- •Часть 2
- •Предисловие
- •I. Основы интегрирования
- •§ 1. Табличное интегрирование
- •Простейшая таблица неопределённых интегралов
- •Основное правило табличного интегрирования:
- •§ 2. Подведение под знак дифференциала
- •Примеры подведения под знак дифференциала
- •§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение
- •§ 4. Замена переменной в неопределённом интеграле
- •§ 5. Интегрирование по частям
- •§ 6. Замечание о двух способах интегрирования
- •§ 7. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Замечание об универсальном методе неопределённых коэффициентов
- •§ 8. Определённый интеграл
- •Вычисление площади плоской фигуры
- •§ 9. Понятие несобственного интеграла
§ 9. Понятие несобственного интеграла
При моделировании некоторой ситуации на неопределённо долгий срок (например, при определении оптимального долгосрочного накопления) появляются интегралы с бесконечно большим верхним пределом. В этом случае применение формулы Ньютона-Лейбница становится не совсем корректным:
, где
Решение проблемы – в переходе к пределу:
.
Если предел существует и конечен, интеграл сходится и равен некоторому числу; если предел не существует или бесконечен, интеграл расходится.
Интегралы по неограниченной области называют несобственными интегралами 1-го рода.
Пример 1. Найдём . Перейдём к пределу:
.
Интеграл сходится и равен 1 (сходится к числу 1).
Пример 2. Чтобы найти , переходим к пределу:
.
Величина не играет роли: интеграл расходится и бесконечен.
Пример 3. Решение:
.
Поскольку величина не определена (грамотнее вообще не записывать её в решении), интеграл расходится: он принимает значения от –1 до +1, возвращаясь к каждому из них через очередные ед. по оси OX.
Фактически, во всех трёх примерах применялась формула Ньютона-Лейбница и в первообразную подставляли бесконечность, однако запись вида
считается не совсем грамотной. Тем не менее ей можно пользоваться для чернового решения вопроса.
Пример 4. Решение, справедливо не гарантирующее хорошей оценки:
,
но дающее верный ответ: интеграл сходится к значению .
НС1. Найдите значение или установите расходимость интегралов:
1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
3) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
4) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
5) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
При исследовании несобственных интегралов можно выполнять те же действия, что при вычислении обычных.
НС2. При помощи замены переменной или интегрирования по частям проверьте сходимость интегралов:
1) а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
2) а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Можно увидеть, что необходимое условие сходимости интеграла – это условие . Поэтому, если при бесконечно большом аргументе функция не стремится к 0, интеграл заведомо расходится. Если же функция стремится к 0, весь вопрос в том, насколько быстро это происходит.
Задача. Выясним, при каких p сходится интеграл .
Если , то – интеграл расходится. Если же , то
.
Предел существует и конечен, если – в этом случае бесконечность остаётся в знаменателе и предел равен 0.
Ответ: интеграл равен при и расходится при .
Иногда бесконечен не верхний, а нижний предел интегрирования (например, при изучении инвестиций, сделанных в прошлые годы):
.
Реже встречаются интегралы по всей числовой оси .
Несобственными интегралами 2-го рода называют интегралы от функций, неограниченных в одном из концов отрезка интегрирования. Для их вычисления также переходят к пределу:
Пример 5. Поскольку функции не существуют в одном из концов отрезка,
а) ;
б) .
Такие интегралы в экономике возникают редко и более характерны для исследований в области астрофизики и геологии.