Курсовая работа по информатике

Министерство образования

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет ˝ЛЭТИ˝

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по дисциплине ˝ИНФОРМАТИКА˝

Вариант № 5

Выполнил: Преподаватели:

Гладких Н.А. Белов М.П., Шубин Р.В.

Санкт-Петербург

2013

Оглавление

Задание на курсовую работу 3

Задача №1 4

1.1Решить уравнение f(x) = g(x) 4

1.2 Исследовать функцию h(x) = f(x) – g(x) на промежутке [0 5

Нахождение экстремумов функции: 6

Задача №2 10

Задача №3 12

Определения 14

Источники 16

Задание на курсовую работу

Цель курсовой работы: уметь применять персональный компьютер и математические пакеты прикладных программ в инженерной деятельности.

Тема курсовой работы: решение математических задач с использованием математического пакета "MathCAD".

Содержание курсовой работы:

Даны функции f(x) = √3sin(x) + cos(x) и g(x) = cos(2x + ) – 1

Решить уравнение f(x) = g(x).

Исследовать функцию h(x) = f(x) – g(x) на промежутке [0 ;].

2) Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy (смотри приложение 1).

Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.

Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).

3) Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов .

На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабри­катов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.

Задача №1

1.1Решить уравнение f(x) = g(x)

given

Период функции = 2π

График f(x)=g(x)

Вывод:

Уравнение f(x) = g(x) имеет решение при х =.

1.2 Исследовать функцию h(x) = f(x) – g(x) на промежутке [0

График h(x)=f(x)-g(x)

Исследование на четность и нечетность:

Функция не является четной и не является нечетной

Нахождение экстремумов функции:

График производной ф-ии h(x)

Как видно из графика производной, на отрезке [0; ] есть только один экстремум

Нахождение экстремума

Максимум функции в точке 1,047

Минимум функции в точке

Исследование функции на монотонность:

Функция возрастает на отрезке [0; 1,047]

Функция убывает на отрезке [1,047; ]

Перегибы функции:

График второй производной ф-ии h(x)

Мы получили 4 значения х, при которых график второй производной пересекает ось ОХ, но лишь 2 из них входят в отрезок [0 ; ]. Эти корни являются началом и концом перегиба

Начало перегиба: 0.111

Конец перегиба: 1.983

Задача №2

Задание:

Найти коэффициенты кубического сплайна, интерполирующего данные, представленные в векторах Vx и Vy .

Построить на одном графике: функцию f(x) и функцию f1(x), полученную после нахождения коэффициентов кубического сплайна.

Представить графическое изображение результатов интерполяции исходных данных различными методами с использованием встроенных функций cspline(Vx,Vy), pspline(Vx,Vy), lspline(Vx,Vy) и interp(Vk,Vx,Vy,x).

Оценить погрешность интерполяции в точке x = 2,2. Вычислить значение функции в точке x = 1,2

Найдем коэффициенты кубического сплайна с помощью функций «cspline», «pspline», «lspline»:

Интерполяция исходных данных

Графики интерполяции исходных данных

График функции, построенный по исходным данным

Значение функции в точке х=1.2

Точка, в которой требуется найти погрешность интерполяции

Значение функции в точке х=2.2

Значения интерполяций функции в точке х=2.2

Погрешности Интерполяций

Вывод:

Наименьшую погрешность интерполяции данных дает функция «lspline».

Задача №3

Задание:

Решить задачу оптимального распределения неоднородных ресурсов .На предприятии постоянно возникают задачи определения оптимального плана производства продукции при наличии конкретных ресурсов (сырья, полуфабри­катов, оборудования, финансов, рабочей силы и др.) или проблемы оптимизации распределения неоднородных ресурсов на производстве.

Постановка задачи А (варианты 1 – 12)

Для изготовления n видов изделий И₁, И₂ ,... , И_n необхо­димы ресурсы m видов: трудовые, материальные, финансовые и др. Известно тре­буемое количество отдельного i-гo ресурса для изготовления каждого j-го изделия. Назовем эту величину нормой расхода с_ij. Пусть определено количество каждого вида ресурса, которым предприятие располагает в данный момент, - а_i. Известна прибыль П_j, получаемая предприятием от изготовления каждого j-го изделия. Тре­буется определить, какие изделия и в каком количестве должны производиться предприятием, чтобы прибыль была максимальной

Таблица 1.5

Используемые ресурсы, аi	Изготавливаемые изделия					Наличие ресурсов, аi
	И1	И2	И3	И4
Трудовые	5	5	6	4	14
Материальные	9	3	6	5	10
Финансовые	5	8	6	8	30
Прибыль, Пj	42	52	35	15

Начальные значения:

Зададим критерии функции прибыли:

Ограничения на количество производимых изделий:

Система ограничений на использование ресурсов:

-ограничение на трудовые

- ограничение на материальные

- ограничение на финансовые

Вычисление наибольшей прибыли с учетом ограничений:

В ответе получаем не целое число, округляя его в меньшую сторону и подставляя «2» получаем:

Вывод: Для получения максимальной прибыли предприятию необходимо изготавливать изделия второго вида (И₂) в количестве 2-ух штук. Тогда максимальная прибыль составит 104 условные единицы.

Определения

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений

Интерполяция — это "соединение" точек выборки данных (xi,yi) кривой той или иной степени гладкости. По определению интерполяция означает построение функции f(x), аппроксимирующей зависимость y(x) в промежуточных точках (между xi). Поэтому интерполяцию еще по другому называют аппроксимацией. В точках xi значения интерполяционной функции должны совпадать с исходными данными, т.е. f(xi)=y(xi)

Сплайн-интерполяция — это соединение экспериментальных точек не ломаной линией, а гладкой кривой. Лучше всего для этих целей подходит интерполяция сплайнами, т.е. фрагментами полиномов.

Смысл сплайн-интерполяции заключается в том, что в каждом промежутке между узловыми точками (на каждом шаге интерполяции) осуществляется аппроксимация в виде определенной полиномиальной зависимости f(x).

Смысл сплайн-интерполяции заключается в том, что в промежутках между точками осуществляется аппроксимация в виде зависимости A(x)=Ax³+Bx²+Cx+D. Коэффициенты A, B, C, D рассчитываются независимо для каждого промежутка, исходя из значений у в соседних точках. Этот процесс скрыт от пользователя, поскольку смысл задачи интерполяции состоит в выдаче значения A(x) в любой точке x.

lspline(x,y) — вектор значений коэффициентов линейного сплайна;

pspline(x,y) — вектор значений коэффициентов квадратичного сплайна;

cspline(x,y) — вектор значений коэффициентов кубического сплайна;

Источники

http://ru.wikipedia.org/wiki/Интерполяция

http://www.polybook.ru/comma/1.3.pdf

http://www.alglib.sources.ru/

www.km.ru

http://www.exponenta.ru/

http://mathem.h1.ru/examples/example.html?12

http://www.sistemair.ru/dok/mathcad/text/index3-3.html

Mathcad 15/ Mathcad Prime 1.0

Авторы: Кирьянов Дмитрий Викторович

Симонович С.В. и др./Информатика. Базовый курс– СПб: Издательство ″Питер″, 2000

Вывод: пройдя курс обучения, по дисциплине "ИНФОРМАТИКА", студент Гладких Н.А. научился оперативно решать поставленные задачи такие как: исследование, анализирование и построение функций в программной среде MathCAD. Освоил метод интерполяции данных и научился решать задачи по оптимальному распределению неоднородных ресурсов.

17