- •Пояснительная записка к курсовой работе
- •Введение
- •Описание методов. Формула Симпсона
- •Формула трапеций
- •Блок- схемы программ Блок-схема метода трапеций
- •Блок-схема метода Симпсона
- •Создание и описание основных форм программы
- •Результаты работы программы.
- •Коды программ
- •Список использованной литературы:
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
Уфимский государственный авиационный технический университет.
Кафедра Информатики
Пояснительная записка к курсовой работе
Тема№4: “Решение определенных интегралов”
Вариант№12: “Метод трапеций и парабол(Симпсона)”
Выполнил: студентка ФАТС
_____________
Принял: к.т.н., доцент
______________ С.В.Тархов
________________________
(оценка)
«_____»____________2007г.
Уфа, 2007год
Введение 3
Описание методов. 3
Формула Симпсона 3
Формула трапеций 3
Блок- схемы программ 4
Блок-схема метода трапеций 4
Создание и описание основных форм программы 5
Результаты работы программы. 7
Выводы 9
Коды программ 9
Список использованной литературы: 16
Введение
Целью данной работы является разработка программы для исследования методов вычисления определенных интегралов с помощью метода трапеций и метода парабол(Симпсона). Подынтегральная функция и количество разбиений отрезка задается с клавиатуры. Для визуализации метода можно выбрать любой из исследуемых методов. Исследование заключается в представлении на графике зависимости погрешности данных методов от количества разбиений n. Точное решение интеграла должно быть найдено по формуле Ньютона – Лейбница.
Описание методов. Формула Симпсона
Алгоритм вычисления определенного интеграла методом Симпсона с переменным шагом интегрирования.
Разбивается отрезок интегрирования на 2nравных частей с шагомh=(b-a)/(2n).
На каждом отрезке, состоящих из трех точек на интервалах [x0,x2], [x2,x4],…[x2n-1,x2n],подынтегральная функция f(x) заменяется параболой в виде интерполяционной формулы Ньютона:.
Суммируя интервалы, получим , гдеf0 =f(a); f2n = f(b); fi - значение функции внутри отрезка.
Затем шаг интегрированияhуменьшается вдвое и производится оценка точности вычисленийR двух последних циклов вычислений сумм площадей, которая сравнивается с величинойεпо условиюR=|S2n-Sn|/15<ε.
Процесс вычисления площадей повторяется, если Rбудет ложно.
Формула трапеций
Будем исходить из геометрических соображений и рассматривать определенный интеграл ,
как площадь некоторой фигуры, чаще всего ее называют криволинейной трапецией, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и прямыми y = a, y = b. Будем также предполагать, что функция y = f(x) непрерывна на [a. b].
Идея, которая привела к понятию определенного интеграла заключалась в следующем. Разбить всю фигуру на полоски одинаковой ширины dx = (b - a)/n, а затем каждую полоску заменить прямоугольником, высота которого равно какой-либо ординате (см. рис. 48).
Тогда получится следующая формула:
где xi <= ci <= xi+1 (i = 0, 1, ..., n-1).
Площадь криволинейной фигуры заменится площадью сумм прямоугольников. Эта приближенная формула и называется формулой прямоугольников.
Практически, в качестве точки ciберут середину промежутка [xi, xi+1], т. е.
Рис. 49
Заменим данную кривую вписанной в нее ломаной, с вершинами в точках (xi, yi),
где yi = f(xi) (i = 0, 1, 2, ..., n-1).
Тогда криволинейная трапеция заменится фигурой, состоящей из трапеций (см. рис. 49). Будем по-прежнему считать, что промежуток [a, b] разбит на равные части, тогда площади этих трапеций будут равны:
Складывая полученные значения, приходим к приближенной формуле:
Эта приближенная формула называется формулой трапеций.