5220
.pdf21
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dx |
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1 |
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2dx |
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в) |
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ln |
3 2x |
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C ; |
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3 |
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2x |
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2 |
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3 |
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2x |
2 |
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x dx |
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1 10x dx 1 |
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г) |
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ln |
5x 2 |
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3 |
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C . |
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5x 2 |
3 |
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10 |
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5x 2 |
3 |
10 |
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Замена переменной в неопределённом интеграле |
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(метод подстановки) |
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Одним из основных методов интегрирования является метод замены |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменной, описываемый следующей формулой: |
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f |
x dx |
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f |
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t |
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t dt , |
где |
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x |
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t |
– функция, дифференцируемая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на рассматриваемом промежутке. |
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Пример 3. Найти интегралы: |
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а) |
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x 2 3 |
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2x3 4 dx ; б) |
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x 2 dx |
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; |
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в) |
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arctg3 x |
dx ; |
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г) |
2 sin x dx |
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x 2 |
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1 |
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x6 |
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1 |
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3 |
cos2 x |
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Решение: |
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2x3 |
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t |
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1 t 5 |
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3 |
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а) |
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2 |
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3 4 |
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2 |
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1 |
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4 |
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1 |
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3 5 |
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x 3 2x |
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dx |
6x dx dt |
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6 t dt |
6 5 |
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C |
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30 3 2x |
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C |
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x 2 dx |
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1 |
dt |
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6 |
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x 2 dx |
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x3 |
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t |
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б) |
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3x 2 dx |
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dt |
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1 |
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dt |
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1 |
arcsint |
C |
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1 |
arcsin x3 |
C ; |
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x 6 |
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x 2 dx |
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1 |
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3 |
1 |
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t 2 |
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3 |
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3 |
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dt |
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3 |
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arctg3 x |
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arctgx |
t |
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t 4 |
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arctg 4 x |
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в) |
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dx |
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1 |
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dx |
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dt |
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t |
3 |
dt |
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C |
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C |
; |
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2 |
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4 |
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4 |
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1 |
x |
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1 |
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x 2 |
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22
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cos x |
t |
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2 sin xdx |
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dt |
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sinx |
dx |
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dt |
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2 |
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2 ln |
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t |
3 t 2 |
C |
||||
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|||||||||
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г) |
3 cos2 x |
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sin x dx |
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dt |
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3 |
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t 2 |
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|||||||
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||||||||||||||
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||
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2 ln |
cos x |
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3 cos2 x |
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C. |
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Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
|
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U dV U V V dU , |
где U |
x , V |
x – непрерывно дифференцируемые функции. |
При использовании этой формулы за U берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV – та часть подынтегрального
выражения, |
интеграл |
от |
|
которой |
известен |
|
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|
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или может |
быть найден. |
||||||||||||||||||||||||||||
Пример 4. Найти интегралы: |
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a) x |
e7 x dx ; |
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б) |
x3 ln x |
dx ; |
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в) |
arctgx dx . |
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Решение: |
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x e7 x dx |
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U |
x |
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dU |
dx |
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1 |
x e7 x |
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1 |
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e7 x dx |
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dV |
e |
7 x |
dx |
V |
e |
7 x |
dx |
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1 |
|
e |
7 x |
7 |
7 |
||||||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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7 |
|
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|
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|
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|
|
|
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|||||||||||||||||
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|||
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1 |
x e7 x |
|
1 |
|
e7 x |
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C. |
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7 |
49 |
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|||||||
|
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U |
ln x |
|
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dU |
1 |
dx |
|
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|
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||||||||||||
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|
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|
1 |
|
|
x 4 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||
x3 ln xdx |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 ln x |
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
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||||||||||
б) |
|
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|
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|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x |
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
dV |
x |
dx |
V |
x |
dx |
|
|
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|
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||||||||||||||
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||||||||||||||||||
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4 |
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|||||||||||||||
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x 4 |
ln x |
x 4 |
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C. |
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4 |
16 |
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23
|
U |
arctgx |
dU |
|
dx |
|
|
|
|||
|
|
|
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|
|
|
|||||
|
|
x 2 |
|
x |
|
||||||
arctgxdx |
|
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|
1 |
x arctgx |
dx |
||||
|
|
|
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|
1 x 2 |
|||
в) |
dV |
dx |
V dx |
x |
|
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||||
|
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|
||||||||
x arctgx |
|
1 |
ln x 2 1 |
C. |
|
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||
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||||||
2 |
|
|
|
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||||||
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|
Формула Ньютона – Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и F(x) – первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона–Лейбница
b
f (x)dx F (x)
a
a |
F (b) F (a) . |
|
b |
||
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e 3 |
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Пример 5. Вычислить: |
1 |
ln x |
|
dx . Решение: |
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||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2 |
3 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
при |
x |
1 t |
1 |
|
ln1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
4 \ 3 |
1 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
x |
e t |
1 |
|
ln e |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
16 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Формула интегрирования по частям |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ba |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U dV |
U V |
|
|
V dU |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Пример 6. |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dU |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
/ 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x cos xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin x |
|
|
sin xdx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
dV |
cos xdx |
|
V |
|
|
cos xdx sin x |
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin |
|
|
|
|
0sin 0 cos x |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
cos0 |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
Площадь плоской фигуры
|
b |
|
b |
|
|
S |
f x dx |
S |
f x |
x |
dx |
|
a |
|
a |
|
|
|
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: |
||||
а) y x 2 x , y x 3 ; |
б) y ln x , |
x e , y 0 . |
|
||
Решение. Следует сделать чертёж. |
|
|
|
||
а) фигура ограничена параболой y |
x 2 x и прямой y |
x |
3 . |
Находим точки пересечения
линий:
y |
x 2 |
x |
|
|
|
; |
|
y |
x |
3 |
|
x 2 |
x |
x |
3; |
x 2 |
2x |
3 |
0; |
x1 |
1 |
x2 |
3. |
25
S |
3 |
x 3 x2 |
|
x dx |
3 |
2x 3 x2 dx x 2 |
|
3 |
3x |
|
3 |
x3 |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9 |
1 |
9 |
3 |
9 |
1 |
|
10 |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) фигура ограничена графиком функции y ln x , |
прямой |
x e и y 0 – |
|||||||||||||||||
осью абсцисс. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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e ln xdx |
U |
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ln x |
dU |
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dx |
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S |
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x |
|||||||||
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||||||
|
1 |
|
|
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dV |
|
dx |
V |
x |
|||||
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x ln x |
|
e |
e |
x |
1 |
dx |
e |
x |
|
e |
||
|
|
|
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|||||||||||
|
|
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|||||||||||
|
|
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|
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||||||||||
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|
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|||||||||||
|
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1 |
1 |
|
x |
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||
e |
e |
1 1 |
|
|
|
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|
Задачи для выполнения контрольной работы № 2
1-20. Найти пределы:
1. |
а) lim |
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x2 |
5x |
6 |
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
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2 |
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|||||||||
|
x |
2 x |
12x |
20 |
|
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||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||
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||||
2. a) lim |
|
1 |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
1 |
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
3x |
|
|
|
|
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||||||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
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3. |
a) lim |
|
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|
x2 |
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
x |
1 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||
4. |
a) lim |
|
|
|
|
x |
2( |
|
|
x |
|
|
2) |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
a) lim |
(2 |
|
x) |
2x 2 |
|
; |
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||
6. |
a) lim |
|
|
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2x |
1 |
|
3 |
|
; |
|
|
|
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||||||||||
|
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|
|
|
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|
|
|||||||
|
|
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|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
3x3 |
x2 |
|
|
2x |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x3 |
x4 |
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) lim |
|
2x2 |
3x |
4 |
|
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x4 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) lim |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
x 3 |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 64x3 |
1 2 |
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
9x3 |
7x |
1 |
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
3x2 |
10x |
7 |
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) lim |
|
7x4 |
2x3 |
1 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
3x2 |
2x4 |
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) lim |
|
|
|
3x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
x 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. a) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
2 x |
|
|
5x |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
8. a) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
9. a) lim |
|
|
|
|
x3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
3 x2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10. a) lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. a) lim |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2x2 |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
12. a) lim |
|
|
|
|
1 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
13. a) lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
9 |
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
14. a) lim |
|
|
|
3x3 |
24 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
2 x |
|
5x |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
15. a) lim |
|
|
|
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
16. a) lim |
2x2 |
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
17. a) lim |
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
18. a) lim |
|
2x2 |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
7 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
19. a) lim |
|
x2 |
|
|
2x |
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
20. a) lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
10x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
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26
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|
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|||
б) lim |
|
3 x3 |
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
2x |
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
2x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
3x3 |
|
|
2x |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
4x2 |
|
|
|
|
6x3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
б) lim |
|
1 |
|
|
10 |
x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
2x |
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
9x2 |
9 |
|
|
|
|
|
2x |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
б) lim |
3x3 |
x2 |
|
|
|
|
2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) lim |
|
|
|
|
|
2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
1 . |
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
8x3 |
|
4x2 |
|
|
|
|
|
11 |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
2x |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
3x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
5 . |
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
x |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x |
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
4x |
|
|
|
|
|
x . |
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
7 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4x2 |
|
2x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4 x3 |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) lim |
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 . |
||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
x |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
21-40. Найти производные |
dy |
данных функций в п. (а,б), в п.(в) найти |
|||
dx |
|||||
|
|
|
|
||
полный дифференциал функции Z = f(x,y). |
|||||
|
|
|
|
|
|
21. a) y ctg3 1 x2 ; . |
|
б) y ex (sin3x 3cos3x); |
в)Z 7x2 y |
y2 |
|
|
|
4x 11y. |
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22. a) y |
1 |
sin 4 |
3x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в)Z xy5 3x7 y |
|
4 |
|
|
3y 4 . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
23. a) y |
ln arctg |
1 |
|
|
|
x 2 ; |
|
|
|
||||||||||||
в)Z 4x2 y2 |
|
|
|
|
8y xy3. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
24. a) y |
ln |
x |
|
|
x2 |
|
1 |
|
|
|
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в)Z 8x2 y3 |
|
|
|
|
4x |
|
|
|
2x 3y. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
25. a) y |
ln arctg |
1 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||
в)Z x3 y5 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x3 |
3y 2. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 y 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
26. a) y |
3 |
sin 2x |
|
|
|
|
cos2x; . |
|
|
|
|||||||||||
в)Z x4 |
3x8 y 5xy2 |
2. |
|
|
x |
|
|
|
|
б) y x arccos |
|
9 x2 ; |
|||
|
|||||
3 |
|
|
|
б) y 2 cos x ; cos2x
б) y x arcsin(lnx);
|
3 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
б) y x |
ln x |
ctg |
; |
|||||
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
б) y arcsin |
|
|
x |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
27. a) y |
e x arctgex |
|
ln 1 e2x ; |
б) y |
16x |
3 x 2 ; |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
x 4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в)Z 7x3 |
x |
|
4x3 y 5x. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
28. a) y |
x arcsin(lnx); |
|
|
|
б) y |
3arccos2x ; |
|
|
|
||||||
в) Z |
3x2 y |
7x |
4x 7 y. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
a) y |
ln e |
x |
x e x ; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
в) Z 2x7 y 2 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
5x 3y 2 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y5 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
30. |
|
5cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a) y |
|
tg |
|
|
x; |
|
||||||||||||||||||||
|
в) Z |
|
|
|
3x4 |
|
|
|
xy3 |
2 y5 |
3x. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
31. |
a) y |
3tg 2 x |
e2x cos3x; |
|
||||||||||||||||||||||
|
в) Z 5y6 x 3x7 y2 2x. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
32. |
a) y |
ln |
|
e2x |
|
|
|
|
|
e4x |
1 |
|
; |
|
||||||||||||
|
в) Z x3 y |
|
|
|
|
4x |
|
2x 7 y. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
y 4 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
33. |
a) y |
3tgx |
|
|
|
|
x sin3 4x; |
|
|
|||||||||||||||||
|
в) Z 8x5 |
|
|
x3 y 4y3 |
1. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|||||
34. |
a) y |
5x3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
5 x4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
в) Z 5x3 y2 |
|
|
|
x |
|
|
6x 7 y. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
35. |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|||||
a) y |
x |
|
ln |
x |
ctg |
; |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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в) Z 6x 7 y2 |
x3 y4. |
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||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
36. |
a) y |
|
x3 |
1 |
ln x |
cos5 (1 |
2x); |
|||||||||||||||||||
|
в) Z x4 y 8x y3x 2. |
|
||||||||||||||||||||||||
37. |
|
ln2 (1 |
|
|
|
|
e2x ; |
|||||||||||||||||||
a) y |
2x) |
|
x |
28
б) y |
1 |
|
arctg |
|
x |
|
3 |
|
; |
||
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x2 |
||||||
3 |
1 |
||||||||||
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б) y arctg |
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x |
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; |
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||
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||
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||||
7 |
|
x2 |
б) y |
1 |
; |
|
||
arctg e 2x |
б) y |
arcsin4x |
; |
|
1 4x |
|||
|
|
б) y arctg11 xx ;
б) y e x 1 e2x arcsine x ;
1 x
б) y e 1 x ;
б) y tg |
1 |
e x |
; |
||
|
|
|
|||
1 |
e x |
||||
|
|
б) y |
1 |
; |
|
||
arctg e 2x |
29
|
|
|
|
|
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|
x2 |
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|||||||
|
в) Z |
|
|
2x3 y |
|
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4 y5 |
2x. |
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|
2 y |
|
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||||||||
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|
x |
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3x2 |
|
5 |
5 |
|
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38. |
a) y |
e2x |
|
ln tg |
; |
|
|
|
|
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б) |
y |
ln |
|
|
; |
|
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|
||||||||||||||||||||
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|
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5 |
2x |
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2 |
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в) Z 2x3 y y3x 4x 3. |
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|
|
ecos2 x |
|
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|
3x |
|
||||||||||||
39. |
a) |
y |
sin x |
|
|
ecos x ; |
|
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|
|
|
б) y |
|
|
|
x2 1 tg |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2 |
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в) |
Z |
3x2 |
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|
xy |
|
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1 |
|
|
|
1 |
|
. |
|
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|
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x |
y 2 |
|
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|||||||
40. |
|
|
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б) y |
|
e x |
e |
x |
|
; |
|
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|||
a) |
y |
|
|
|
x |
|
arcsin |
|
|
|
x |
|
1 |
x; |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
e x |
e |
x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) Z 5x2 y2 |
|
|
xy3 3y4. |
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
41 |
– 60. Исследовать функцию и построить график. |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
41. |
y |
|
x3 |
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
9x |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
42. |
y |
(x |
|
1)(x |
|
|
|
|
2)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
43. |
y |
3x5 |
|
|
5x3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||
44. |
y |
|
1 |
x |
4 |
|
|
|
1 |
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
45. |
y |
|
x |
3 |
|
|
|
|
9 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
6x |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
46. |
y |
|
x |
3 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
3x . |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
y |
2 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
47. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
48.. y |
|
1 |
x |
3 |
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
3x 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
49. |
y |
|
x |
4 |
|
|
|
|
x3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
50. |
y |
(x |
|
1)2 (x |
|
|
|
5) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
51. |
y |
2 |
|
|
3x |
|
|
x3 . |
|
|
|
|
||||||
52. |
y |
|
1 |
x |
3 |
|
|
5 |
|
|
x |
2 |
|
6x |
7 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
53. |
y |
|
x3 |
|
|
6x 2 |
|
|
2x |
6 . |
|
|||||||
54. |
y |
(x |
|
1)2 (x |
|
|
3)2 . |
|
||||||||||
55. |
y |
|
|
|
1 |
x |
3 |
|
7 |
x |
2 |
6x |
2. |
|||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
56. |
y |
|
x3 |
|
|
4x 2 |
|
|
3x |
6. |
|
|||||||
57. |
y |
|
1 |
x |
3 |
|
|
1 |
|
|
x |
2 |
|
6x |
1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
58. |
y |
2x3 |
|
|
x 2 |
|
|
4x |
5 . |
|
||||||||
59. |
y |
4x3 |
|
|
x2 |
|
|
2x . |
|
|
||||||||
60. |
y |
(2 |
|
x)(x |
|
1)2 . |
|
|
61–65. Предложение товара (S) относительно цены (р) определяется функцией S(p). Рассчитать эластичность функции предложения и найти значения показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую
интерпретацию полученным результатам. |
|
||||||
61. |
S p |
p |
0,5 (усл.ед.), |
р = 2 (ден.ед.). |
|||
62. |
S p |
7 |
|
|
(усл.ед.), |
р = 3 (ден.ед.). |
|
|
|
|
|||||
7 |
p |
||||||
63. |
S p |
2 p |
|
|
1 (усл.ед.), |
р = 4 (ден.ед.). |
|
64. |
S p |
6 |
|
(усл.ед.), |
р = 8 (ден.ед.). |
||
|
|
||||||
9 |
p |
||||||
|
S p |
3 4 |
|
|
p 2 |
|
|
65. |
|
|
|
|
(усл.ед.), |
р = 4 (ден.ед.). |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
8 p |
|