Лекции по теоретической механике1 / Лекция №3
.docЛекция №3.
Вынужденные колебания.
-
Вынужденные колебания без учёта сил сопротивления:
x
Проекция сил на
ось OX:
где
– восстанавливающая сила, (н);
–
возмущающая сила, (н); H
– амплитуда вынуждающей силы, (н); p
– круговая частота вынуждающей силы,
(1/с).
Получили линейное неоднородное диференциальное уравнение:
,
(1.1)
где
– квадрат круговой частоты свободных
колебаний, (1/с);
– относительная величина амплитуды
вынуждающей силы(н/кг).
Общее решение уравнения (1.1) находим в виде:
,
где
– общее решение однородного уравнения;
–
частное решение.
или
Найдём
и
подставим в уравнение (1.1):
Из уравнения
следует, что
,
т.е.
;
,
т.е. B=0.
Рассмотрим случай, когда k≠p:
B=0
В окончательном виде общее решение дифференциального уравнения (1.1) имеет вид:
(1.2)
C
и
C
определяются по начальным условиям,
которые следует подставить в уравнение
(1.2).
График амплитудно- частотной характеристики (АЧХ):
При p=0
,
где
- статическое отклонение точки под
действием постоянной силы H.
Случай, когда
(резонанс).
Найденное значение
подставим в уравнение (1.1):
В
результате сокращений получим, что
,
отсюда следует:
,
т.е.
и
,
т.е.
Амплитудно-частотная характеристика(АЧХ):
-
Вынужденные колебания с учётом сил сопротивления.
Проекция сил на
ось OX:
где
– восстанавливающая сила, (н);
–
возмущающая сила, (н); H
– амплитуда вынуждающей силы, (н); p
– круговая частота вынуждающей силы,
(1/с);
– сила сопративления, (н).
Получили линейное неоднородное диференциальное уравнение:
,
(2.1)
где
– квадрат круговой частоты свободных
колебаний, (1/с);
– относительная величина амплитуды
вынуждающей силы(н/кг);
,
где
– коэффициент затухания, (1/с).
Общее решение уравнения (2.1) находим в виде:
,
где
– общее решение однородного уравнения;
–
частное решение.
При затухающих
колебаниях в случае малого сопротивления(
<
):
,
где
–
круговая частота собственных колебаний
с учётом сил сопративления
В случае большого
сопротивления(
>
):
В случае, когда
=
:
После подстановки
,
,
в (2.1) и после приравнивания коэффициентов
перед синусами и косинусами в обоих
частях тождества получим:
,
т.е.
где
- сдвиг фаз.
Амплитуда вынужденных колебаний равна:
(2.2)
,
т.е.
Решение уравнения (2.1) имеет вид:
,
где
и
определяются по начальным условиям.
Разделим числитель
и знаменатель выражения (2.2) на
:
,
где
- статическое отклонение точки под
действием силы H;
- коэффициент затухания;
- коэффициент расстройки.
B
Максимумы вынужденных
колебаний происходят не на резонансной
частоте, когда
,
а при критическом коэффициенте
расстройки:
.
График фазо-частотных характеристик(ФЧХ):
