Шпоры по топологии / шпора раздел 3

1. Линейная форма- отображение Â:Vn→F при условии:

1.a(x+y)=ax+ay;

2. a(αx)=αax;

Изменение базиса: E’=EP; x=px’; y=AX=A’X’; A’=AP;

Пример – геометрические вектора

4. Привидение квадратичной формы

Канонический вид: f(x)=e₁₁x₁² + e_rrx_r1² где r- ранг

Метод Лагранжа

возможны два случая: 1) хотя бы один из коэффициентов a_ij при квадратах отличен от нуля., будем считать a≠0;

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

F(x1,..xn)=(a11 x₁²1+2a12x1x2…+2a1nx1xn)+f1(x2..xn)=1/a11*(a11x1..a1xn)² –

1/a11*(a12x2..a1nxn)²+f1(x2,x3..xn)=

где y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a_1nx_n, а через f₂(x₂,x₃,...,x_n) обозначены все остальные слагаемые. f₂(x₂,...,x_n) представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных x₂,x₃,...,x_n..

Заметим, что

2) все коэффициенты a_ij = 0, но a≠0; заменой переменных x₁ = y₁ + y₂,x₂ = y₁ − y₂,x₃ = y₃,...,x_n = y_n сводится к первому.

3. Симметрические билинейные формы – если a(x,y)=a(y,x);

Т-а: для того, чтобы б. форма была симм. необходимо, чтобы ее матрица была симм. в произв. базисе.

д-во: докажем, что A=A^T;

=> a(x,y) – сим., aij=a(ej..ei)=a(ei,ej)=aji;

<= A=A^T; a(x,y)=X^TAY=(X^TAY) ^T=Y^TA^TX=A; X^TAX=a(y,x);

Квадратичные формы- f:Vn→F, если f(x)=A(x,x);

Матрица к.ф. – матрица соотв. билинейной формы;

При преобразовании базиса кф A’=P^TAP; а ранг не меняется;

2. Билинейные формы- отображение Â:VnxVn→F и 4 условия:

1. a(x1+x2,y)=a(x1,y)+a(x2,y);

2. a(αx,y)=αa(x,y);

3. a(x,y1+y2)=a(x,y1)+a(x,y2);

4. a(x, αy)=αa(,y);

Пример – скалярное произведение

Матрица – значение (коэффициенты) б. формы. Ранг б. формы = рангу ее матрицы

Преобразование базиса: x=px’; y=py’; A’=P^TAP;

Т-а: ранг б. матрицы при изменении базиса не меняется.

5. Вещественные- над полем действ. чисел.

кан. вид: a₁y₁²+...+a_sy_s²-a_s+1y_s+1²-...-a_ry_r²+0y_r+1²+ ...+0y_n², (a>0);

нормальный вид: z₁²+… zs²- z_s+1² - …z_r²+ 0z_r+1²+ .. z_n²;

+ индекс инерции: s (число квадратов переменных c индексом +1)

- индекс инерции: r-s (инд -1);

Т-ма (закон инерции). Положительный и отрицательный индексы инерции зависят только от самой формы и не зависят от способа приведения этой формы к нормальному виду.

Док-во. Пусть форма f=XAX’ приводится к норм. виду g=g(y₁,...,y_n)=y₁² + …y_s² – y_S+1² – y_r² +0 y_r+1² +…+o y_n² ; т.к. ранг матрицы G= r, rang=A, то r опр-ся f. Предположим, что форма f приводится к др.норм. виду: h=h(z₁,...,z_n)= z₁²+… z_k²- z_k+1² - …z_r²+ 0z_r+1²+ .. 0z_n² (s≠k); => существует невырожденная линейная замена

переводящая форму h в g. Рассмотрим следующую систему однородных линейных уравнений относительно неизвестных y₁,...,y_n:

Z=YT переводит форму h в g, откуда g(y⁰)=h(z⁰); s≠k - неверно.

7. + определенная кф: f(x)>0, x≠0;

+ полуопределенная – f(x)>=0;

Неопределенная: как +, так и -;

Т-а: ранг + опр. кф. равен n;

Критерий Сильвестра:

пусть кф f(x):Vn→R имеет матрицу А

1. для того, чтобы f(x) +опр. необходимо, чтобы ∆1>0; ∆2>0; ∆n(detA)>0

2. чтобы была -, необходимо, чтобы ∆1<0; ∆n<0;