Лекции по теоретической механике1 / Лекция №9
.docУравнения Лагранжа второго рода
Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения механической системы, составленные в обобщённых координатах:
где j – количество уравнений (j = 1, 2, …, n), n – число степеней свободы механической системы, T – кинетическая энергия системы, qj – обобщённая координата, – обобщённая скорость, Qj – обобщённая сила. Если qj = x (м), то (м/с); если qj = φ (рад), то (рад/с).
Вычисление обобщённых сил
Если система имеет n степеней свободы, то у неё n обобщённых координат, независимых друг от друга (q1, q2, …, qn) и n возможных перемещений (δq1, δq2, …, δqn). Сумма элементарных работ, приложенных к системе сил, на возможные перемещения системы равна
.
Обобщёнными силами называются коэффициенты, стоящие перед соответственными возможными перемещениями. Так как обобщённые координаты не зависят друг от друга, то для определения обобщённой силы системе необходимо сообщить возможные перемещения, соответствующие координатам, а все остальные возможные перемещения принять за нуль, то есть для определения Q1 необходимо, чтобы δq1 ≠ 0, δq2 = 0, δq3 = 0, …, δqn = 0, тогда
.
Размерность обобщённых сил зависит от размерности обобщённых координат: если qj = x (м), то Qj – сила (Н); если qj = φ (рад), то Qj – момент (Н∙м).
Пример 1.
Составить дифференциальное уравнение груза, перемещаемого вверх по гладкой наклонной плоскости под действием силы .
Дано: m, α, β.
Решение:
n = j = 1, q = x,
определим обобщённую силу Q; для этого составим сумму элементарных работ приложенных сил на возможное перемещение груза:
подставляем в уравнение Лагранжа:
дифференциальное уравнение движения груза имеет вид:
.
План решения задач с помощью уравнений Лагранжа второго рода.
-
Определить число степеней свободы механической системы и выбрать удобные обобщённые координаты.
-
Вычислить кинетическую энергию системы в её абсолютном движении и выразить её через обобщённые координаты qj , .
-
Вычислить все производные в левой части уравнений.
-
Определить обобщённые силы Qj, соответствующие выбранным координатам.
-
Подставить всё в уравнения Лагранжа.
Пример 2.
Составить дифференциальное уравнение движения механической системы и определить закон движения этой системы при заданных массах тел: m1, m2, m3. Считать, что каток катится без скольжения и пренебречь трением качения.
Решение:
n = j = 1, q = x, v1 = vc,
T = T1 + T2 + T3,
находим производные:
определим обобщённую силу Q, составляя сумму элементарных работ всех сил на возможные перемещения системы:
δy = δx, Q = m1g,
подставляем в уравнение Лагранжа:
получали дифференциальное уравнение движения механической системы; для определения закона движения данной системы полученное выражение необходимо дважды проинтегрировать.
Пример 3.
Определить ускорение груза 1, применяя общие уравнения динамики.
Дано: m1, m2, m3.
Решение:
общее уравнение динамики:
зададим системе возможные перемещения:
найдём уравнения связи между всеми возможными перемещениями и другие связи между всеми ускорениями; связи между ними точно такие же, как и между соответствующими скоростями:
vc = v,
δx = δy,
ac = a,
δy ≠ 0,
.