![](/user_photo/_userpic.png)
Учебное пособие 1868
.pdf![](/html/70990/27/html_c7JTnFbTWv.gdmd/htmlconvd-f8MjAt41x1.jpg)
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.12. Вычислить массу тела, ограниченного сферой х2 + у2 +z2 = 1, если в каждой точке тела плотность равна квадрату ее расстояния от начала координат.
Указание. Квадрат расстояния точки от начала координат равен сумме: х2 + у2 +z2, координат этой точки, поэтому
|
|
(х, у, z) = х2 + у2 + z2; |
и масса тела равна: |
||||||
|
|
|
m |
|
( x2 |
y2 |
z 2 )dxdydz, |
||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
так как тело ограничено сферой, то удобно перейти к |
||||||||
сферическим координатам, по формулам (2.4), (2.5). |
|||||||||
Получим, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
m |
3 sin d |
d d , |
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
где 0 |
1, |
0 |
|
|
|
2 |
, |
0 |
2 . |
Ответ: |
m |
4 |
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.13. Вычислить массу пирамиды, ограниченной плоскостями х + у + z = 1, х = 0, у = 0, z = 0, если плотность ее в текущей точке тела М(х, у, z) равна = х у
z.
Ответ: m 7201 .
Задача 2.14. Найти массу однородного тела (плотность в
каждой его точке = const), ограниченного поверхностями а) z = 2 – x – y, а2 + у2 = 1, х = 0, у = 0, z = 0.
б) z x2 y 2 ; х2 + у2 = 2х, z = 0.
41
![](/html/70990/27/html_c7JTnFbTWv.gdmd/htmlconvd-f8MjAt42x1.jpg)
Ответ: а) V |
3 |
4 |
, б) V |
32 |
. |
|
|
|
|||
|
6 |
9 |
|||
|
|
|
|
||
3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
3.1. Криволинейный интеграл первого рода, его вычисление, физический смысл и механические приложения
Пусть на плоскости ХОУ задана кривая АВ, в каждой точке которой определена непрерывная функция f(х, у) двух независимых переменных х и у.
Рассмотрим криволинейный интеграл I рода (по длине дуги) от этой функции по кривой АВ. Он обозначается f ( x, y )dl ,
кривая АВ называется кривой интегрирования, А – начальной, а В – конечной точками интегрирования. Из определения криволинейного интеграла первого рода следует, что он не зависит от направления кривой АВ, т.е.:
f ( x, y )dl |
f ( x, y )dl . |
AB |
AB |
Если АВ – пространственная кривая, то криволинейным интегралом первого рода, распространенным на эту кривую называется интеграл вида:
f ( x, y,z )dl ,
AB
где функция f(х, у, z) – функция трех независимых переменных, которая определена и непрерывна в каждой точке кривой АВ.
Масса m материальной кривой, имеющей плотность (х, у, z) равна криволинейному интегралу первого рода от функции
(х, у, z) по пространственной кривой АВ, т.е.: |
|
|
m |
( x, y,z )dl . |
(3.1) |
AB
В этом состоит физический (механический) смысл криволинейного интеграла первого рода.
42
![](/html/70990/27/html_c7JTnFbTWv.gdmd/htmlconvd-f8MjAt43x1.jpg)
Если масса распределена непрерывно вдоль дуги плоской кривой АВ с плотностью функции = (х, у) в каждой точке кривой, то статические моменты Мх и Му дуги относительно координатных осей ОХ и ОУ соответственно определяются по формулам:
М х |
|
у ( x, y )dl ; |
|
М у |
x |
( x, y )dl . |
(3.2) |
|||||||||
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|||
Моменты инерции этой дуги относительно координатных |
||||||||||||||||
осей ОХ и ОУ соответственно равны: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
J х |
у2 ( x, y )dl ; |
|
J у |
x2 |
( x, y )dl . |
(3.3). |
||||||||||
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
||
Координаты центра тяжести дуги АВ вычисляются по |
||||||||||||||||
формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M у |
|
|
|
х ( х, у )dl |
|
|
||||||
|
|
xc |
|
|
АВ |
|
|
; |
|
(3.4) |
||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( х, у )dl |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M x |
|
|
у ( х, у )dl |
|
|
||||||
|
|
уc |
|
|
|
|
АВ |
|
|
|
|
. |
(3.5) |
|||
|
|
|
|
m |
|
|
|
( х, у )dl |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
Если кривая однородна, |
то плотность функции |
(х, у) = |
||||||||||||||
const, поэтому формулы (3.4) и (3.5) примут вид: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
хdl |
|
|
|
|
уdl |
|
|
|||||
|
хc |
|
АВ |
|
|
|
|
уc |
АВ |
, |
(3.6) |
|||||
|
|
|
|
dl |
|
|
|
dl |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
АВ |
|
|
|
|
АВ |
|
|
||||||
где dl - длина дуги АВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если плоская гладкая кривая |
АВ задана параметрически- |
|||||||||||||||
ми уравнениями вида х = х(t); |
у = у(t), причем, существуют не- |
|||||||||||||||
прерывные производные хt |
и уt , |
где параметр t применяется |
||||||||||||||
на дуги АВ в пределах |
t |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
![](/html/70990/27/html_c7JTnFbTWv.gdmd/htmlconvd-f8MjAt44x1.jpg)
Тогда dl |
( хt |
)2 |
( уt )2 dt |
и криволинейный интеграл |
|||||||
выражается через определенный по формуле: |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( х, у )dl |
f |
х( t ), у( t ) |
|
|
( х |
t |
)2 |
( у )2 dt . |
(3.7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если кривая АВ задана уравнением у = у(х); где а |
х в, |
||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
f |
x, y dl |
x, y x |
1 |
|
yx |
dx . |
(3.8); |
||||
AB |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь случай пространственной гладкой кривой АВ. Пусть ее параметрические уравнения имеют вид:
х = х(t); у = у(t); z = z(t); причем существуют непрерывные про-
изводные хt , уt |
и zt . Предположим, что параметр t изменяет- |
|||||||
ся в пределах |
t |
. |
|
|
|
|
|
|
Тогда справедлива формула: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( х, у, z )dl |
f х( t ), у( t ), z( t ) ( х )2 |
( у )2 |
( z |
t |
)2 dt |
|||
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(3.9) |
Криволинейный интеграл от функции f(х, у) по дуге, заданной уравнением в полярных координатах r = r( ), где , вычисляется с помощью формулы:
|
|
|
|
f x, y dl |
f r cos , r sin |
r 2 r 2 d . (3.10) |
AB
Задача 3.1. Вычислить x2 ydl , где АВ часть окружности
AB
х2 + у2 = R2, лежащая в I четверти.
44
![](/html/70990/27/html_c7JTnFbTWv.gdmd/htmlconvd-f8MjAt45x1.jpg)
Решение. Выразим из уравнения окружности явно орди-
нату |
|
у |
через абсциссу |
х, получим |
y |
|
|
R2 |
x2 |
|
|
|
(в первой |
|||||||||||||||||||||||
четверти у |
|
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Найдем |
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
и подставим в выражения |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
1 |
y |
2 |
dx ; |
|
1 y |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
x2 |
R2 |
|
x2 |
|
|
|
|
||||||
|
По формуле (3.8) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
R |
R |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x2 ydl |
x2 |
|
|
R2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
R |
x2dx |
R |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
3 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
2 |
|
x |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3.2.
Найти центр тяжести полуокружности х2 + у2 = R2, лежащей в верхней полуплоскости, а также ее момент инерции относительно оси ОХ (плотность считать равной единице).
Решение. Центр тяжести дуги кривой определяется по формуле (3.6). Из соображений симметрии следует, что он на-
|
ydl |
|
|
|
ходится на оси ОУ. Поэтому хс = 0. yc |
AB |
, где |
dl R , |
|
dl |
||||
|
|
AB |
||
|
|
|
||
|
AB |
|
|
так как это длина полуокружности.
Для вычисления числителя дроби воспользуемся параметрическими уравнениями окружности:
x = R cos t; y = R sin t.
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда dl |
x |
2 |
y |
2 dt R sin2 t cos2 t dt Rdt . |
|||
|
|
t |
|
t |
45
![](/html/70990/27/html_c7JTnFbTWv.gdmd/htmlconvd-f8MjAt46x1.jpg)
|
ydl |
|
R sint R dt |
|
|
R2 |
|
sint dt |
R2 |
cost |
|
0 |
|
2R2 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
yc |
|
|
2R |
2 |
|
2R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Ответ: хс = 0, yc |
|
|
2R |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Задача 3.3. Найти координаты центра тяжести одной арки |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
циклоиды: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x = a(t – sin t), |
|
y = a(1 – cos t), 0 |
t |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
(Считать плотность равной единице). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Указание. Воспользоваться формулами (3.6). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Учитывая симметрию, заключаем, что абсцисса центра |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
тяжести хс = |
|
а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a sin |
t |
dt ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dl |
|
|
x |
|
2 |
y |
|
2 dt |
|
dl |
8a. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2 2 |
|
|
2 |
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
ydl |
|
|
a 1 |
cos t 2a sin |
|
dt |
2a |
2 sin |
|
|
sin |
|
dt |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
AB |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4a |
2 2 |
sin |
3 t |
dt |
32 |
a |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ответ: хс = |
а; |
|
|
|
yc |
|
4 |
|
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Задача 3.4. Найти массу участка кривой |
у = ln x |
от точки |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
с абсциссой |
|
x1 |
3 |
|
|
|
до точки с абсциссой |
|
x2 |
2 |
|
2 , если |
|
||||||||||||||||||||||
плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/70990/27/html_c7JTnFbTWv.gdmd/htmlconvd-f8MjAt47x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dl |
|
|
|
dx ; |
|
x2 dx . |
|
||||||||||||
Указание. |
|
|
|
|
m |
|
|
|
x |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: m |
|
19 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 3.5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a cos3t, |
|
|||
Определить центр тяжести дуги астроиды |
y |
|||||||||||||||||||
= a sin3t, лежащий в первой четверти |
0 |
t |
|
|
. Плотность |
|||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
считать равной единице. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: x |
|
y |
|
|
|
2 |
a . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
c |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. Криволинейный интеграл второго рода и его вычисление
Пусть во всех точках дуги АВ плоской кривой определены и непрерывны функции двух независимых переменных Р(х, у) и Q(x, y), тогда можно рассмотреть криволинейные интегралы по координатам:
P( x, y )dx и |
Q( x, y )dy . |
AB |
AB |
Сумму этих двух интегралов обозначают символами
P( x, y )dx Q( x, y )dy
AB
и называют общим криволинейным интегралом второго рода (по координатам х и у).
Если АВ непрерывная гладкая кривая в пространстве, а функция Р(х, у, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывные функции трех независимых переменных, заданные по этой кривой, тогда
сумма трех интегралов |
P( x, y, z ) dx , |
Q( x, y,z )dy и |
|
AB |
AB |
|
47 |
|
![](/html/70990/27/html_c7JTnFbTWv.gdmd/htmlconvd-f8MjAt48x1.jpg)
R( x, y,z )dz называется общим криволинейным интегралом
AB
второго рода (по координатам) и обозначается |
|
P( x, y,z )dx Q( x, y,z )dy R( x, y,z )dz . |
(3.11) |
AB |
|
Если Р(х, у, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – проекции силы F
на координатные оси, то общий криволинейный интеграл второго рода (3.11) выражает работу этой силы при перемещении материальной точки М по кривой АВ из положения А в положение В.
Вэтом состоит физический смысл криволинейного интеграла второго рода.
Вотличие от криволинейного интеграла первого рода криволинейный интеграл второго рода меняет свой знак на противоположный при изменении направления обхода кривой АВ, то есть
P( x, y,z )dx |
P( x, y,z )dx . |
AB |
BA |
Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определенного интеграла.
Если гладкая пространственная кривая АВ задание параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t) причем изменению t от до соответствует движение точки по кривой от А к В (не обязательно, чтобы было меньше ).
Тогда
P( x, y,z )dx |
Q( x, y,z )dy R( x, y,z )dz |
|
AB |
|
|
P( x( t ), y( t ), z( t )) |
x ( t ) Q( x( t ), y( t ),z( t )) |
y ( t ) |
R( x( t ), y( t ), z( t )) z ( t ) dt. |
(3.12) |
Если кривая АВ – расположена, например, в плоскости ХОУ, то формуле (3.12) примет вид:
48
![](/html/70990/27/html_c7JTnFbTWv.gdmd/htmlconvd-f8MjAt49x1.jpg)
P( x, y )dx |
Q( x, y )dy P |
x( t ), y( t ) |
x ( t ) |
|
AB |
|
|
|
|
|
|
Q x( t ), y( t ) |
y ( t ) dt . |
(3.13) |
Если же плоская гладкая кривая задана уравнением у |
||||
= у(х), где а |
х |
b, у(х) – непрерывно дифференцируемая |
функция, то криволинейный интеграл второго рода вычисляется по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
P( x, y )dx |
Q( x, y )dy |
|
|
P x, y( x ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q x, y( x ) |
y ( x ) dx |
|
|
(3.14) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 3.6. Вычислить |
|
|
|
xy dy , |
где АВ – первая |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
четверть окружности |
х2 + у2 = R2, пробегаемая против часовой |
||||||||||||||||||||||||||||||||
стрелки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Из уравнения окружности выразим у через х. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Получим y |
|
|
|
R2 |
|
|
|
x2 , так как в первой четверти у 0, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
то y |
R2 |
|
x2 ; |
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, что интегрирование ведется против часовой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
стрелки х изменяется от R до 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
По формуле (3.14) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x2dx |
|
x ydy |
|
x2dx |
|
|
|
x |
|
R2 |
x2 |
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
x2 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
2x |
5 |
|
|
|
0 |
|
|
R3 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 |
x 2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
R 2 |
|
|
R2 6 R 5R |
|||||||
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
5 |
15 |
|
|||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/70990/27/html_c7JTnFbTWv.gdmd/htmlconvd-f8MjAt50x1.jpg)
|
|
|
1 |
R2 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
|
|
|
R |
5R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача |
3.7. |
|
Вычислить |
|
криволинейный |
интеграл, |
|
|||||||||||||||
2хуdx у2dу |
|
z2dz; |
|
где АВ один виток линии х = cos t, |
|
|||||||||||||||||
АВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = sin t, z = 2t от точки А(1, 0, 0) до В(1, 0, 4 ). |
|
|
||||||||||||||||||||
Решение. Очевидно, что вдоль дуги |
|
АВ параметр t из- |
|
|||||||||||||||||||
меняется от 0 |
до 2 |
. По формуле (3.12), получим |
|
|
||||||||||||||||||
2хуdx у2dу |
z 2dz |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 t cost |
4t 2 dt |
|
|||||
|
|
2cost |
sint |
sint |
|
|
||||||||||||||||
АВ |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 ( sin2 t cos t |
|
8t 2 )dt |
|
sin3 t |
|
|
8t 3 |
2 |
|
64 |
3 . |
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
Ответ: |
64 |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
||||||||||||||||||||
Задача 3.8. а) Вычислить |
|
|
|
x2 |
y2 dx , где АВ – дуга па- |
|
||||||||||||||||
раболы у = х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
||||
от точки х = 0 до точки х = 2; |
|
|
||||||||||||||||||||
б) Вычислить |
x2 |
y2 dy , где АВ та же дуга. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: а) |
|
56 |
; |
|
б) |
40 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
15 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 3.9. Вычислить |
x |
|
y dx |
x |
y dy , где АВ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) отрезок прямой, соединяющий точки А(2, 3) и В(3, 5); |
|
|||||||||||||||||||||
2) дуга параболы у = х2 (0 |
х |
2); |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|