Скачиваний:
74
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
201.22 Кб
Скачать

Пример.

, Асимптоты: , x

,

Особые точки: -9; 0; 4; 5;

(-,-9)

-9

(-9,0)

0

(0,4)

4

(4,5)

5

(5,)

y

-

0

+

-

0

+

0

-

y

y

+

+

+

+-



-

Пример

t

(-,-1)

-1

(-1,1)

1

(1,)

+

+

-

x

-  -3

-3

-3  1

1

1  -

Диапазон x

(-,-3)

(-3,1)

(-,1)

dy/dx

-

0

+

3

+

y(x)

-2

-2

-22

2

-2

d2y/dx2

+

+

-

Глава 5. Элементы теории кривых

§1 Векторная функция скалярного аргумента

1.Определение векторной функции. Операции над векторами

Аналогично в пространстве.

Операции над векторами функциями

1)

2)

3) Скалярное произведение

4) В трехмерном пространстве векторное произведение

2. Предел

Определение

Замечание 1. Это определение не зависит от выбора базиса . Геометрическая интерпретация.

Замечание 2. Эквивалентное определение

Доказательство

С другой стороны

Замечание 3. Для существования предела необходимо требовать, чтобы была определена в некоторой проколотой окрестности точки t0.

Из теорем о пределах следуют соответствующие теоремы для пределов вектор функций. Перечислим некоторые из них.

  1. Предел, если он существует, единственен.

  2. Предел суммы и произведения на обычную функцию

3)

4)

3. Непрерывность

определена на [,] и t0(,)

непрерывна, если

Непрерывность справа, слева.

Непрерывность на множестве.

Свойства

непрерывны в точке t0 непрерывны

4. Дифференцируемость

определена в окрестности точки t0.

Производной в точке t0 называется предел, если он существует,

Теорема. Производная векторной функции в точке t0 существует т.т.т., когда существуют x(t0), y(t0), z(t0) и

Замечание. Если у существует в точке t0, то она непрерывна в этой точке.

Определение. Векторная функция называется дифференцируемой в точке t0, если в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство

(1)

Векторная функция называется дифференциалом функции в точке t0

Условие (1) можно записать в координатной форме

(2)

где

Теорема. Дифференцируемость в точке t0 эквивалентна дифференцируемости в точке t0 координат функции .

Следствие. Для дифференцируемости в точке t0 Н. и Д. существование .

Геометрический смысл производной

4. Правила дифференцирования векторных функций

1)

2)

3)

4)

5. Понятие гладкой кривой.

Определение. Непрерывная кривая. Кривая

tT

называется непрерывной, если непрерывны x(t),y(t),z(t). (Можно определять непрерывность в точке или на множестве).

Начало кривой. Конец кривой.

Замкнутая кривая.

Непрерывно дифференцируемая кривая.

Гладкая кривая  Непрерывно дифференцируемая + .

Кусочно гладкая кривая

§2 Длина кривой

1.Спрямляемая кривая

-непрерывно дифференцируема на [,],={=t0< t1<….< tn=} – разбиение. Для каждого разбиения можно построить вписанную ломаную с узлами в точках Ak=(x(tk), y(tk), z(tk)),k=0,1,…,n. Радиус вектор в точку Ak обозначим k. Длину ломаной обозначим через

(,)=

Определение. Кривая называется спрямляемой, если конечна точная верхняя грань , где точная верхняя грань берется по всевозможным разбиениям отрезка [,]. Эта величина s называется длиной кривой .

Пример непрерывной, не спрямляемой кривой.

Длина очередного прямоугольника равна половине длины соседнего прямоугольника справа. Число звеньев ломаной, вписанной в прямоугольник берется таким, чтобы длина участка ломаной , попавшей в прямоугольник была > 1.

6

Соседние файлы в папке МАТАН 1 сем