Конспект лекций Логинов А.С. ЭТФ 1 семестр loginov_1999@mail.ru
Лемма 1.
xn=a,
{nk} -
последовательность натуральных чисел
nk=+
=a.
Доказательство:
Nn>N:|xn-a|<(3)
N
для N
Kk>K:
nk>N
из (3) следует |
-a|<.
Лемма 2. Если
xk=0,xk>0,
то
=e.
Доказательство: Для xk nk (можно считать xk < 1 ):
Поэтому
Переходя к пределу получим требуемое утверждение.
Следствие 1.
.
Аналогичное утверждение
справедливо для предела слева
.
Следствие 2.
,
.
Последнее получено с помощью замены x
= 1/y.
Основные эквивалентности
sin x x, x0
ax-1 x ln a, x0
ln(1+x ) x, x0
§5 Непрерывные функции
Непрерывность в точке и на множестве
f определена на XU(x0). Эта функция называется непрерывной в точке, если
f(x)=f(x0)
Определение непрерывности в точке по Коши
>0>0x X,|x-x0|<: |f(x)-f(x0)|<.
Определение непрерывности в точке по Гейне
xn,{xn}x0,
{xn} из
области определения:
f(xn)=f(x0)
Непрерывность справа, слева.
Непрерывность на [a,b]
Непрерывность на множестве.
Простейшие свойства непрерывных функций
Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке. Следствие: Тоже на множестве.
Сохранение знака непрерывной функции: f(x0)>0U(x0):f(x)>f(x0)/2.
f непрерывна в точке x0, g в x0, g(x0)0f/g непрерывна в x0.
|f| непрерывна, если непрерывна f.
Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция
f определена в окрестности x0 и непрерывна x0,
g определена в окрестности t0 и непрерывна t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и непрерывна в т. t0.
Классификация точек разрыва
Если f не является непрерывной в точке x0, то x0 – точка разрыва. В дальнейшем будет предлагать, что f определена в некоторой окрестности x0 ( быть может односторонней).
Опр. Если существуют конечные пределы
f(x0-0)
f(x)
и f(x0+0)
f(x)
и f разрывна в точке x0, то такой разрыв называется разрывом первого рода. Если при этом f(x0-0)=f(x0+0), То разрыв называется устранимым.
Разрыв не первого рода называется разрывом второго года.
Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки.
Например, функция определена на [a,b]. Дать определение в точке a.
Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса.
Лемма. Если {xn}[a,b]
и
xn=x0,
то x0[a.b].
Доказательство. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.
Теорема 1(Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на [a,b] функция f ограничена на [a,b].
Доказательство.
Ограниченность: Mx[a,b]:|f(x)|M.
Отрицание Mx[a,b]:|f(x)|>M.
В частности, nxn[a,b]:|f(xn)|>n.
Пусть {
}x0,
x0[a,b].
Тогда, с одной стороны |f(
)|>nk,
с другой стороны
f(
)f(x0).
Теорема 2. Непрерывная на [a,b] функция f(x) достигает своих точных верхней и точной нижней граней.
Доказательство.
M=
f(x),
nxn:M-1/n<f(xn)M.
Пусть
x0,
x0[a,b],
M-1/n<f(
)Mf(x0)=M.
Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
Теорема. Если непрерывная на [a,b] функция f(x) принимает на концах промежутка значения разных знаков, то c(a,b):f(c)=0.
Доказательство. ПустьA=f(a)0, B=f(b)0. Последовательное деление отрезка пополам так, что f(an)0f(bn). Тогда
ancbn,
bn-an0
an=c=
bn,
f(an)0f(bn)f(c)0f(c)
Следствие 1. f непрерывна на [a,b], f(a)f(b). Тогда для M из промежутка f(a),f(b) c[a,b]:f(c)=M
Доказательство: A=f(a)<B=f(b), F(x)=f(x)-M
Следствие 2. f непрерывна на [a,b], m=inf f(x), M = sup f(x), тогда множеством значений этой функции будет отрезок [m,M].
Критерий непрерывности монотонной функции.
Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f заполняло целиком отрезок с концами f(a),f(b).
Доказательство.
Лемма. Для
монотонно возрастающей на данном отрезке
функции существуют:
дляx0(a,b],
и
дляx0[a,b).
Доказательство леммы.
Положим для некоторого x0(a,b],
A=
,
тогда дляx[a,x0):f(x)A
и для >0x[a,x0):A-<f(x).
Следовательно, для
x(x,x0):A-<f(x)A.
Таким образом, первое равенство
доказано.
Аналогично для предела справа. Для монотонно убывающей функции справедливо похожее утверждение.
Следствие 1. Монотонно убывающая на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы.
Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.
Доказательство критерия. Необходимость уже была доказана ранее ( пункт 4, следствие 2).
Достаточность.
Предположим противное. В точке x0
имеется разрыв. Например, f(x0)<f(x0+0).
По лемме f(x0+0)=
.
Имеем f(x)
f(x0)
при x
x0,
f(x0)
< f(x0+0)
f(x)
при x > x0.
Таким образом, значения между f(x0),
f(x0+0)
не достигаются.
Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.
Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.
Непрерывность обратной функции.
Определение. Пусть f(x) определена на X, Y – множество ее значений. Предположим, что различным значениям x1 и x2 соответствуют различные значения y1 =f(x1), y2=f(x2). Тогда для любого y Y !xX:y=f(x), такое соответствие yx называется обратной функцией и обозначается x=f-1(y).
Теорема ( существование обратной функции у монотонной )
Если y=f(x) строго монотонно возрастает на [a,b] и непрерывна там, то на Y=[f(a),f(b)] существует обратная функция и является непрерывной на этом множестве.
Доказательство. Существование обратной функции следует из монотонности. Кроме того обратная функция также будет монотонной с областью значений [a,b]. Из критерия непрерывности монотонной функции следует ее непрерывность.
Непрерывность элементарных функций.
Непрерывность функции ax, a>0.
a) a>1,
,a=(n+1)n
> nn,
n<a/n
b) a<1,
Докажем, что
(непрерывность
в0)
1 a> 1
Пусть {xk} типа Гейне для 0+0
xk0
xk>0
nk+
и
далее
k.
Аналогично рассматривается случай x0-0. Откуда получаем утверждение для x0.
2a<1, bx=1/ax, b=1/a>1
2) ax
непрерывна
.
3). logax непрерывна, как обратная к непрерывной строго монотонной функции.
4). Степенная функция y=x. Докажем непрерывность при x>0. Имеем x=e ln x, далее теорема о непрерывности суперпозиции.
5).
суперпозиция непрерывной и
имеющей предел функции. Аналогично
доказывается, что
6)
ax -1=y, x=loga(1+y)
x0 y0
7)
(1+x) - 1=y, ln(1+x) = ln(1+y)
8) sin x
|sin x –sin x0|=2|sin(x-x0)/2 cos(x+x0)/2||x-x0|
cos x = sin(x+/2)
tg x, ctg x, arcsin, arcos, arctg, arcctg
9) f=const, x, Pn, Rn.