Шпоры по топологии / шпора по разделу один
.doc
1.
Мн-во наз-ся лин
пр-вом, а
его эл-ы векторами, если 2 условия:
Операция сложение и умножение на число.
Аксиомы:
1. x+y=y+z;
2. (x+y)+z=x+(y+z);
3. x+0=x;
4. x+(-x)=0;
5. α(x+y)=αx+αy;
6. (α+β)x=αx+βx;
7. α(βx)=(αβ)x;
8. 1x=x;
Примеры:
множество комплексных чисел, сходящиеся
посл-сти
3.Лин. независимость
систем векторов.
Л/нз – если 0 вектор
расклад-ся единств-м образом по этой
системе координат.
1. Система, состоящая
из одного вектора, л/з., если этот вектор
0;
2. Система, из более
чем 1 векторов, л/з, если 1 из векторов
явл-ся лин. комбинацией остальных;
3. Если вектора в
системе л/з, то вся система л/з и л/б
подсистема л/з.
4. Базис–такая
упоряд. сист. векторов из V,
кот-я удовл-ет свойствам: 1. л/нз 2. л/б
вектор из V
может быть представлен как комбинация
данных векторов
Размерность
– число л/нз векторов в базисе (dim
V)
Координаты
вектора
Т-а1:
пусть Vn-
лин. пр-во, {e1…en}
–базис, то л/б a
из V=a1e1+..
anen,
где a1…an-
координаты
Т-а2:
при сложении векторов координаты
складываются; при умножении на элемент
поля каждая координата умножается на
этот элемент.
5. Изоморфизм
– такое
отображение f:V→V’,
которое удовлетворяет 2-ум условиям:
1. f-
биекция
2. f(a+b)=f(a)+fb);
f(α
a)=α
f(a);
Свойства:
1. 0→0’;
2. л/з отображается
в л/з, а л/нз →л/нз
Т-а: изоморфизме
конечн-ых лин-ых пр-в:
Все пр-ва размерности
n
изоморфны:
л/б
a=a1e1+…anen;
f(a+b)=f(a)+f(b);
6.
Матрица
системы векторов:
Vn-
лин. пр-во, {e1..
en)-
базис;
ai=a1ie1
+a2ie2…
(матрица включает
координаты векторов).
Rang
A=
max
число л/нз векторов
Матрица перехода
и формулы:
E’=EP;
e’=pe1+pe2…;
E’P-1
= E;
X=PX’;
7.
Подпространство
линейного пр-ва:
л/б непустое
множество М элементов этого линейного
пр-ва, на котором корректны операции
сложения и умножения на число, введенные
в линейном пр-ве (1. a,b
€ U,
(a+b)€U;
2. a€U
(α
a)
€ U
Линейная
оболочка – множество
всех линейных комбинаций данных векторов
10. Сумма
и пересечение линейных под-в
Пересечением
Vk
и Vl
– множество всех векторов Vk
и Vl,
таких что, x€Vn,
x€Vk,
x€Vl;
Т-а: пересечение
2-х линейных под-в также является линейным
под-вом (док-во по свойствам) Пересечение
не можкт быть пустым множеством.
Сумма
– векторы в виде Vk+Vl={x€Vn|
x=x1+x2;
x1
€ Vk,
x2
€ Vl}
Т-а:
Сумма всех линейных под-в также лин.
под-во.
12. Нахождение
базиса в сумме лин. под-в:
1. Vs=Vk+Vl;
a.) если
Vk<a1..an> Vn<b1..bn> ==> базис
Vk+Vl
б.) Vk
Vl
- одн. система лин. уравнений, то базис
суммы нах-ся решением этой системы
2. Vp=Vk
∩ Vl;
Vk
Vl
– базис это фунд. Система решений одн.
Системы лин. ур-ий.
13. Прямая
сумма- сумма
2-х под-в, если их пересечение включает
в себя только 0 вектор. (k+l=n);
Теорема о
разложение пр-ва в прямую сумму: Vn=
Vk
0+ Vn-k
=> существует единственный x
из Vn,
такой что x1
из Vk,
x2
из Vn-k
равен x=x1+x2;
(x=x1+x2;
y=y1+y2;
=> (x1-y1)
из Vk,
(x2-y2)
из Vn-k
=> x1-y1=x2-y2
из Vk
∩ Vn-k;
но Vk
∩ Vn-k=0
=> x1=y1;
x2=y2;
Проекция – Vn=Vk
0+ Vn-k
=> x
представляется единственным образом
в виде x=x1+x2;
x1=ПР
x
на под-во Vk,
|| Vn-k
x2=ПР
x
на под-во Vn-k,
|| Vk
Дополнение :
V=V’
0+ V’’
(V’и
V’’
линейные под-во V).
V’-
дополнение
V’’
8. Т-а
о размерности и базисе под-ва:
U-
под-во Vn,
тогда dimU=<n
, если dim
U=n
==> U=V;
О-е:
Число k называется размерностью
линейного под-ва UL,
если в
U
существует система из k л/нз векторов,
а любые k+1 вектора — л/з;
О-е: любая
л/нз система из k векторов k-мерного
линейного под-ва U
образует
базис
линейного под-ва U.
Т-а о координатах:
Vk
– лин. под-во Vn,
{e1…en}-
базис Vn,
{e1…e(k+l)}
– базис Vk;