Лекции 4 сем в pdf по ТОЭ

Оглавление
4 Анализ пассивных и активных нелинейных цепей в области вещественной переменной t и в
области комплексной переменной p σ jω (Аналитически-численный метод)........................................		1
4.1	Краткое описание аналитически-численного метода решения в обобщенных функциях и
функционально-степенных рядах обыкновенных нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений,
описывающих динамику цепи................................................................................................................................		1
4.1.1	Выделение класса моделей ...................................................................................................................	1
4.1.2	Выделение класса решений ..................................................................................................................	3
4.2	Краткое описание процедуры аналитически-численного метода .........................................................	4
4.2.1	Аналитическая часть метода ................................................................................................................	4
4.2.2	Численная часть метода ........................................................................................................................	4

4.3Формулировка условий существования и единственности регулярных составляющих решений

обыкновенных нелинейных интегрально-дифференциальных уравнений ........................................................

6

4.4Аналитическая часть процедуры формирования аналитически-численных решений уравнений

динамики кусочно-степенных моделей .................................................................................................................		7
4.5	Численная часть процедуры аналитически-численного метода. Верхняя оценка абсолютной
локальной погрешности аналитически-численного расчета. Формирование верхней оценки абсолютной
полной погрешности расчета. Выделение областей, содержащих неизвестные точные значения решений
уравнений динамики кусочно-линейных моделей (систем) ................................................................................		9
4.5.1 Верхняя оценка абсолютной локальной погрешности расчета .........................................................		9

4.5.2Формирование верхней оценки абсолютной полной погрешности расчета. Выделение областей,

содержащих точные неизвестные значения решений уравнений динамики цепи ......................................		11
4.6	Процедура аналитически-численного анализа динамики нелинейных цепей ...................................	12

5 Собственные теоремы теории электрических цепей ................................................................................		13
5.1	Метод эквивалентных преобразований источников .............................................................................	13
5.1.1	Назначение метода ..............................................................................................................................	13
5.1.2	Общий случай метода .........................................................................................................................	13
5.1.3	Исключительный случай метода........................................................................................................	13
5.1.4 Не преобразуемые эквивалентно соединения источников тока и напряжения .............................		15
5.1.5	Преобразование управляемых источников .......................................................................................	15
5.2	Метод контурных токов (МКТ) ..............................................................................................................	15
5.2.1	Назначение метода ..............................................................................................................................	15
5.2.2 Существо метода ......................................................................................................................................		15
5.2.3 Общий случай метода (линейные пассивные планарные и непланарные цепи) ...........................		15
5.2.4 Исключительный случай МКТ (линейные пассивные планарные и непланарные цепи) .............		17

5.2.5Особенности расчета линейных активных планарных и непланарных цепей в общем и

исключительном случаях метода .....................................................................................................................		17
5.2.6 Расчет нелинейных активных и пассивных планарных и непланарных цепей..............................		18
5.2.7 Достоинства и недостатки МКТ.........................................................................................................		18
5.3	Метод узловых напряжений (МУН).......................................................................................................	18
5.3.1	Назначение метода ..............................................................................................................................	18
5.3.2	Существо метода .................................................................................................................................	18
5.3.3	Общий случай метода .........................................................................................................................	18
5.3.4 Исключительный случай метода (линейные пассивные цепи) .......................................................		19
5.3.5 Линейные планарные и непланарные активные цепи ......................................................................		20
5.3.6 Расчет планарных и не планарных пассивных и активных нелинейных цепей.............................		20
5.3.7 Достоинства и недостатки МУН ........................................................................................................		20
5.4	Дуальность (двойственность) линейных электрических цепей ...........................................................	21
5.5	Методы эквивалентных источников напряжения и тока .....................................................................	22
5.5.1 Метод эквивалентного источника напряжения (теорема Тевенина) ..............................................		22
5.5.2 Метод эквивалентного источника тока (теорема Нортона) .............................................................		23

6 Анализ линейных пассивных и активных, планарных и непланарных цепей в области ком-

плексной переменной s = + j! (метод комплексных амплитуд)

24

6.1Постановка задачи. Понятия обобщенного сигнала, комплексной амплитуды и комплексной

частоты. Переход из t-области в s-область и обратно. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24
6.1.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	24

6.1.2 Понятия обобщенного сигнала, комплексной амплитуды и комплексной частоты . . . . 24

6.2Законы Ома для элементов цепи и постулаты Кирхгофа для элементов структуры цепи в s-

области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2.1 Законы Ома для элементов цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 6.2.2 Преобразование источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6.2.3 Постулаты Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3Процедура расчеты вынужденных режимов в s-области с помощью комплексных схем заме-

	щения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	28
6.4	Процедура расчета цепи в комплексной области с помощью уравнений Кирхгофа . . . . . . . .	29
6.5	Процедура расчета цепи в комплексной области с помощью уравнений состояния . . . . . . .	31

6.6Понятие комплексной функции цепи. Связь комплексной функции цепи с дифференциальным

уравнением ее динамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 6.6.1 Понятие комплексной функции цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.6.2Связь комплексной функции цепи с дифференциальным уравнением ее динамики . . . 32

6.7 Анализ цепей в переходном режиме в s-области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.7.1 Общие соображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.7.2 Процедура расчета переходного процесса в линейных цепях в s-области . . . . . . . . . 33 6.8 Расчет линейных цепей в установившемся гармоническом режиме (s = j!) . . . . . . . . . . . 35

6.8.1Постановка задачи. Дополнительные определения. Законы Ома и постулаты Кирхгофа

		в области мнимой переменной s = j! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	36
	6.8.2	Дополнительные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	36
	6.8.3	Законы Ома для элементов цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	37
	6.8.4	Постулаты Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	38
6.9	Частотные характеристики RL- и RC-цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		39
	6.9.1	Постановка задачи. Дополнительные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39
	6.9.2	Частотные характеристики RL-цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39
	6.9.3	Частотные характеристики RC-цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
6.10	Частотные характеристики RLC-цепей. Резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		41
	6.10.1	Последовательная RLC-цепь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
6.11	Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		45

7Анализ установившихся периодических режимов в линейных планарных и непланарных, пассивных и активных цепях в области дискретной мнимой переменной s = jk!1, k 2 N0 (метод

рядов Фурье)

46

7.1Постановка задачи. Временное и спектральное представление гармонических и периодических

негармонических сигналов, имеющих разложение в ряд Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .		46
7.1.1 Переход из t-области в jk!1-область . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		47
7.1.2	Переход из jk!1-области в t-область . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
7.1.3	Свойства рядов Фурье симметричных сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47

7.1.4Использование преобразования Лапласа для отыскания коэффициентов ряда Фурье . . 48

7.1.5 Пример: получение дискретного амплитудного и фазового спектров меандра . . . . . . 48

7.2Законы Ома для элементов цепи и постулаты Кирхгофа для элементов структуры цепи в обла-

сти дискретной мнимой переменной s = jk!1. Процедура расчета методом рядов Фурье . . .		49
7.2.1 Законы Ома для элементов цепи и постулаты Кирхгофа для элементов структуры цепи		49
7.2.2	Процедура расчета методом рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	50
7.3 Вычисление периодической реакции цепи в замкнутой форме операторным методом . . . . . .		51
7.3.1	Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	51

8 Анализ линейных пассивных цепей в области непрерывной мнимой переменной p = j! (частот-

ный метод)

54

8.1Постановка задачи. Спектральное представление апериодических сигналов. Преобразование

Фурье	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	54
8.1.1	Спектральное представление апериодических сигналов. Преобразование Фурье . . . .	54
8.1.2	Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55

8.2Законы Ома и постулаты Кирхгофа в области мнимой переменной p = j!. Процедура расчета

переходного процесса в линейных цепях в частотной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.2.1 Законы Ома для элементов цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.2.2 Постулаты Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.2.3 Процедура анализа цепи в p = j!-области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8.3Понятие неискаженной передачи сигнала. Прохождение сигнала через идеальный фильтр . . . 57

8.3.1 Понятие неискаженной передачи сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		57
8.3.2 Идеальный фильтр. Прохождение сигнала через идеальный фильтр . . . . . . . . . . .		58
8.4 Прохождение сигналов через дифференцирующие и интегрирующие цепи . . . . . . . . . . . .		59
8.4.1	Дифференцирующая RC-цепь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	59
8.4.2	Интегрирующая RC-цепь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	60

9 Метод сигнальных графов.............................................................................................................................		63
9.1	Назначение метода. Дополнительные определения .............................................................................	63
9.1.1	Назначение метода ..............................................................................................................................	63
9.1.2	Дополнительные определения............................................................................................................	63
9.2	Способы построения и преобразования сигнальных графов ...............................................................	63
9.2.1	Построение графов ..............................................................................................................................	63
9.2.2	Преобразования графов.......................................................................................................................	64
9.3	Вычисление передачи графа ...................................................................................................................	66

10 Основы теории четырехполюсников		68
10.1	Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	68
10.2	Описание четырехполюсника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	68
10.3	Способы соединения четырехполюсников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	72

10.4Примеры вычисления функций передачи нагруженных пассивных и активных четырехполюсников, питаемых от источников с ненулевым внутренним сопротивлением (ненулевой внут-

ренней проводимостью) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 10.4.1 Вычисление функции передачи пассивного нагруженного ЧП, питаемого от ИТ с нену-

левой внутренней проводимостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 10.4.2 Вычисление функции передачи активного нагруженного ЧП, питаемого от ИН с нену-

левым внутренним сопротивлением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11	Цепи со взаимной индукцией...................................................................................................................	79
11.1	Явление взаимной индукции. Взаимная индуктивность и индуктивность рассеяния ......................	79
11.2	Коэффициент связи, согласное и встречное включение связанных элементов .................................	80
11.3	Последовательное соединение индуктивно связанных катушек .........................................................	81
11.4	Параллельное соединение индуктивно связанных катушек ................................................................	82
11.5	Расчет разветвленных цепей с взаимной индукцией ............................................................................	83
11.6	Исключение индуктивной связи.............................................................................................................	84

12 Трехфазные цепи

85

12.1	Основные понятия, относящиеся к трехфазным цепям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	85
	12.1.1 Трехфазная система напряжений, трехфазный генератор . . . . . . . . . . . . . . . . . .	85
12.2	Соотношение между фазными и линейными напряжениями симметричного трехфазного гене-
	ратора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	86
12.3	Трехфазная цепь и основные схемы соединения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	87
12.4	Расчет трехфазных цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	88
	12.4.1 Расчет трехфазной цепи при соединении нагрузки звездой . . . . . . . . . . . . . . . . .	88
	12.4.2 Расчет трехфазной цепи при соединении нагрузки треугольником . . . . . . . . . . . . .	90

4 Анализ пассивных и активных нелинейных цепей в области вещественной переменной t и в области комплексной переменной p ζ jω

(Аналитически-численный метод)

4.1 Краткое описание аналитически-численного метода решения в обобщенных функциях и функционально-степенных рядах обыкновенных нелинейных инте- грально-дифференциальных уравнений, описывающих динамику цепи

4.1.1Выделение класса моделей

Мы будем изучать модели с сосредоточенными параметрами и детерминированным изменением параметров

ивоздействий. Мы будем учитывать разрывы первого рода, в том числе дифференцируемые для координат

ивоздействий. Мы также будем учитывать разрывы второго рода для координат и производных от них. Уравнение динамики нелинейной цепи (системы) имеет вид

A(D)x(t) G(D)f (t) H(x, f , t) .		(4.1)
где A(D) — квадратная матрица порядка Lx ,	al ,k (D) l, k [1; Lx ] ;
x(t) — вектор искомых переменных;
G(D) — прямоугольная матрица размера Lx	L f , gl,k (D) l [1; Lx ] , k [1; L f ] ;

f (t) — вектор приложенных к цепи воздействий;

H(x, f , t) — матрица-столбец, учитывающая все нелинейные и неавтономные свойства цепи, со строками в

виде сумм, каждый член которых в общем случае представляет собой произведение следующих сомножителей в произвольных дробно-рациональных степенях: коэффициентов, времени, интегралов любой кратности, начиная с нулевой, от произведений, производных любого порядка, начиная с нулевого, взятых от координат или воздействий.

Опишем составляющие формулы (4.1).

	M		M
	al ,k (D) al[,mk ] Dm , gl ,k (D) ∑gl[,mk ] Dm			(4.2)
	m M		m M
	Vu	L	Nu , v
stru H (x, f , t) hu,v (t)t Ku , v (D n x(t)) Kul ,,nv				(4.3)
	v 1	l 1 n Nu , v
Пример. stru H(x, f , t) h1t 0,2 D 2 x3 0,6 x5 0,7 7 h2 .
Модели, описываемые уравнением (4.1) при H(x, f , t) H0			const назовѐм кусочно-линейными (они
линейные по кускам).
Модели, у которых матрица H(x, f ,t) const , но у которых по всем координатам старшие произ-
водные принадлежат произведению	A(D)x(t) , назовем нелинейными моделями с выделенной линейной ча-
стью.
Модели, у которых матрица	H(x, f ,t) const	и у которых хотя бы по одной координате старшая

производная принадлежит матрице H(x, f ,t) , назовем нелинейными моделями с невыделенной линейной ча-

стью.

В рамках описания (4.1) и формул (4.2) и (4.3) можно составить любые модели детерминированных неавтономных нестационарных нелинейных цепей с сосредоточенными параметрами.

Пример. Составление трех моделей пассивной цепи.

	iL (t)	L			iR (t)
	+
			iC (t)	+
u(t)	+			+
							R