Методичка по 5 лабе (ФОЭН)
.pdf3
Введение
Дисциплину по выбору "Математические основы электротехнологии" |
||||||||
можно считать |
логическим продолжением курса лекций |
"Физические |
||||||
основы электронагрева", который читается во втором семестре. |
основы |
|||||||
В |
лекциях |
по |
дисциплине |
"Математические |
||||
электротехнологии", |
которые читаются в четвёртом семестре, |
даётся |
||||||
физическое толкование дифференциальных уравнений матфизики, |
||||||||
моделирующих основные составляющие электротехнологических процессов |
||||||||
- распространение электромагнитных и тепловых полей, механику твёрдого |
||||||||
тела при неизотермическом нагреве, химические реакции и т. |
п. На примерах |
|||||||
двух методов: |
разделения переменных и функции Грина, - |
даётся |
||||||
представление об аналитических методах решения дифференциальных |
||||||||
уравнений. |
Рассматриваются также численные методы решения нелинейных |
|||||||
дифференциальных уравнений в частных производных - метод контрольного |
||||||||
объёма и, более подробно, метод конечных элементов. |
|
основам |
||||||
На |
практических |
занятиях |
по |
математическим |
||||
электротехнологии основное внимание уделяется методу конечных |
||||||||
элементов. |
С |
помощью программы |
"Temperatures & Stresses 2D" (в |
|||||
дальнейшем "T & S"), разработанной для исследования сварочных процессов |
||||||||
С. П. Марковым и адаптированной для иных электротермических процессов |
||||||||
- поверхностной закалки и термической резки металлов - В. В. Царевским, |
||||||||
студенты имеют |
возможность провести исследование |
температурных |
||||||
полей и остаточных напряжений и деформаций. |
|
|
4
1. ПОРЯДОК РАСЧЁТОВ
Индивидуальное задание рассчитано на весь цикл практических занятий по дисциплине. Расчёт начинается с выбора в выпадающем окне
Плоская деформация и осевая симметрия задачи Температурные поля
(рис. 1.1)
.
Рис. 1.1
После завершения расчёта температурных полей нагрева и охлаждения выбирается тип задачи Напряжения и деформации и выполняются все расчёты по этой задаче. Затем производится анализ результатов по обеим задачам и составляется краткий отчёт.
2. РАСЧЁТ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ
После выбора задачи Температурные поля и запуска появляется окно прикладной подпрограммы (рис.2.1).
Строка заголовка содержит название подпрограммы, с которой ведётся работа (в данном случае это Temperatures). Непосредственно под строкой заголовка расположено главное меню. В нём скрыты семь выпадающих меню с командами, необходимыми для подготовки исходных данных, управления расчётом и графического изображения результатов. Существует
более
5
Рис. 2.1
быстрый и эффективный доступ к самым важным командам. Это - кнопки на панели инструментов, расположенной ниже главного меню. Значок на кнопке в известной мере передаёт содержание операции, связанной с ней. Если курсор мыши задержать на кнопке, то в нижней части рабочего поля окна появится подсказка относительно функции кнопки.
2.1. Построение сетки
Температурное поле рассчитывается методом конечных элементов (МКЭ), суть которого заключается в аппроксимации непрерывной искомой величины (в данном случае - температуры) в заданной области с помощью дискретной модели, построенной на конечном множестве кусочно- непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей (элементов). Разделение области на элементы производится путём построения сетки.
Первая, считая слева, кнопка панели инструментов открывает ключевую диаграмму, с которой рекомендуется начинать построение сетки или её фрагмента. В первой строке (или первом столбце) задаётся число четырёхугольных зон фрагмента сечения (области) исследуемого тела в плоскости xy - с клавиатуры вводится единица. Таким образом, число зон во фрагменте равно числу ячеек с единицей. Строка (колонка) ячеек с единицами должна заканчиваться целым числом, обозначающим количество строк (колонок) элементов во фрагменте. Число колонок (строк) в каждой зоне задаётся во второй строке (колонке) ключевой диаграммы. В законченном виде ключевая диаграмма представлена на рис. 2.2.
6
Рис. 2.2
Следующей кнопкой открывается таблица для создания файла соединения зон во фрагмент. Предварительно в системе координат изображается фрагмент (рис. 2.3), разделённый на зоны, и узлы фрагмента
y
3
1 2
|
5 |
|
|
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
Рис. 2.3
7
Рис. 2.4
нумеруются слева направо, начиная с верхнего ряда узлов. В каждую строчку таблицы последовательно вносятся номера узлов зоны, начиная с нижнего левого против часовой стрелки (рис. 2.4). С помощью третьей кнопки создаётся файл с координатами узлов фрагмента. Таким образом, получено три файла, vv.tke, vv.tnd и vv.tcd. Четвёртой кнопкой вызывается панель (рис. 2.5), на которой собираются эти файлы, задаются имена файла узлов (fvv.tnd) и файла элементов (fvv.tke) фрагмента с заданным числом строк и колонок. Расширения файлов задаются программой, а система имён − исследователем проблемы. Графическое изображение полученного
разбиения фрагмента на конечные элементы можно получить с помощью выпадающего меню Результаты главного меню ( вторая строка) График
окно Grafics Object в Главном меню окна Grafics FE Mesh окно Files for Mesh (to Show picture) вставить файлы fvv.tnd и fvv.tcd OK
окно с параметрами сетки ОК Start Demo FE Mesh OK окно с размерами сетки ОК сетка (рис. 2.6).
8
Рис. 2.5
Примечание. На рис. 2.6 -2.8 представлены графические изображения, которые наблюдаются на экране монитора персонального компьютера.
Следующая - четвёртая - кнопка панели инструментов предназначена для объединения фрагментов в расчётный массив. Предположим, к построенному фрагменту (рис. 2.6) необходимо присоединить ещё один.
Рис. 2.6
Условия объединения фрагментов следующие: общие границы должны быть параллельными осям глобальной системы координат, фрагменты
9
должны совпадать по количеству и координатам узлов. Второй фрагмент строится аналогично первому (рис. 2.7).
Рис. 2.7
Затем, после нажатия четвёртой кнопки, в выпавшем окне указывается
количество объединяемых фрагментов ОК задаются элементы и узлы первого фрагмента, а также имена файлов узлов и элементов
Рис. 2.8
объединённого массива кнопка Connect в выпадающих окнах производится привязка левого нижнего узла фрагмента к глобальной системе координат даётся информация о завершении построения фрагмента ОК. Процедура повторяется для второго фрагмента. В результате должен получиться объединённый массив (рис.2.8).
10
2.2.Исходные данные для тепловой задачи
2.2.1.Теплофизические характеристики объекта исследований
Теплопроводность, объёмная теплоёмкость и коэффициент |
||||||||||
теплоотдачи зависят от |
марки |
стали, |
из которой |
изготовлена заготовка |
||||||
(объект исследования), |
и условий охлаждения, |
которые определяются |
||||||||
заданием. Подготовка этих данных производится заполнением таблиц, |
||||||||||
которые |
вызываются соответствующими командами выпадающего меню |
|||||||||
Данные, и присвоением имён созданным файлам. |
|
одинаковыми с |
||||||||
Условия теплоотдачи при охлаждении могут быть |
||||||||||
условиями теплоотдачи при нагреве или отличными от них. В последнем |
||||||||||
случае следует подготовить ещё один файл с другими коэффициентами |
||||||||||
теплоотдачи и другим именем. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Объёмная теплоёмкость может быть вычислена как произведение |
||||||||||
массовой теплоёмкости на плотность материала заготовки. |
величин через |
|||||||||
В |
таблицы заносятся 12-15 значений |
требуемых |
||||||||
50-100 °С в диапазоне температур от комнатной до 1300 °С. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
2.2.2. Граничные условия |
|
|
|
|
|||
Предусмотрено задание граничных условий первого рода |
с помощью |
|||||||||
команды Граничные температуры и третьего рода - с помощью команды |
||||||||||
Поверхности теплоотдачи. Граничные условия второго рода с нулевой |
||||||||||
правой частью задаются по умолчанию |
на тех поверхностях, где не заданы |
|||||||||
другие граничные условия. |
|
|
|
|
|
|
на |
|||
Поверхности теплоотдачи можно задавать двумя способами: |
||||||||||
плоскостях - с помощью координат границы, |
в двухмерном |
случае - |
с |
|||||||
помощью координат концов отрезка. |
Преобразование информации о |
|||||||||
координатах границы производится следующим образом: Главное меню |
|
|||||||||
Данные |
Поверхности теплоотдачи заполнение таблицы координат |
|
||||||||
присвоение файлу имени Finde FE numbers and sides |
заполнение |
|||||||||
выпавшего окна |
Files for Mesh |
файлами с номерами узлов элементов и с |
||||||||
координатами области ОК присвоение имени файлу с номерами |
||||||||||
элементов и граничных сторон. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично задаются граничные условия первого рода (команда |
||||||||||
Граничные температуры в выпадающем меню |
Данные). |
|
таблица |
с |
||||||
В |
случае |
криволинейной |
поверхности |
теплоотдачи |
номерами элементов и граничных сторон элементов и таблица граничных температур задаются вручную.
11 2.2.3. Источники нагрева
Индукционный нагрев под поверхностную закалку производится внутренними источниками тепла. Их плотность и распределение изменяются в процессе нагрева вместе с изменением температуры поверхностного слоя,
поскольку электропроводность и магнитные свойства углеродистых сталей зависят от температуры. При моделировании процесс нагрева разделяется на этапы, или стадии нагрева. В пределах каждой стадии теплофизические свойства материала, распределение и плотность источников усредняются.
Распространено и физически понятно разбиение процесса нагрева на три стадии, получившие названия холодной, промежуточной и горячей. Границы
этих стадий определяются с помощью понятия горячей глубины проникновения k:
k ≈ 50 , cм, f
где f - частота тока источника питания, Гц.
Холодной стадией нагрева считается промежуток времени от включения нагрева до момента, когда поверхность нагреваемого тела достигает температуры магнитных превращений ( 750 °С). Промежуточная стадия заканчивается в момент прогрева всего слоя k до температуры магнитных превращений. Далее до конца нагрева следует горячая стадия нагрева.
Внутренние источники тепла для каждого конечного элемента (КЭ) можно задать тремя способами: равномерно по всему объёму КЭ, в узлах КЭ, на гранях КЭ. Здесь принят и подробно рассматривается способ задания источников на гранях КЭ для горячей стадии. При разбиении области
исследования на КЭ у нагреваемой поверхности предусматриваются зоны (фрагменты) шириной k(1 + n)/n, где n - количество полос, параллельных поверхности, на которые разбивается k. В выделенной зоне (фрагменте), таким образом, будет (n+1) полос шириной k/n каждая. Количество столбцов (строк) в выделенной зоне определяется общей стратегией построения сетки исследуемого объекта с учётом условия, что их ширина больше или равна 10( k/n), которое диктуется требованиями к достоверности конечного результата расчётов.
Полная активная мощность p0, проходящая через единицу площади нагреваемой поверхности, или удельная мощность, задаётся . На глубине x от
поверхности удельная мощность определяется соотношением
− 2 x
px = p0e .
|
|
12 |
|
|
В слое толщиной x, |
|
параллельном поверхности, выделяется |
||
мощность |
|
x+ x |
|
|
|
2 |
|
||
P x = p0 |
∫ px dx = ( px+ x |
− px ). |
||
|
||||
|
|
x |
|
В случае разбиения выделенной зоны на полосы одинаковой ширины в |
|||||||||||
окрестности каждой границы раздела полос выделяется симметричный |
|||||||||||
относительно |
границы |
слой |
толщиной |
a |
= |
k/n. |
На |
границе, |
|||
соответствующей поверхности исследуемой области, слой с источниками |
|||||||||||
будет только с одной - внутренней - стороны границы, и толщина его будет |
|||||||||||
a/2 = |
k/(2n). |
Вся мощность, |
выделяющаяся |
в слое, определяется по |
|||||||
последней формуле и относится к соответствующей границе. Если полосы |
|||||||||||
разной ширины, |
то по обе стороны от границы ширина слоя будет разная. В |
||||||||||
остальном порядок дискретизации источников прежний. |
Следует учесть |
||||||||||
часть |
мощности (около |
14%), |
прошедшей через дальнюю, |
считая от |
|||||||
поверхности, |
границу последнего слоя, |
путём |
округления |
значений |
|||||||
вычисленных интегралов таким образом, |
чтобы |
сумма |
значений всех |
||||||||
интегралов была равна p0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Порядок создания файла с источниками: Главное меню меню |
|||||||||||
Данные |
команда Источники теплоты |
|
первое вложенное |
меню |
|||||||
Произвольный |
второе вложенное меню |
По координатам |
|
окно с |
|||||||
таблицей для координат границ с источниками, а также для величины |
|||||||||||
источника q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В каждой строке задаются прямолинейный участок границы i и |
|||||||||||
величина qi. Если граница i |
разделяет две полосы, то на ней следует задавать |
||||||||||
qi/2, поскольку к такой границе КЭ примыкают с двух сторон. |
|
|
|||||||||
Созданному файлу присваивается имя, затем определяются элементы и |
|||||||||||
номера граней с источниками: открывается меню Find в строке меню окна |
|||||||||||
FE numbers and sides |
окно |
Files for Mesh (to determine surfaces) |
|||||||||
Node's numbers of FE исследуемой области |
Coordinates of nodes |
||||||||||
исследуемой области OК кнопка Begin |
в окне |
To run procedure? |
|||||||||
OК в окне Поиск элементов по координатам |
присвоение имени файлу с |
||||||||||
таблицей элементов. На этом введение источников тепла можно считать |
|||||||||||
завершённым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь описан один из возможных способов задания источников тепла. |
|||||||||||
Программой |
|
предусмотрены, |
кроме |
произвольного, |
сварочный, |
||||||
осциллирующий |
и импульсный |
источники |
тепла, |
а также задание их |
неравномерного распределения по поверхностям.
В выпадающем меню Данные есть ещё команда Плавление и испарение. Её используют для задания параметров процессов плавления и