РГР Ряды [15 вариант] / Типовой ряды 15 вариант №1,2,4,10,11,12,14,15
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в задачникедо2005 годаиздания (в мягкой обложке)
∞ |
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∞ |
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∑ |
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= ∑ |
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= |
∑ |
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− |
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9n |
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+3n − 20 |
(3n +5)(3n − 4) |
3n − 4 |
3n +5 |
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n=1 |
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n=1 |
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k |
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Sk = ∑ |
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3n − |
4 |
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−1 |
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n=1 |
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3n +5 |
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+... + |
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= |
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+ |
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3k − 4 |
3k |
+ |
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5 |
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lim Sk |
= lim |
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−3 |
+ |
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− |
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= −3 /10 |
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5k −3 |
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3k + 2 |
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k −>∞ |
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k −>∞ |
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1 −3k |
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(1) Представимдробь |
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(3x +5) (4x −4) |
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B |
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(3x +5) (3x − 4) |
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3x +5 |
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3x − 4 |
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9 = A (3x − 4)+Β (3x +5)
подставляяв этосоотношение x = −53 9 = −9 A A = −9
при x = 43 9 = 9B B =1
получаем:
(3x +5)9(3x − 4) = 3x1− 4 − 3x1+5
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в задачнике2005 годаиздания (в твердой обложке) |
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∑ |
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= ∑ |
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= |
∑ |
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− |
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−14n + |
48 |
(n −8)(n −6) |
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n −6 |
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n=10 n |
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n=10 |
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n=10 |
n −8 |
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15 |
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Sk = ∑ |
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= |
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+ |
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+ |
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− |
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+ |
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− |
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+ |
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n −6 |
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4 |
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3 |
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5 |
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6 |
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n=10 |
n −8 |
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+... + |
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= |
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− |
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− |
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− |
8 |
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k − |
6 |
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2 |
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k |
− |
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k −8 |
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k |
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∞ |
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lim Sk |
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∑ |
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= lim |
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− |
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= |
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= |
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2 |
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k − |
7 |
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k − |
8 |
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2 |
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n |
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k→∞ |
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k→∞ |
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n=10 |
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(2) Представимдробь |
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(x −8) (x −6) |
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ввидесуммыпростыхдробей : |
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= |
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A |
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+ |
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B |
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(x −8) (x −6) |
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x −8 |
x −6 |
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30 = A (x −6)+Β (x −8) |
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подставляяв этосоотношение x = 8 30 = 2 A A =15 |
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при x = 6 30 = −2B B = −15 |
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30 |
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= |
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15 |
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− |
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15 |
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(x −8) (x −6) |
x −8 |
x −6 |
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3 |
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∑ |
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= |
∑ |
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+ |
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− |
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(n −1)(n −2)(n +1) |
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n −1 |
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n=3 |
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n=3 |
n − 2 |
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1 + n |
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k |
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2 |
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1 |
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3 |
2 |
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1 |
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3 |
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1 |
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3 |
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Sk = ∑ |
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+ |
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− |
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= |
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n −1 |
1 |
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1 |
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2 |
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2 |
3 |
5 |
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n=3 n − 2 |
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+ n |
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4 |
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2 |
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1 |
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3 |
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2 |
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1 |
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|
|
|
|
|
3 |
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9 |
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2 |
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3 |
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3 |
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+ |
|
+ |
|
− |
|
+... + |
|
|
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|
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|
+ |
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− |
|
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= |
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− |
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|
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− |
|
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− |
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||||||||
3 |
4 |
6 |
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k −1 |
1 |
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2 |
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k −1 |
k |
1 |
+ k |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k − 2 |
|
|
|
|
|
|
+ k |
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn = 9 / 2
n→∞
() 8n −10
1Представимдробь (n −1) (n − 2) (n +1)
ввидесуммыпростыхдробей :
8n −10 |
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
. |
(n −1) (n − 2) (n +1) |
n − 2 |
n −1 |
n +1 |
Отсюда:
8n −10 = A (n −1) (n +1)+ B (n − 2) (n +1)+C (n − 2) (n −1)
Подставимв этосоотношение: |
|
|
||||||
n = −1 −18 = 6С С = −3 |
|
|
||||||
n =1 − 2 = −2Β |
B =1 |
|
|
|
|
|
||
n = 2 6 = 3А A = 2 |
|
|
|
|
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|||
Значит: |
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8n −10 |
2 |
1 |
|
|
3 |
|||
|
= |
|
+ |
|
|
− |
|
|
(n −1) (n − 2) (n +1) |
n − 2 |
n −1 |
1 + n |
6 _ 02 _15 _ 2
в задачнике2005 годаиздания (в твердой обложке) :
∞ |
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|
−cos n |
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||||||||
∑3 |
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|||||||||||
n=2 |
|
|
4 n3 |
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
|
||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
сравним этот рядс∑ |
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|
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||||||||||||||||
|
3 / 4 |
|
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|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
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n=2 n |
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|
0 < |
|
|
1 |
|
|
≤ |
3 −cos n |
для любыхn = 2,3,... |
( |
т.к. |
|
cos n |
|
<1 , то2 |
< 3 −cos |
( |
n |
) |
< 4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n3 / 4 |
|
|
|
4 |
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1/ 4 ∞ |
|
( |
|
|
|
|
1 / 4 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫2 |
|
|
dx = 4x |
2 |
= |
4 ∞ − 4 |
2 |
= ∞ интеграл расходитсся |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x3 / 4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∑ |
|
расходится(поинтегральному признаку Коши) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n |
3 / 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
n=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∞ |
3 |
|
−cos n тоже расходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
n=2 |
|
|
|
|
4 n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(подопредельному признакусравнения)
6 _ 04 _15
в задачникедо2005 годаиздания (в мягкой обложке) :
∞ |
1 |
|
|
(e1 |
n −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n + |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
||
сравнимданный рядс рядом∑1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
1 |
|
||
так как приα →0 |
e |
−1 α, топриα = |
|
|
||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
e1/ n −1 |
|
1/ |
n |
|
|
n |
|
|
|
||||||
lim |
n +3 |
= lim |
|
n +3 |
= lim |
|
=1 ≠ 0, ∞ |
|||||||||||
|
|
1/ n |
|
n2 +3n |
||||||||||||||
n−>∞ |
1/ n |
|
|
n−>∞ |
n−>∞ |
|
|
|
||||||||||
∞ |
1 dx = ln x |
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
=∞ нтеграл расходится |
|||||||||||||||||
| |
||||||||||||||||||
1 |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑∞ 1 расходится(поинтегральному признаку Коши)
n=1 n
исходный рядтоже расходится(попредельному признакусравнения)
в задачнике2005 годаиздания (в твердой обложке) :
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑1 3 n5...(2n |
−1) |
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
3 |
(n +1)! |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 3 5...(2n −1)(2n +1) |
|
|
|
|
|
lim |
un+1 |
= lim |
|
3n+1 (n +2)! |
= lim |
2n +1 |
= |
2 |
<1 |
un |
|
1 3 5...(2n −1) |
|
3 |
|||||
n−>∞ |
n−>∞ |
|
n−>∞ 3(n +2) |
|
|
||||
|
|
|
|
3n (n +1)! |
|
|
|
|
|
рядсходится попризнаку Даламбера
6 _10 _15 _1
в задачникедо2005 годаиздания(в мягкой обложке) :
lim |
|
n5 |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
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|
(2n)! |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|||||
n→∞ |
|
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|
|
|
|
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|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
5 |
|
|
|
|
|
|
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|||
рассмотрим ряд∑ |
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n |
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||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
||||||||||||
|
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|
n=1 (2n)! |
|
|
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|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)5 |
|
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|
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|
n +1 |
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
un+1 |
|
|
|
|
(2n + 2)! |
|
|
|
(n +1) |
5 |
(2n)! |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
lim |
|
= lim |
= lim |
|
= lim |
n |
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n5 |
|
(2n + 2)! n5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n−>∞ |
|
un n−>∞ |
|
|
n−>∞ |
n−>∞ (2n +1)(2n + 2) |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
∞ |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 0 <1 ∑ |
n |
|
|
|
сходится lim |
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 (2n)! |
|
|
|
|
|
|
n→∞ (2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 _10 _15 _ 2
в задачнике2005 годаиздания(в твердой обложке) :
∑ (−1) |
n |
n (x + 6)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(3n +1) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
Согласнопризнаку Даламбера: |
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
(−1)n+1 |
(x + |
6)n+1 |
|
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|
|
|
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|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
|
un+1 |
|
= lim |
|
(3n + 4) 3n+1 |
|
= |
|
x + 6 |
|
lim |
|
(3n +1) 3n |
|
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
un |
|
|
(−1)n |
|
|
|
(3n + 4) 3n+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
(x + |
6) |
n |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3n +1) 3n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
x + 6 |
|
|
|
3n +1 |
|
|
= |
|
|
x + 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
3n + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
n→∞ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +3 6 <1 x (−9; −3) сходится абсолютно.
проведемисследованиена границе a)x = −9
∑ (−1) |
n |
n |
(−9 |
+ 6)n = ∑ (−1) |
n |
n (−3)n |
= ∑ 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
||||||||||
(3n +1) 3 |
|
|
|
(3n +1) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n +1 |
|
||||||||||||||||||||||
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 ln |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dx = |
3x +1 |
|
| = ∞ интеграл расходится |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 3x + |
1 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∑ |
|
|
|
|
расходится поинтегральному признаку Коши |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3n +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
b)x = −3 |
|
|
|
|
(−3 + 6)n = ∑ |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∑ (−1) |
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
(3n +1) 3 |
|
|
|
|
|
n=1 |
3n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
данный ряд− ряд Лейбница, так как |
|
u1 |
|
> |
|
u2 |
|
|
>... u |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
u |
n |
|
|
= lim |
|
|
1 |
|
|
= 0 попризнаку Лейбница рядсходится |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3n +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
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ответ: областьабсолютной сходимости : x (−9; −3) сходится условнопри х = −3.