∞
4. если радиус сх-ти степ ряда равен нулю,то ряд сх-ся при х,принадлежащих мн-ву:{1}
4.если степ ряд расх-ся в точке х1, то он расх-ся при всех х, удовл-х нерав-ву|x|>|x1|
4.если для степ ряда =∞, то его областью сх-ти явл {0}, R=0 (по т-ме Абеля)
5.если ф-я f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке произвольные всех порядков, тогда рядом Тейлора ф-ии f в точке х0 наз-ся ряд вида , где
5.ряд Тейлора-Маклорена ф-ии имеет вид: x - x(-∞;+∞)
5. ряд Тейлора-Маклорена ф-ии ln(1+x) имеет вид: x - x(-1;1]
5. ряд Тейлора-Маклорена ф-ии ex : ex=1+)
5. ряд Тейлора-Маклорена ф-ии (1+x)a: (1+x)a=1+
5. ряд Тейлора-Маклорена ф-ии y=cosx : cosx= 1- x(-∞;+∞)
5.Общий член ряда Тейлора ф-ии f(x) в точке x0 имеет вид:
5. Общий член ряда Тейлора-Маклорена ф-ии y=ln(x+1) :
5. Общий член ряда Тейлора- Маклорена ф-ии y=sinx :
5. Общий член ряда Тейлора- Маклорена ф-ии y=ex:
6.Система ф-й 1, cos x, sin x, cos2x, sin2x, …, cos nx, sin nx,… наз-ся тригонометрическим рядом; она обладает следующими св-ми: а)ортогональности: интеграл от произведения любых 2х ф-й этой системы на итервал,имеющий длину 2π, равен 0,а квадрат любой ф-ии этой системы на отрезке [-π;π] отличен от нуля.Также справедливо когда область интегрирования есть отрезок[0, 2π];
;;
б)периодич-ти:все ф-ии явл периодич. с периодом 2π; c)πтригоном:система функций образует базис
6.если f является кусочно-неприрывной ф-й на отрезке [-π;π] и в каждой точке х имеет конечные односторонние производные, тогда ряд Фурье ф-ии f сходится на всей числовой прямой и его сумма равна S(x)=f(x0+0)+ ,где f(x0+0)=limf(x)(x->x0+0), f(x0-0)=limf(x)(x->x0-0)(те ср арифм пределов ф-ии справа и слева) в точках разрыва, а в точках непрерывности ф-ии сумма ряда совпадает с самой ф-ей S(x)=f(x)
6.ряд Фурье ф-ии f с периодом 2l (или l) имеет вид: f(x)=+, где a0,an,bn выч по формулам: a0=
6.ряд Фурье для четной ф-ии f на интервале (-π;π) имеет вид:
,где коэффициенты Фурье выч по формулам
6.Тригонометрическим рядом Фурье ф-ии f(x) наз ряд вида: (x[-π;π]), причем коэффициенты ряда выч по формулам:
6.рядом Фурье ф-ии f, заданной на отрезке [-π;π], наз ряд вида:
6.система ф-й f1(x), f2(x),…, fn(x) наз ортогональной,если интеграл по отрезку длиной 2π от произведения любых двух различных ф-й этой системы равен нулю,а интеграл по отрезку длиной 2π от квадрата любой ф-ии этой системы отличен от нуля
6.коэффициенты ряда Фурье четной ф-ии f(x) с периодом 2l имеют вид:
6.ряд Фурье для нечетной ф-ии f(x) на интервале (-π;π) имеет вид:
,где коэффициенты Фурье выч по форм-м:
6.ряд Фурье нечетной ф-ии f(x) с периодом 2l имеет вид:
,где a0,an,bn вычисляются по формулам