Конспект лекций Логинов А.С. ЭТФ 1 семестр [e-mail]

§4 Правило Лопиталя

1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0

Дано: f(x), g(x) определены на (x₀,b) и

1)

2) f,g дифференцируемы на (x₀,b)

3) g(x)0 на (x₀,b)

Тогда , если последний существует конечный или бесконечный.

Доказательство. Доопределим f,g в точке x₀ по непрерывности нулем f(x₀)=g(x₀)=0. По тереме Коши, примененной к [x₀,x](x)(x₀,x):x₀<(x)<x и

, причем (x)x₀, если xx₀. По теореме о существовании предела суперпозиции ч.т.д.

Замечание. Аналогично это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для xx₀.

Следствие 1. Если условия 1)-3) выполнены для всех производных до n-го порядка включительно, то

Следствие 2. Если f,g дифференцируемы для x>a,

,то

, если последний существует, конечный или бесконечный.

Доказательство. Сделаем замену

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x-.

2.Раскрытие неопределенностей вида /

f,g определены на (x₀,b) и

1)

2) f,g дифференцируемы на (x₀,b)

3) g(x)0 на (x₀,b)

Тогда , если последний существует конечный или бесконечный.

Без доказательства.

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x x₀ - 0, x x₀, x +, x -.

3.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00,0, - .

Неопределенности вида 0 сводятся к уже рассмотренным.

Примеры.

1)

2)

3)

4)  - 

Можно, например, так

5) Неопределенности вида 1^,0⁰,⁰ сводятся к уже рассмотренным логарифмированием

y=u^v=e^{v ln u}

Пример 1. . Вычисление. . Этот предел рассматриваем, как , где , а . Из теоремы о существовании предела суперпозиции двух функций следует, что . Далее , заменяя знаменатель на эквивалентную бесконечно малую получим . Таким образом, .

Пример 2. . Представим функцию в следующем виде . и вычислим предел

§5 Формула Тейлора

1. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом R_n.

Пусть f (n-1)-раз дифференцируема в окрестности U=(x₀-a,x₀+a) точки x₀ и существует f⁽ⁿ⁾(x₀). Многочленом Тейлора в точке x₀ называется многочлен вида

.

Свойства многочлена Тейлора

P_n(x₀)=f(x₀), (1)

В частности, , k=0,1,…,n.

(2)

Из (2) следует

(3)

Обозначим R_n(x)=f(x) - P_n(x), тогда

(4)

(4) – формула Тейлора функции f в окрестности точки x₀ с остаточным членом R_n. Основная задача будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок формах.

2.Остаток в форме Пеано

Теорема 1. При сделанных предположениях f (n-1)-раз дифференцируема в окрестности U=(x₀-a,x₀+a) точки x₀ и существует f⁽ⁿ⁾(x₀) имеет место равенство

Другими словами

(5)

Доказательство.

(1₀)

(1₁)

…

(1_m)

…

(1_n-1)

f^(n-1)(x) дифференцируема в точке x₀, поэтому

откуда

По правилу Лопиталя

Теорема 2. (Единственность представления функции по формуле Тейлора)Если f имеет n–ю производную в точке x₀ и

,

то

Лемма. Если

(2)

то b_k=0,k=0,1,…,n

Доказательство. xx₀ в (2)  b₀ = 0

,

/(x-x₀) и xx₀ и т.д.

Доказательство теоремы.

откуда и следует утверждение.

3.Другие формы остатка в формуле Тейлора

Пусть f (n+1)–раз дифференцируема в окрестности U=(x₀-a,x₀+a) и  дифференцируема в , 0 в ,  непрерывна в U.

Возьмем x(x₀-a,x₀+a), xx₀ и фиксируем. Для определенности будем считать x₀<x и рассмотрим функцию

. Отметим следующие свойства этой функции

1. (x)=0

2. (x₀)=R_n(x)

3. 

4. (z) непрерывна на [x₀,x], дифференцируема на (x₀,x).

К функциям  и  применим теорему Коши о конечных приращениях

Откуда

(1)

Следствие 1. Если функция f (n+1)-раз дифференцируема на (x₀-a, x₀+a), (z)=(x-z)^p

, где (x₀,x) (или (x,x₀)),p>0. Остаток Шлемильха-Роша.

Следствие 2. Если f (n+1)–раз дифференцируема на (x₀-a, x₀+a), то

.

Получено из общей формулы при p=n+1.

Замечание. Формулу с остатком Лагранжа можно представить в виде.

.

Следствие 3. Если f (n+1)–раз дифференцируема на (x₀-a, x₀+a), то справедлива формула Тейлора с остатком в форме Коши

4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

1. e^x, x₀=0

,(0,x) или (x,0)

Например при |x|<1, |R_n(x)|3/(n+1)!

2. sin x, x₀=0

Вспомогательная формула:

В формуле Лагранжа |

3. cos x, x₀=0

Вспомогательная формула:

В формуле Лагранжа

4. ln(1+x), x₀=0

5. (1+x)^, x₀=0

f=(1+x)^-1,…,f^(k)=(-1)…(-k+1)(1+x)^-k

5. Использование формулы Тейлора для вычисления пределов

Пример 1.

Пример 2.

.

Пример 3. (1381) Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁵ включительно.

Для решения задачи возьмем разложение функции

e^u = 1+u++++++o(u⁵), u=2x - x². Подставляя, получим

1+(2x-x²)+ (2x-x²)/2!+ (2x-x²)³/3!+ (2x-x²)⁴/4!+ (2x-x²)⁵/5!+o(x⁵). Отметим, что o((2x-x²)⁵)= o(x⁵). При раскрытии скобок нужно оставлять лишь те слагаемые, которые содержат степени не выше 5. Степени x⁶ и выше уходят в o(x⁵).

Пример 4. Разложить функцию f(x)=1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁵ включительно. Представим функцию в виде

=1+u²+u³+o(u³).

Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f(x)=tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁶ включительно.

Пример 6. Разложить функцию f(x)=(1+x)^ - (1-x)^ по формуле Тейлора с остатком Пиано.

k = 2l+1,

Следствие.

Пример 7. Используя следствие из предыдущего примера, найти предел (1401)

.

Имеем: =x=+o(1).

Пример 8. Разложить функцию f(x)= по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁴ включительно (1327).