Лекции Логинова [1-2 курс, МИФИ] / МАТАН 1 сем / matan_6
.docПример.
, Асимптоты: , x
,
Особые точки: -9; 0; 4; 5;
|
(-,-9) |
-9 |
(-9,0) |
0 |
(0,4) |
4 |
(4,5) |
5 |
(5,) |
y |
- |
0 |
+ |
|
- |
0 |
+ |
0 |
- |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+- |
|
- |
Пример
t |
(-,-1) |
-1 |
(-1,1) |
1 |
(1,) |
+ |
|
+ |
|
- |
|
x |
- -3 |
-3 |
-3 1 |
1 |
1 - |
Диапазон x |
(-,-3) |
|
(-3,1) |
|
(-,1) |
dy/dx |
- |
0 |
+ |
3 |
+ |
y(x) |
-2 |
-2 |
-22 |
2 |
-2 |
d2y/dx2 |
+ |
|
+ |
|
- |
Глава 5. Элементы теории кривых
§1 Векторная функция скалярного аргумента
1.Определение векторной функции. Операции над векторами
Аналогично в пространстве.
Операции над векторами функциями
1)
2)
3) Скалярное произведение
4) В трехмерном пространстве векторное произведение
2. Предел
Определение
Замечание 1. Это определение не зависит от выбора базиса . Геометрическая интерпретация.
Замечание 2. Эквивалентное определение
Доказательство
С другой стороны
Замечание 3. Для существования предела необходимо требовать, чтобы была определена в некоторой проколотой окрестности точки t0.
Из теорем о пределах следуют соответствующие теоремы для пределов вектор функций. Перечислим некоторые из них.
-
Предел, если он существует, единственен.
-
Предел суммы и произведения на обычную функцию
3)
4)
3. Непрерывность
определена на [,] и t0(,)
непрерывна, если
Непрерывность справа, слева.
Непрерывность на множестве.
Свойства
непрерывны в точке t0 непрерывны
4. Дифференцируемость
определена в окрестности точки t0.
Производной в точке t0 называется предел, если он существует,
Теорема. Производная векторной функции в точке t0 существует т.т.т., когда существуют x(t0), y(t0), z(t0) и
Замечание. Если у существует в точке t0, то она непрерывна в этой точке.
Определение. Векторная функция называется дифференцируемой в точке t0, если в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство
(1)
Векторная функция называется дифференциалом функции в точке t0
Условие (1) можно записать в координатной форме
(2)
где
Теорема. Дифференцируемость в точке t0 эквивалентна дифференцируемости в точке t0 координат функции .
Следствие. Для дифференцируемости в точке t0 Н. и Д. существование .
Геометрический смысл производной
4. Правила дифференцирования векторных функций
1)
2)
3)
4)
5. Понятие гладкой кривой.
Определение. Непрерывная кривая. Кривая
tT
называется непрерывной, если непрерывны x(t),y(t),z(t). (Можно определять непрерывность в точке или на множестве).
Начало кривой. Конец кривой.
Замкнутая кривая.
Непрерывно дифференцируемая кривая.
Гладкая кривая Непрерывно дифференцируемая + .
Кусочно гладкая кривая
§2 Длина кривой
1.Спрямляемая кривая
-непрерывно дифференцируема на [,],={=t0< t1<….< tn=} – разбиение. Для каждого разбиения можно построить вписанную ломаную с узлами в точках Ak=(x(tk), y(tk), z(tk)),k=0,1,…,n. Радиус вектор в точку Ak обозначим k. Длину ломаной обозначим через
(,)=
Определение. Кривая называется спрямляемой, если конечна точная верхняя грань , где точная верхняя грань берется по всевозможным разбиениям отрезка [,]. Эта величина s называется длиной кривой .
Пример непрерывной, не спрямляемой кривой.
Длина очередного прямоугольника равна половине длины соседнего прямоугольника справа. Число звеньев ломаной, вписанной в прямоугольник берется таким, чтобы длина участка ломаной , попавшей в прямоугольник была > 1.