Шпоры по топологии / шпора по разделу 2

1. Отображение лин. пр-ва V на V’ назовем закон в соотетствии с которым вектору из V соответствует единственный вектор из V’ (x’ – образ x, x- прообраз x’);

Отображение назовем линейным, если выполняется 2 условия сумма и произведение:

1. x, y из V, Â(x+y)=Âx+Ây;

2. x из V, Â(α x)= α Â x;

Линейным отображением V→V (в себя) назовем линейным преобразованием или линейным оператором.

Примеры:

1. единичный Ê(x+y)= Êx+ Êy; Ê(αx)=α Êx;

2. скалярный Ĥ:V→V; Ĥx=λx;

3. проектирования, симметрии, дифференцирования

3. Преобразование матрицы линейного отображения при преобразовании базисов

AX=Y(старый базис); A’X’=Y’(новый); X=PX’; Y=QY’; (где q и p матрицы перехода); APX’=QY’; A’=P^-1AP;

Т-а: ранг матрицы при преобразования не меняется.

4. Свойства линейных отображений:

1. при лин. отображение 0→0;

2. при лин. отображении л/з отображается л/з

3. Â:Vn→Vm; если x1’..xn’ -л/нз система в Vm => существует л/нз и в Vn;

4. Â:Vn→Vm; dim Â(U)=<dim U, если U вкл. в Vn, а Â(U) вкл. в Um;

5. Ядро - множество векторов, отображающихся в нулевой вектор при Â (Ker Â); dim KerÂ=n- rangÂ;

Ранг линейного оператора – dim образа Â.

Образ - мн-во всех векторов Vn y=Âx; Im Â=y из Vn;

Дефект – размерность ядра

Т-а1: ядро Â:Vn→Vn является л. под-вом пр-ва Vn и dim KerÂ=n- rangÂ

Д-во: Âx=0; все корд. Столбцы векторов ядра будут удовл. А и dim=числу решений фунд. системе решений о с у;

Т-а2: при Â:Vn→Vm  KerÂ=0;  rang A=n;

Д-во: допустим х не 0; тогда А не инъекция;

Допустим существуют x, y из Vn: Âx=Ây, x не =y => Âx-Ây=0;  Â(x-y)=0; x-y не 0;

6. Действия с линейными отображениями

Сложение: сумма - (Â +`B):V→Vn по правилу (Â+`B)x=Âx+`Bx;

Т-а: сумма линейных отображений является линейным отображением

Умножение на число:  *α: V→Vn; (αÂ)x=α(Âx);

Т-а: произведение линейного отображения на скаляр является линейным отображением

Умножение: `B*Â: V→V’’; (BÂ)x=B(Âx); (BÂ)x=z;

8. Алгебра- кольцо, которое одновременно является лин. пр-вом над полем F, что выполняется λ(ab)=(λa)b=a(λb);

Dim алгебра = dim пр-ва;

Аксиомы:

1. a+b=b+a;

2. a+(b+c)=(a+b)+c;

3. a+0=a;

4. a+(-a)=0;

5. a(b+c)=ab+ac;

6. (b+c)a=ba+ca;

7. α(b+a)=αb+αa;

8. (α+β)a=αa+βa;

9. (αβ)a=α(βa);

10. 1a=a;

11. α(ab)=(αa)b=a(αb);

пример: мн-во всех операторов, матриц nxn, многочленов.

2. Матрица линейного отображения

Â:Vn→Vm; {e1..en} – базис Vn; {f1…fs} – базис Vm; Матрицей лин. Отобр-я относ-но пары Vn Vm называется упорядоч-й набор Âx= Â(x1e1…xnen) из n строк длины s, составленный из корд-х строк векторов.

Операторы проектирования

V=U0+W; x=y+z; P1:V→V (отображение пр-ва в себя); P2x=y (пр-во V на под-во U, || W; 1) x1=y1+z1; x2=y2+z2;

2) αx=αy+αz;

Оператор симметрии:

V=U0+W; x→y-z; y:V→V; Sx=y-x; симметрия пр-ва V относ. под-ва U, || W; 1) S(x1+x1)=y1+y2-(z1+z2)=(y1-z1)+(y2-z2)=Sx1+Sx2;

2) S(αx)=αx-αy=α(y-z)=αSx;

7. Обратное отображение

Â- обратный, если сущ. B:V→V ÂB=BÂ=E; Âx=y; By=x;

Невырожденный оператор – если его ранг n;

Т-а: Â обратимо <=> Â невырожд. д-во:

=> Â- обратимый, ÂÂ^-1= Â^-1Â=E; матричный вид: А^-1А=E;

<= rangA=n=> есть Â^-1

Т-а: Â-обратимо, когда KerÂ=0;

3. Преобразование матрицы линейного отображения при преобразовании базисов

AX=Y(старый базис); A’X’=Y’(новый); X=PX’; Y=QY’; (где q и p матрицы перехода); APX’=QY’; A’=P^-1AP;

Т-а: ранг матрицы при преобразования не меняется.

9. Инвариантное под-во относительно Â в лин. под-ве U в V, если Â(U)с U

Т-а: Vk –лин. под-во, Vn инвариантно относ. Â; {e1., ek..en} – базис Vn;

Т-а: Â:Vn→Vn; Vk, Vn-k инвариантны относ. Â; матрица Â имеет диагонально блочный вид.

10. Собственные значения(λ) - Â:Vn→Vn; Âx=λx, где x – собств. вектор;

Т-а: характеристич. многочлен Â является инвариантным при преобразовании базиса лин. пр-ва; д-во: A’=P^-1AP;

det(A’-λE)=det(P^-1AP-λP^-1EP)=det(=P^-1(A-λE)P)=det=P^-1det(A-λE)=det(A-λE);

10. Собственные значения(λ) - Â:Vn→Vn; Âx=λx, где x – собств. вектор;

Т-а: характеристич. многочлен Â является инвариантным при преобразовании базиса лин. пр-ва; д-во: A’=P^-1AP;

det(A’-λE)=det(P^-1AP-λP^-1EP)=det(=P^-1(A-λE)P)=det=P^-1det(A-λE)=det(A-λE);