- •III. Производная и исследование функций
- •§ 6. Основы дифференцирования функций
- •Производные от основных элементарных функций
- •Обобщённая таблица основных производных
- •Дополнительные примеры поиска производных
- •Примеры поиска производных для функций тройной вложенности
- •§ 7. Логарифмическое дифференцирование
- •§ 8. Правило Лопиталя – Бернулли
- •§ 9. Исследование функций и построение графиков
- •Общая схема исследования функции
- •1) Элементарное исследование:
- •2) Монотонность и экстремум:
- •3) Выпуклость и перегиб:
- •Замечание о поиске 2-х производных
Дополнительные примеры поиска производных
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) .
Замечание 4. Не забывайте, что тригонометрические функции нелинейны. Например, , , , и т.д. Записи и равноправны. Если имеется в виду функция , пишут .
Примеры поиска производных для функций тройной вложенности
1) ;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
(сократили );
6)
.
ОД11. Слева даны функции , справа – их производные , причём в решении каждого примера есть ошибка, как правило, небольшая. Закрыв правый столбец, найдите (или хотя бы предложите) собственное решение. Сравните его с табличным, а затем – с правильным на с. 95 – 96.
Для примеров, где и ваш вариант оказался ошибочен (а лучше – ещё раз для всех примеров), через некоторое время повторите решение и сравните с правильным – пока не избавитесь от ошибок.
№ |
|
с ошибкой |
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
10 |
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
24 |
|
|
25 |
|
|
26 |
|
|
27 |
|
|
28 |
|
|
29 |
|
|
30 |
|
|
31 |
|
|
32 |
|
|
33 |
|
|
34 |
|
|
35 |
|
|
36 |
|
|
37 |
|
|
38 |
|
|
39 |
|
|
40 |
|
|
41 |
|
|
42 |
|
|
43 |
|
|
44 |
|
|
45 |
|
|
46 |
|
|
47 |
|
|
48 |
|
|
49 |
|
|
50 |
|
|
ОД12. Найдите производные функций
1) а) ; б) ; в) ; г) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) ;
3) а) ; б) ;
в) ; г) ;
4) а) ; б) ;
в) ; г) ;
5) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
6) а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
ОД13. Найдите производные функций :
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) ; |
7) ; |
8) ; |
9) ; |
10) ; |
11) ; |
12) ; |
13) ; |
14) ; |
15) ; |
16) ; |
17) ; |
18) ; |
19) ; |
20) ; |
21) ; |
22) ; |
23) ; |
24) ; |
25) ; |
26) ; |
27) ; |
28) ; |
29) ; |
30) . |