- •Часть 1
- •Введение
- •1. Программа по математике
- •1.1.Основные математические понятия и факты ·Арифметика, алгебра и начала анализа
- •·Геометрия
- •1.2.Основные формулы и теоремы
- •2.1. Задачи с целыми числами. Признаки делимости
- •2.2.Действительные числа
- •2.3.Процент числа. Основные задачи на проценты
- •2.4.Преобразование числовых и алгебраических выражений
- •2.4.1.Свойства степеней
- •2.4.2. Свойства арифметических корней
- •2.4.3. Формулы сокращенного умножения
- •2.4.4. Деление многочлена на многочлен
- •Пример.3.1. Решить уравнение
- •3.1.3.2.Возвратное или симметричное уравнение
- •3.1.5. Уравнения с параметром (линейные, квадратные и приводимые к ним)
- •3.2. Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
- •Согласно определению модуля имеем
- •3.3. Иррациональные уравнения
- •Основные методы решения иррациональных уравнений
- •3.3.2. Уравнения, в которых одно или несколько подкоренных выражений – точные квадраты
- •3.3.3. Уединение радикала и возведение в степень
- •3.3.4.Уравнения, содержащие кубические радикалы
- •3.3.5. Введение вспомогательной переменной
- •Пример 3.20. Решить уравнение
- •Задачи для самостоятельного решения Решить уравнения: вариант 1
- •4.1.4.Нестандартные методы решения
- •4.2. Рациональные неравенства
- •4.2.6. Иррациональные неравенства
- •5. Текстовые задачи
- •5.1. Задачи на движение
- •5.2. Задачи на работу и производительность труда.
- •5.4. Задачи на процентное содержание и концентрацию
- •5.5. Задачи на числа
- •6. Прогрессии
- •6. 1. Арифметическая прогрессия
- •6. 2. Геометрическая прогрессия
- •Задачи для самостоятельного решения вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •7. Тригонометрия
- •7.1. Тригонометрические выражения.
- •7.1.1. Основные понятия
- •7.1.2. Связь между функциями одного угла
- •7.1.3. Функции суммы и разности углов
- •7.1.4. Преобразования произведения функций в сумму
- •7.1.5. Преобразование суммы функций в произведение. Функции кратных углов
- •7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства
- •7.2.1. Замена неизвестной
- •7.2.2. Понижение степени
- •7.2.3.Введение вспомогательного угла
- •7.2.4. Ограниченность тригонометрических функций
- •7.2.5.Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
- •7.3. Тригонометрические неравенства.
- •Задачи для самостоятельного решения вариант1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Приложение вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 1 2
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •4.Найти все пары чисел х и у, удовлетворяющие системе неравенств
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Вариант 31
- •Вариант 32
- •Вариант 33
- •Вариант 34
- •Вариант 35
- •Литература
- •Оглавление
- •Математика Пособие для подготовки к егэ в 2 частях
- •Часть 1
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
Задачи для самостоятельного решения Решить уравнения: вариант 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ВАРИАНТ 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ВАРИАНТ 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ВАРИАНТ 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
4. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. НЕРАВЕНСТВА,
СОДЕРЖАЩИЕ НЕИЗВЕСТНОЕ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
4.1. Системы алгебраических уравнений
Системой уравнений называют совокупность нескольких уравнений с несколькими неизвестными. Решением такой системы уравнений называется совокупность значений этих неизвестных, обращающих каждое уравнение системы в тождество.
Основные методы решения систем уравнений
4.1.1. Способ подстановки: из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другие и подставляем в оставшееся уравнение системы.
Пример 4.1. Решить систему уравнений
Из второго уравнения системы найдем у=2х-3. Подставив это значение у в первое уравнение системы, получим или, после преобразования,
х2-5х+6=0, откуда найдем х1=2, х2=3; тогда у1=2.2-3=1, у2=2.3-3=3.
П роверкой убеждаемся, что найденные пары чисел – решения данной системы. Действительно, если х1=2, у1=1, имеем
4-6+1+4+3=6, 6=6,
4-1=3, или 3=3;
е сли х2=3, у2=3, то 9-27+9+6+9=6, 6=6
6-3=3, или 3=3
Ответ: (2,1); (3,3).
4.1.2. Способ алгебраического сложения: поясним на примере
Пример 4.2. Решить систему уравнений
Используем метод сложения. Если первое уравнение системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожаются члены, содержащие переменные во второй степени:
В результате приходим к более простой системе
которую нетрудно решить методом подстановки:
или
Из второго уравнения последней системы находим у1=2, у2=117/146.
Так как х=(11у-17)/5, то при у=2 получаем х=1, при у=117/146 получаем
х= - 239/146.
Итак, заданная система имеет два решения (1;2) и
Ответ: (1;2) и
4.1.3. Способ введения новых переменных: суть метода поясним на примере
Пример 4.3. Решить систему уравнений
Используем метод введения новых переменных.
Положим х+у=и,
Тогда система примет вид
Применив метод подстановки, получим равносильную систему
т.е. откуда находим u1=-15, v1=-95/6; u2=5, v2=5/6. Таким образом, получаем совокупность систем
или и
р авносильную заданной системе уравнений. Каждую решим методом подстановки. В результате получим следующее множество решений системы:
(2;3);(3;2);
Ответ: (2;3);(3;2);
Пример 4.4. Решить систему уравнений
О.Д.З.: ху0.
Воспользуемся формулой «суммы квадратов», т.е. формулой а2+b2=
(a+b)2-2ab; перепишем данную систему
т.е.
Введем новые переменные u и v, обозначим х+у=u,
Система принимает вид
Применив метод подстановки, получим т.е. т.е. т.е. отсюда
v1 = 1 и u1=v1+3=4,
v2 = 2 и u2=v2+3=5.
Вернувшись к старым переменным, имеем
или
Решаем первую систему: у=4-х, тогда х2-4х+1=0, а
Решения второй системы: х3=4; х4=1, а у3=1; у4=4.
Ответ:
Пример 4.5. Решить систему уравнений
Это система уравнений, симметричных относительно неизвестных, т.е. таких, которые не изменяются при любых перестановках неизвестных. Такие системы решаются заменой
Воспользовавшись формулой получим и относительно u и v система примет вид
или
Из второго уравнения v=u2-7. Подстановкой в первое получаем
u2+u -2u2+14=8, или u2-u-6=0, откуда и1=-2, и2=3. Тогда v1=-3, v2=2. Данная система приводится к решению двух систем:
из которой находим
из которой находим
Ответ: (-3;1); (1;-3); (1;2); (2;1).
Пример 4.6. Решить систему уравнений
Системы уравнений, левые части которых однородны относительно х и у, а правые не содержат неизвестных, можно решать, пользуясь заменой х=ty. Введем замену х=ty; система примет вид
Разделив левые и правые части уравнений (у0), получим или, после преобразований, 10t2+3t-4=0, откуда t1=-4/5, t2=1/2. Если t1=4/5, тогда из уравнения y2(t2+2t+3)=17 находим или откуда тогда
Если t=1/2, тогда или у2 = 4, откуда у3= -2; у4= 2, а х3=1/2(-2)= -1, х4=1.
Ответ:
Пример 4.7. Решить систему уравнений
О.Д.З.:
Обозначим Относительно u и v система принимает вид
или
Подставив значение u+v=3 из первого уравнения системы во второе, получим (9-2uv)2-2u2v2=17 или u2v2-18uv+32=0. Решая последнее, найдем uv=2 и uv=16.
Т аким образом, получим совокупность двух систем уравнений:
u +v=3, u+v=3,
uv=2 и uv=16.
Р ешив уравнения, найдем u1=1, u2=2,
v1=2; v2=1 (вторая система не имеет решений).
Относительно х и у система принимает вид:
или откуда
Ответ: (1;16); (16;1).