4.5. Эффект мертвой зоны

В § 4.4 предполагалось, что ошибки, вносимые каж­дым округлением, являются взаимно некоррелирован­ными случайными величинами. Нам известен по край­ней мере один противоречащий пример, а именно когда входным сигналом фильтра является константа. Иссле­дуем подробно этот случай.

Рассмотрим простой фильтр (4.1) с К=0,96, на вход которого поступает константа, равная 10. Предположим, что округление проводится до ближайшего целого числа (E₀=1) и что у(—Т) = 265. Предположим также, что при точном выполнении арифметических операций у(пТ) достигнет установившегося значения 250. Однако при округлении наблюдается следующее:

До округления	После округления
у(0) 264,40 у(Т) 263,44 у(2Т) 262,48 у(3Т) 261,52 . . . . . . у(пТ) 261,52	264 263 262 262 . . . . . . 262

и фильтр достигнет установившегося значения 262. Предположим, что начальное условие у(—Т) =245, Тог­да итерации выполняются следующим образом:

До округления	После округления
у(0) 245,20 . . . . . . у(пТ) 245,20	245 . . . 245

и фактически любое начальное состояние в диапазоне будет в то же время установившим­ся состоянием. Этот диапазон называется «мертвой» зоной (deadband).

Если рассмотреть общий случай прямой реализации цифрового фильтра, описываемый (2.38), и предполо­жить, что все произведения суммируются прежде, чем будет произведено округление, то можно получить об­щее соотношение для эффекта мертвой зоны. Пусть постоянный входной сигнал равен X, а выходной сигнал достигает установившегося значения Y, не обязательно равного предсказанной величине Y_c, которую можно получить, если выполнять арифметические операции с бесконечной точностью. Тогда из (2.38)

(4.12)

где . Это позволяет записать неравенство для Y:

(4.13)

Заметим, что «точное» значение Y будет равно

(4.14)

так что отклонение реальной величины от «точной» удовлетворяет неравенству

(4.15)

Выражение (4.24) говорит о том, что необходимым усло­вием для постоянной ошибки в установившемся режиме, когда на входе - постоянный сигнал, является требо­вание, чтобы ошибка удовлетворяла этому неравенству. Общее число ступеней квантования в мертвой зоне примерно равно усилению по постоянному току фильтра, имеющего только полюсы. Необходимое условие будет и достаточным, если последние т отсчетов выходного сигнала для фильтра т-то порядка равны и лежат в пределах мертвой зоны. Если вместо округления вы­полнялось усечение, ширина мертвой зоны будет такой же, но она не будет симметричной относительно Y_с.

Отсюда можно сделать вывод, что для фильтра пер­вого порядка с нулевым входным сигналом выходной сигнал не упадет до нуля, а «повиснет», как только бу­дет достигнута граница мертвой зоны. Y фильтров более высокого порядка возможны более сложные эффекты; у них выходной сигнал может пройти через мертвую зону и достигнуть другого ее края, или могут возник­нуть стационарные колебания. Имеется также явление, подобное мертвой зоне, связанное с частотой дискрети­зации. Рассмотрим фильтр, определяемый уравнением

(4.16)

при начальных условиях у(-T)=2, у(-2T )= -2. Если проводить квантование до ближайшего целого числа, то при х(пТ) =0 сигнал ведет себя следующим образом:

До округления	После округления	Предыдущий выходной сигнал
у(0) -1,6 у(T) +1,6 у(2T) -1,6 ... …	-2 +2 -2 …	-2 +2 -2 …

Как видим, происходит колебание на частоте , Смысл его заключается в том, что каждый раз при вы­полнении итерации появляется шумовой отсчет и фильтр усиливает частотную составляющую на частоте до тех пор, пока он не зафиксирует уровень квантования. Иногда можно избежать эффекта мертвой зоны пу­тем добавления небольшого шума на входе фильтра. Этот метод (dithering) в некоторых случаях бывает очень эффективным.