Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Шпоры по топологии / шпора по разделу один

.doc
Скачиваний:
24
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
40.96 Кб
Скачать

1. Мн-во наз-ся лин пр-вом, а его эл-ы векторами, если 2 условия: Операция сложение и умножение на число.

Аксиомы:

1. x+y=y+z;

2. (x+y)+z=x+(y+z);

3. x+0=x;

4. x+(-x)=0;

5. α(x+y)=αx+αy;

6. (α+β)x=αx+βx;

7. α(βx)=(αβ)x;

8. 1x=x;

Примеры: множество комплексных чисел, сходящиеся посл-сти

3.Лин. независимость систем векторов.

Л/нз – если 0 вектор расклад-ся единств-м образом по этой системе координат.

1. Система, состоящая из одного вектора, л/з., если этот вектор 0;

2. Система, из более чем 1 векторов, л/з, если 1 из векторов явл-ся лин. комбинацией остальных;

3. Если вектора в системе л/з, то вся система л/з и л/б подсистема л/з.

4. Базис–такая упоряд. сист. векторов из V, кот-я удовл-ет свойствам: 1. л/нз 2. л/б вектор из V может быть представлен как комбинация данных векторов

Размерность – число л/нз векторов в базисе (dim V)

Координаты вектора

Т-а1: пусть Vn- лин. пр-во, {e1…en} –базис, то л/б a из V=a1e1+.. anen, где a1…an- координаты

Т-а2: при сложении векторов координаты складываются; при умножении на элемент поля каждая координата умножается на этот элемент.

5. Изоморфизм – такое отображение f:V→V’, которое удовлетворяет 2-ум условиям:

1. f- биекция

2. f(a+b)=f(a)+fb);

f(α a)=α f(a);

Свойства:

1. 0→0’;

2. л/з отображается в л/з, а л/нз →л/нз

Т-а: изоморфизме конечн-ых лин-ых пр-в:

Все пр-ва размерности n изоморфны:

л/б a=a1e1+…anen;

f(a+b)=f(a)+f(b);

6. Матрица системы векторов:

Vn- лин. пр-во, {e1.. en)- базис; ai=a1ie1 +a2ie2…

(матрица включает координаты векторов).

Rang A= max число л/нз векторов

Матрица перехода и формулы:

E’=EP; e’=pe1+pe2…; E’P-1 = E; X=PX’;

7. Подпространство линейного пр-ва:

л/б непустое множество М элементов этого линейного пр-ва, на котором корректны операции сложения и умножения на число, введенные в линейном пр-ве (1. a,b € U, (a+b)€U; 2. a€U  (α a) € U

Линейная оболочка – множество всех линейных комбинаций данных векторов

10. Сумма и пересечение линейных под-в

Пересечением Vk и Vl – множество всех векторов Vk и Vl, таких что, x€Vn,

x€Vk, x€Vl;

Т-а: пересечение 2-х линейных под-в также является линейным под-вом (док-во по свойствам) Пересечение не можкт быть пустым множеством.

Сумма – векторы в виде Vk+Vl={x€Vn| x=x1+x2; x1 € Vk, x2 € Vl}

Т-а: Сумма всех линейных под-в также лин. под-во.

12. Нахождение базиса в сумме лин. под-в:

1. Vs=Vk+Vl;

a.) если Vk<a1..an> Vn<b1..bn> ==> базис Vk+Vl

б.) Vk Vl - одн. система лин. уравнений, то базис суммы нах-ся решением этой системы

2. Vp=Vk Vl;

Vk Vl – базис это фунд. Система решений одн. Системы лин. ур-ий.

13. Прямая сумма- сумма 2-х под-в, если их пересечение включает в себя только 0 вектор. (k+l=n);

Теорема о разложение пр-ва в прямую сумму: Vn= Vk 0+ Vn-k => существует единственный x из Vn, такой что x1 из Vk, x2 из Vn-k равен x=x1+x2; (x=x1+x2; y=y1+y2; => (x1-y1) из Vk, (x2-y2) из Vn-k => x1-y1=x2-y2 из VkVn-k; но VkVn-k=0 => x1=y1; x2=y2;

Проекция – Vn=Vk 0+ Vn-k => x представляется единственным образом в виде x=x1+x2;

x1=ПР x на под-во Vk, || Vn-k

x2=ПР x на под-во Vn-k, || Vk

Дополнение :

V=V’ 0+ V’’ (V’и V’’ линейные под-во V). V’- дополнение V’’

8. Т-а о размерности и базисе под-ва:

U- под-во Vn, тогда dimU=<n , если dim U=n ==> U=V;

О-е: Число k называется размерностью линейного под-ва UL, если в U существует система из k л/нз векторов, а любые k+1 вектора — л/з;

О-е: любая л/нз система из k векторов k-мерного линейного под-ва U образует базис линейного под-ва U.

Т-а о координатах:

Vk – лин. под-во Vn, {e1…en}- базис Vn, {e1…e(k+l)} – базис Vk;

Соседние файлы в папке Шпоры по топологии