3. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ M ,Q, N

3.1. Эпюра изгибающего момента M

Процедура построения ординат эпюры M

Для построения ординаты эпюры M в каком		либо сечении стержня
необходимо выполнить следующие две операции.
1. С помощью уравнения равновесия	∑M = 0	для левой отсеченной
	слева
части стержневой системы (или ∑M = 0	для правой части) подсчитать
справа

численное значение изгибающего момента в сечении.

2. Отложить найденное численное значение в виде ординаты перпендикулярно оси стержня со стороны растянутого волокна стержня.

Численное значение изгибающего момента в сечении равно численному значению алгебраической суммы моментов всех сил, действующих на стержневую систему с любой одной из сторон сечения, взятых относительно точки на оси сечения.

Как устанавливается растянутое волокно в сечении, продемонстрировано на примере консоли ломаного очертания при ее загружении тремя видами нагрузки (рис. 3.1). Ординаты соответствующих трех эпюр M построены на растянутой стороне стержней, образующих консоль.

Признаки правильного вида эпюры M

При указанном правиле построения ординат эпюры M эта эпюра имеет следующие свойства.

44

1.На участке прямого стержня, свободном от нагрузки, эпюра прямолинейна.

2.На участке распределенной нагрузки она очерчена кривой линией, выпуклой в сторону действия нагрузки. Когда нагрузка равномерно распределена, кривая является параболой второй степени.

3.В точке приложения сосредоточенной силы эпюра имеет излом, острие которого направлено в сторону действия силы.

4.В точке приложения сосредоточенного момента эпюра имеет скачок в ординатах, равный величине момента.

5.В сечении, находящемся на границе незагруженного участка стержня и участка, загруженного распределенной нагрузкой, кривая линия эпюры плавно (без излома) переходит в прямолинейную эпюру, которая является касательной

ккриволинейному участку.

Эти свойства используют для контроля построенных эпюр M .

Правило знаков для ординат эпюр M

При построении ординат эпюры M со стороны растянутого волокна стержня вручную, знак ординаты не требовался. Однако при численном расчете на ПК, каждой ординате эпюры M присваивается знак. Используется знак эпюры M и при построении по ней эпюры Q .

В данном учебном пособии приводится правило знаков, принятое для ординат эпюр M в программе SCAD [2 − 5].

Если растянуто «нижнее» волокно стержня, то ордината откладывается от оси стержня «вниз» и ей присваивается знак «+»

(рис. 3. 2).

Если же растянуто «верхнее» волокно стержня, то ордината откладывается от оси стержня «вверх» и ей присваивается знак « – » (рис. 3.3).

«Нижним» волокном стержня в программе SCAD считается волокно стержневого конечного элемента (КЭ) типа «Стержень плоской рамы», находящееся со стороны отрицательных ординат оси Z1 местной системы осей координат (МСК), а «верхним» – со стороны положительных ординат оси Z1 (см. рис. 3.2, 3.3).

Примечание. При ручном подсчете алгебраической суммы моментов всех сил с одной стороны от сечения для определения изгибающего момента в сечении стержня, рекомендуется сразу ставить знаки слагаемых моментов в соответствии с этим правилом знаков. Тогда ордината изгибающего момента получится со своим знаком в соответствии с принятым правилом и может быть отложена от оси стержня по этому правилу.

45

Построение эпюры М на элементе стержня свободном от нагрузки

Из приведенных выше свойств эпюры M (признаков правильной эпюры)

известно, что если на конечном элементе стержня нет внешней нагрузки, то эпюра изгибающих моментов на нем будет прямолинейной. Для ее построения достаточно вычислить ординаты только в конечных сечениях такого элемента.

Примечание. В программе SCAD для получения ординат изгибающих моментов на КЭ загруженных распределенной нагрузкой «по умолчанию» может быть назначено вычисление для нескольких, например, трех сечений КЭ: в начале (н), в середине (с) и в конце (к) конечных элементов (начальное сечение «н» связано с началом оси X1 в МСК).

46

Тогда с целью сокращения выходных результатов для КЭ без нагрузки в их пределах

в разделе Назначения [2 − 5] на инструментальной панели необходимо нажать кнопку «Назначение промежуточных сечений для расчета усилий». Откроется диалоговое окно «Вычисление усилий…..» (см. в программе SCAD справку к этому окну). В диалоговом окне на поле «количество сечений» вносится цифра 2. Далее надо закрыть окно и отметить конечные элементы на схеме стержневой системы, на которых ожидаются линейные эпюры M . Как это делается, показано в пособиях [2 − 5].

На рис. 3.2, 3.3 концевые сечения стержня обозначены узлами « н » и « к » МСК. После назначения для расчета усилий в отмеченных элементах только двух сечений, в программе SCAD в соответствующей таблице усилий [2 − 5] будут выдаваться значения изгибающих моментов M н (M1) и M к (M 2 ) только в узлах «н» (1) и «к» (2) (со своими

знаками в МСК).

При оцифровке ординат эпюры моментов, которая выполняется при нажатии кнопки

фильтра отображения, в пределах каждого конечного элемента из указанных двух моментов ( M1, M 2 ) приводится момент с максимальным значением.

Построение эпюры М на элементе стержня при действии по его длине равномерно распределенной нагрузки

Если по всей длине КЭ расположена равномерно распределенная нагрузка, то эпюра изгибающих моментов на нем будет иметь вид параболы с выпуклостью направленной в сторону действия нагрузки.

Примечание. В программе SCAD с помощью процедуры, которая только что была рассмотрена по назначению для вычисления изгибающих моментов только в двух сечениях КЭ, можно назначить вычисление моментов в ряде сечений между узлами « н » и « к » элемента в МСК.

Для приближенного построения параболы достаточно вычислить ординаты эпюры M в трех сечениях КЭ: в начале «н», в середине «с» и в конце «к». В результирующей таблице усилий программы SCAD эти сечения обозначены соответственно 1, 2, 3. В программе SCAD вычисление моментов в указанных сечениях может быть обеспечено по умолчанию. Однако, если по какой-то причине у расчетчика оказались известными только две ординаты эпюры M по концам элемента ( M н и M к), то можно легко вычислить

ординату M c в среднем сечении, применив принцип независимости действия сил.

Пример. Вырежем (по узлам «н» (1) и «к» (3) МСК) из стержневой системы элемент, загруженный равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 3.4,а).

Рассмотрим его, как балку на двух опорах, под действием внутренних усилий по концам элемента и распределенной нагрузки (рис. 3.4,б). Добавление указанных трех опорных связей не влияет на усилия в элементе, так как в вырезанном состоянии он находится в равновесии, поэтому в добавленных связях усилия (реакции) будут нулевыми.

Изгибающий момент M c в среднем сечении элемента (см. рис. 3.4, б) можно вычислить как сумму средней ординаты (рис. 3.4, в) линейной эпюры моментов (линии

47

опорных моментов, или ЛОМ) M c (лом) = 0.5(M н +M к ) и средней ординаты Mco = ql2 / 8

параболической эпюры в простой балке на двух опорах от равномерно распределенной нагрузки (рис. 3.4, г):

M c =0.5(M н +M к ) +M co .

(3.1)

Обе суммируемые ординаты в рассмотренном примере положительны, так как они расположены снизу от оси балки. На рис. 3.5 показан вариант, когда ордината

M c (лом) =0.5(M н +M к ) отрицательна (ордината M co = ql 2 / 8 при указанном направлении нагрузки q положительна). Здесь же приведен графоаналитический способ построения параболической эпюры по трем ее суммарным ординатам ( M н, M с, M к ) и по трем

касательным к параболе в соответствующих концах ординат (отмечены крестиком).

Смысл этого графоаналитического способа будет понятен, если рассмотреть на рис. 3.4, г эпюру M (R) треугольной формы, показанную штриховыми линиями. Эпюра

48