- •II. Дифференциальные уравнения и системы
- •§ 10. Частное решение дифференциального уравнения
- •§ 11. Уравнения с разделяющимися переменными
- •§ 12. Линейные и однородные дифференциальные уравнения
- •§ 13. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- •§ 14. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Однородные уравнения с постоянными коэффициентами
- •§ 15. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Другие способы решения систем лдупк
§ 12. Линейные и однородные дифференциальные уравнения
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка – это уравнение вида , где функции известны. Предполагается, что решение определено во всех точках, в которых определены функции и . Есть 2 основных способа решения таких уравнений.
1-й способ. Ищем решение в виде или кратко, . Функцию находим по собственному усмотрению, а функцию так, чтобы с учётом найденного уравнение обратилось в тождество.
Для краткости обозначим и .
Заметим, что , или . Тогда уравнение превращается в .
Подберём так, чтобы выполнялось равенство . Разделив на v, получаем уравнение с разделяющимися переменными . Находим его решение – функцию u, и подставляем в то, что осталось, а именно, в уравнение . Находим v и тем самым – общее решение .
Функции и равноправны, поэтому можно вначале решать уравнение , т.е. , а затем при полученном – оставшееся уравнение . Результат получится тот же.
2-й способ. Решаем соответствующее уравнение . Получаем некоторое . Но С считаем не константой, а функцией .
Производную от подставляем в исходное уравнение и получаем дифференциальное уравнение относительно . Решив его, записываем окончательный ответ.
Трудоёмкость способов примерно одинакова.
ЛО1. Найдите общее и частное решение линейного дифференциального уравнения. Сделайте проверку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Пример 1. Решим уравнение в общем виде 1-м способом, затем найдём частное решение для условия .
Пусть , соответственно . Тогда . Подберём функцию u, чтобы выполнялось , или .
Поскольку , то , откуда . Из интеграла находим, что . По свойствам логарифма .
Подставив в оставшуюся часть (в ), получим, что , или , поэтому . Остаётся перемножить полученные u и v.
Общее решение уравнения – функция , или .
Из условия найдём C. Подставим и в общее решение: , откуда . Функция – частное решение.
Подставив и в исходное уравнение, проверим, выполнено ли оно для всех x:
.
Получили тождество . Уравнение решено верно.
Ответ: общее решение , частное решение .
Пример 2. Найдём 2-м способом общее решение уравнения , а затем – частное решение для условия .
Решаем уравнение . Оно равносильно уравнению , в котором можно разделить переменные: , затем .
Интегрируем: , получаем .
Удобно считать, что , тогда по свойствам логарифма будет , откуда (знак C определится начальным условием).
Теперь считаем, что . Найдём и подставим вместе с решением y в исходное уравнение:
.
Но , и остаётся , что равносильно , или .
Поэтому , где уже – обычная постоянная.
Таким образом, , т.е. – общее решение уравнения.
Подставив в него и из начального условия , получаем, что , т.е. и тем самым . Частное решение: .
Подставим и его производную в левую часть исходного уравнения: .
Упростив, получаем , что совпадает с правой частью. Решение верно.
Ответ: общее решение , частное решение .
ЛО2. Найдите общее и частное решение линейного дифференциального уравнения. Сделайте проверку:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Пример 3. Решим 1-м способом уравнение .
Снова считаем, что и соответственно , тогда уравнение запишется как , или .
Составляем систему и решаем 1-е уравнение, сократив на v:
.
Подставим во 2-е уравнение:
.
Тогда . Упростим: . Это – общее решение.
Чтобы найти частное, подставляем в общее и , согласно начальному условию. Получаем, что , или . Тогда . Записываем частное решение .
Проверим, что эта функция – решение задачи. Найдём производную
и подставим в левую часть уравнения :
.
Результат совпадает с правой частью: при любом x.
Также , что и должно быть по условию.
Ответ: общее решение , частное решение .
Уравнение Бернулли имеет вид или приводится к такому. Здесь n – любое конкретное число. Решается уравнение теми же способами, что и линейное, а заменой и вовсе сводится к нему.
ЛО3. Найдите общее и частное решение уравнения Бернулли:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Пример 4. Решим уравнение с условием .
Пусть и , тогда и .
Составляем систему и решаем 1-е уравнение, сократив на v:
.
Подставим во 2-е уравнение:
,
откуда .
Выразим функцию : и . Удобно обозначить , тогда .
Общее решение , или . Подставив и , найдём частное решение:
.
Ответ: общее решение , частное – .
Однородные дифференциальные уравнения. Уравнение называют однородным, если для любого множителя t (не обязательно числового) выполнено равенство . Это означает, что фактически – функция не от двух аргументов, а от их отношения: .
Однородные уравнения можно сводить к разделяющимся при помощи замены , где – новая функция. При этом по свойствам производной . Но , и тогда , где .
Иногда однородное уравнение можно решить, как линейное, и наоборот – некоторые линейные уравнения решаются заменой .
Более того, несложное уравнение может оказаться и линейным, и однородным одновременно. Соответственно решить его можно любым способом.
Пример 5.
Заменим и , тогда , или .
Отсюда
.
В результате
,
где . Удобно заменить , тогда .
Но , и получаем функцию . Тем самым – общее решение уравнения.
При подстановке в уравнение слева будет , а справа
.
При уравнение выполнено как тождество. Решение верно.
Ответ: .
ЛО4. Решите уравнение вначале как линейное (любым способом), затем как однородное. Найдите частное решение в каждом случае. Сравните результаты:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
Пример 6. Пусть дано уравнение с условием . Решим его, считая линейным (2-м способом):
.
Считая, что , находим и подставляем в уравнение:
.
Записав как , получаем, что , или .
Из условия подставляем , откуда и .
Теперь решим уравнение как однородное. Делаем в исходном уравнении замену и :
,
откуда и тем самым , где знак C определяется начальным условием. Но , поэтому , что равносильно .
Видно, что общие решения одинаковы, независимо от способа. Частные решения также совпадут.
Замечание. Если ответы выглядят по-разному, можно посмотреть, нельзя ли добиться совпадения при помощи каких-то свойств элементарной математики.
Например, решения и равносильны, поскольку , и слагаемые поглощаются постоянной C.
При этом и – одно и то же обозначение произвольной постоянной.
ЛО5. Решите уравнение 2 способами – как уравнение Бернулли и как однородное. Найдите частное решение в каждом случае:
а) ; б) ; в) .
Пример 7. Решим двумя способами уравнение .
1) Решение однородного уравнения. Заменяем и :
.
Разделяем переменные:
.
Таким образом, . Учтём, что :
(в силу произвольного знака C считаем, что ).
Условие означает, что , откуда , и тогда . Частное решение: , или . Знак «–» невозможен по начальному условию .
Можно было выразить , где переобозначено как C, и подставить так: , и тоже исключить знак «–», при котором нельзя получить . В любом случае .
2) Решение уравнения Бернулли. Заменим и , подставим:
.
Решим уравнение , или :
.
Подставим в оставшееся уравнение :
,
и проинтегрируем:
.
Здесь величина заменена постоянной C в силу своей произвольности.
Таким образом, – общее решение. Его можно записать в виде .
Поскольку при должно быть , подставим:
.
Частное решение совпадает с тем, что получено 1-м способом. Совпадают и общие решения.
Ответ: – общее решение, – частное решение.
ЛО6. Решите однородное уравнение
а) ; б) ; в) ; г) .
Пример 8. Пусть . Заменим и :
,
затем
.
Как обычно, , другой интеграл разобьем на 2:
.
Находим
а) ;
б) ,
тогда
.
Приравнивая результат к и умножая на –1, решение можно записать так: , где ,
однако выразить или в явном виде невозможно.
ЛО7. Найдите общий интеграл однородного уравнения:
1) а) ; б) ; в) ;
2) а) ; б) ; в) ;
3) а) ; б) ; в) .
Пример 9. Пусть . По-прежнему и , и
,
разделяем переменные:
,
по таблице находим
.
Это и есть общий интеграл уравнения.
Можно выразить :
.
Это уже – общее решение.
Задания 2) решаются так же, но применяется табличный интеграл
, где и .
Например, уравнение приводит к общему интегралу
, откуда .
Общее решение в явном виде существует, но выглядит громоздко.
При решении заданий 3) появится интеграл от квадратичного выражения, его можно найти заменой, как указано в § 3.