Лекция 3. Основные свойства многочленов над полем.
3.1. Множества с алгебраическими операциями.
Пусть - произвольное множество. Бинарной (двуместной) алгебраической операцией (или законом композиции) на называется отображение . Здесь любой упорядоченной паре ставится в соответствие определенный элемент того же множества . Иногда вместо пишут , а еще чаще бинарную операцию на обозначают каким-нибудь специальным символом: *, °, ⋅ или +.
На множестве может быть задано, вообще говоря, несколько различных операций. Желая выделить одну из них, скажем, , используют скобки и говорят, что операция определяет на алгебраическую структуру. Операции в алгебраической структуре могут быть согласованы, т.е. одна операция может удовлетворять некоторым требованиям, по отношению к ее действию на результаты применения другой.
3.2. Полугруппы и моноиды.
Бинарная операция на множестве называется ассоциативной, если для всех . Она также называется коммутативной, если . Те же названия присваиваются и соответствующей алгебраической структуре . Требования ассоциативности и коммутативности независимы.
Множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операций называется полугруппой.
Элемент называется единичным (или нейтральным) относительно рассматриваемой бинарной операции , если для всех . Если - еще один единичный элемент, то . Следовательно, в алгебраической структуре может существовать не более одного единичного элемента.
Полугруппу с единичным элементом принято называть моноидом.
Элемент моноида называется обратимым, если найдется элемент , для которого . Обратный к обозначается через . Такое обозначение корректно, т.к. обратный элемент единственен. Действительно, . Запись операции в виде называется мультипликативной, а сама операция называется умножением.
Заметим, что при мультипликативной записи, знак операции часто опускается: .
3.3. Группы.
Моноид , все элементы которого обратимы, называется группой. Другими словами, предполагается выполнение следующих аксиом:
1. на множестве определена бинарная операция ;
2. операция ассоциативна;
3. во множестве относительно существует нейтральный элемент;
4. для каждого существует обратный.
Группа называется конечной, если число ее элементов конечно. Для обозначения числа элементов в группе используются обозначения , ,, .
Количество элементов конечной группы называется ее порядком.
Подмножество , группы называется подгруппой группы , если также является группой. Аналогично определяются подструктуры других алгебраических структур.
Подмножество , группы является подгруппой группы , тогда и только тогда, если обратный элемент к любому элементу из , а также произведение любых двух элементов из , принадлежат .
Теорема (Лагранж). Порядок конечной группы делится на порядок любой ее подгруппы.
Группа называется коммутативной (абелевой) если . Для абелевой группы часто используется запись операции в виде . В этом случае операция называется сложением. В общем случае, группы вида называются аддитивными.
Замечание. Пусть - натуральное число. Тогда для запись обозначает произведение равных сомножителей: . Полагая и , получаем возможность оперировать с показателями по обычным правилам алгебры.
Аналогичным образом, для аддитивной группы, исходя из суммы равных сомножителей: , можно ввести операцию умножения элемента группы на целое число.
Определение. Группы и гомоморфны, если существует отображение , такое, что . Отображение называется гомоморфизмом групп.
Определение. Ядром гомоморфизма называется множество , являющееся прообразом единицы .
Определение. Группы и изоморфны, если существует гомоморфизм из в , причем отображение является взаимно однозначным.
Определение. Отображение является автоморфизмом группы , если отображение - изоморфизм.
Определение. Отображение является эндоморфизмом группы , если отображение -гомоморфизм.
3.4. Кольца.
Ассоциативным кольцом называется множество с двумя операциями, которые называются сложением и умножением и для которых выполняются следующие аксиомы.
1.Ассоциативнось сложения: .
2. Коммутативность сложения: .
3. Разрешимость уравнения для всех .
4. Ассоциативнось для умножения: .
5. Дистрибутивность при умножении слева: .
6. Дистрибутивность при умножении справа: .
Обычно под термином «кольцо» понимается ассоциативное кольцо.
Кольцо называется неассоциативным, если операция умножения не является ассоциативной. Кольцо называется коммутативным, если коммутативна операция умножения.
Аналогично группе, в кольце существует единичный элемент по сложению. Он называется нулем и часто записывается как число ноль.
Единичный элемент по умножению, со свойством , не обязательно существует. В случае его отсутствия, тем не менее, в кольце могут существовать несколько односторонних единичных элементов, левых или правых (но не одновременно). Умножение на эти элементы с соответствующей стороны не влияет на результат произведения. Если в кольце отсутствует единичный элемент по умножению, то кольцо называется кольцом без единицы.
Примером коммутативного кольца без единицы является множество четных чисел с обычными операциями сложения и умножения.
В кольце с единицей возможно существование элемента , обратного к элементу , с условием . Такие элементы называются обратимыми.
Множество обратимых элементов кольца с единицей составляет группу - т.н. мультипликативную группу кольца. Мультипликативная группа кольца называется группой единиц и обозначается или .
Примером коммутативного кольца с единицей является множество целых чисел. Группа единиц этого кольца состоит из двух элементов:.