Задача 10. Даны три вектора a 7i 4 j , b i 2 j 6k и c 8 j 3k . Вычис-

лить прa (c 2b) .

Решение. Введемобозначение c 2b d и вычислим координаты вектора d : d {c1 2 b1, c2 2 b2 , c3 2 b3},

d {0 2 ( 1), 8 2 2, 3 2 6} { 2, 4, 15}.

Запишем формулу (11.6) для вычисления проекции вектора на вектор для нашего случая:

прa d aad a1 d1 a2 d2 a3 d3 ,

a12 a22 a32

пр					7 ( 2) ( 4) ( 4) 0		30		6 65 .
			d
					72 ( 4)2		65
a									13

Ответ: пр d 6 65 .

a	13

4. Векторное произведение векторов

5,

2

^

)

Задача 1. Данывекторы

a

и

, причем

a

b

и (

a

,

b

. Найдите:

b

; 2)

(2

) (

2

)

6

1)

.

a

b

a

b

a

b

Решение.

1) согласно п.1 определения13.2 имеем:

a b a b sin 5 2 sin 30 10 0,5 5 ;

2) воспользовавшись свойствами 1–4 векторного произведения и результатами предыдущего пункта, находим:

(2a b) (a 2b) 2a a 4a b b a 2b b 4a b a b 5 a b 25 .

Ответ:1) a b 5 , 2) (2a b) (a 2b) 25 .

Задача 2. Найти a b , если a 7i 3 j 5k , b 2i 4 j 3k .

59

Решение. Координаты векторного произведения векторов

a

и

b

находятся по

):

формуле (13.1

i

j

k

a1

a2

a3

a

b

b1

b2

b3

.

В нашем случае

i

j

k

( 1)2

3

5

( 1)3

7

5

( 1)4

7

3

29i 11

34

.

7

3 5

a

b

i

j

k

j

k

2

4

3

4

3

2

3

2

4

Ответ:

{29, 11, 34}.

a

b

Задача 3. Найти векторное произведение векторов (3

4

) (2

5

) , если

a

b

a

b

i 2 j 10k,

5i 4 j 7k .

a

b

Решение.

1-й

способ. Упрощаем выражение

(3

4

) (2

5

) ,

воспользовавшись

a

b

a

b

свойствами векторного произведения:

(3a 4b) (2a 5b) 6a a 15a b 8b a 20b b 15a b 8a b 7a b .

				Находим координаты вектора																														. Для этого составляем																					и вычисляем опре-
																											a					b
делитель:
					i
							j						k				i ( 1)2				2 10									( 1)3							1 10											( 1)4					1 2				54i 57
					1	2 10																																																								6				.
	a		b																									j																k																	j				k
					5	4					7										4			7													5	7															5		4
				Таким образом, (3															4				) (2			5							) 7(54						57							6				) 378							399			42				.
																		a				b			a						b							i					j						k							i			j				k
				2-й способ. Находим координаты векторов (3																																					4							) и (2						5				) :
																																								a						b					a					b
						3						4					{3 1 4 5,							3 2 4 4,											3 ( 10) 4 7} {23, 22, 2},
									a				b
							2					5					{2 1 5 5,							2 2 5 4,											2 ( 10) 5 7} {27, 24, 15}.
										a				b

Вычисляем (3a 4b) (2a 5b) , составив определитель:

60

									i		j			k		i		22	2				23	2				23	22
(3		4		) (2		5		)	23	22			2
	a		b		a		b														j					k
									27	24			15					24	15				27	15				27	24

378i 399 j 42k .

Ответ: (3a 4b) (2a 5b) {378, 399, 42}.

Задача 4. Вектор x , перпендикулярный векторам a {2,3,1} и b {5,9,5},

образует с осью Oz острый угол. Найти координаты вектора x , зная, что

x 2 70.

Решение. 1. Вектор, перпендикулярный векторам a и b , согласно п. 2 определения 13.2, коллинеарен их векторному произведению, т.е. x a b . Следова-

тельно, их координаты пропорциональны. Находим координаты a b :

						i			j		k
					2			3		1			6		5		3		.
	a		b											i		j		k
					5			9		5

Таким образом, координаты вектора

{6k, 5k,

3k}, k R .

x

2. Находим коэффициент пропорциональности k ,

2 70.

учитывая, что

x

Составляем и решаем уравнение

(6k)2 ( 5k)2

(3k)2 2 70,

36k 2 25k 2

9k 2

2

70,

70k 2 2

70,

:

70

k

2

k 2 .

2 { 12,10, 6}, которые

Итак, мы получили два вектора

1 {12, 10, 6},

x

x

имеют заданную длину и перпендикулярны векторам a и b .

3. Искомый вектор x должен образовывать с осью Oz острый угол. Возьмем любой вектор, лежащий на оси Oz и имеющий с ней одинаковое направление, например вектор k {0,0,1}, и воспользуемся геометрическим смыслом скалярного произведения:

61

(k x) 900 k x 0 . Легко видеть, что этому условию удовлетворяет вектор

x1 {12, 10, 6}.

Ответ: x {12, 10, 6}.

Задача 5. Даны точки A(2, 1, 5), B(–7, 4, 3), C(0, 8, 9). Найти площадь треугольника АВС и длину его высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС.

Решение. 1. Площадь треугольника АВС, построенного на векторах AB и AC , равна половине площади параллелограмма, построенного на тех же векторах. Вос-

пользуемся геометрическим смыслом векторного произведения
																		S ABC			1											.
																									AB				AC
																					2
		Для того чтобы произвести вычисления по указанной формуле, находим коор-
динаты векторов				,								и								:
			AB					AC							AB				AC
																																	i			j		k
		{ 9, 3, 2},								{ 2, 7, 4},																						9			3		2			26		40		57		.
	AB						AC															AB					AC														i		j		k
																																2			7		4
		S ABC 1														1		262			402 ( 57)2														1		5525 2,5 221 .
						AB						AC
2																2																			2

2. Для того чтобы найти высоту AH, опущенную из вершины А на сторону ВС, воспользуемся известной из школьного курса геометрии формулой для вычисления площади треугольника:

S ABC 12 AH BC .

Откудасучетомп.1 имеем

AH

2S ABC

AB

AC

.

BC

BC

Вычисляемдлинувектора BC {7, 4, 12}:

BC 72 42 ( 12)2 209 .

Окончательнополучим

AH 5209221 5 209221 5,14 .

62