5389

Оцените с помощью показателей вариации колеблемость цен на картофель по рынкам города в январе и в феврале. Сделайте выводы.

3.5. Цены на товар А в районах края составили:

Район	Цена за шт., руб.	Численность населения, %
		к итогу
1	234	30,2
2	358	24,4
3	500	16,7
4	123	10,5
5	619	6,5
6	720	6,7
7	242	2,7
8	314	2,3

Оцените с помощью показателей вариации колеблемость цен в крае на товар А. Сделайте выводы.

3.6. В соответствии с результатами опытных испытаний электроламп на продолжительность горения средняя величина этого показателя составляет 1 165,6 часов. Средний квадрат продолжительности горения электроламп равен

1 358 800.

Определите среднее квадратическое отклонение продолжительности горения электроламп.

3.7.Размер товарооборота магазинов фирмы составляет в среднем 350 тыс. руб. ежедневно. Средний квадрат отклонения этого показателя равен 125 000.

Определите среднее квадратическое отклонение товарооборота магазинов фирмы.

3.8.Средний квадрат отклонений вариантов признака от некоторой произвольной величины равен 61. Средняя величина признака больше произвольной величины на 6 единиц и равна 10. Найдите коэффициент вариации.

3.9. Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины равен 100, а средняя – 15. Определите, чему равен средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от величины, равной:

а) 10; б) 25.

31

3.10.Средняя величина признака равна 14, а дисперсия – 60. Определите средний квадрат отклонений вариантов признака от 19.

3.11.Средний квадрат отклонений вариантов признака от произвольной величины равен 300, а сама произвольная величина равна 70 единицам. Определите дисперсию признака, если известно, что средняя величина его равна

80.

3.12.Имеются следующие данные о ценах и объёмах продажи товара А в сельской местности и городах района.

	Магазин	В сельской местности		Магазин	В городах
		цена за шт.,	продано, тыс.		цена за шт.,	продано, тыс.
		руб.	шт.		руб.	шт.
	1	500	0,50	1	425	2,54
	2	420	0,58	2	520	1,32
	3	450	0,62	3	464	2,85
	4	420	0,74	4	518	2,15
		450	0,2	5	538	2,13
	5
				6	562	2,05
				7	480	3,18
				8	474	3,97

Для изучения колеблемости цен на товар А в районе рассчитайте: 1) внутригрупповые дисперсии; 2) среднюю из внутригрупповых дисперсий; 3) межгрупповую дисперсию; 4) общую дисперсию. Оцените тесноту связи между группировочным признаком и ценой товара с помощью эмпирического корреляционного отношения.

3.13. Имеются следующие данные о распределении предприятий торговли по объёму товарооборота:

Объём товарооборота в среднем на	Число предприятий по формам собственности
одно предприятие, млн руб.	муниципальных	Коммерческих	всего
1,0 – 1,2	-	3	3
1,2 – 1,4	-	4	4
1,4 – 1,6	-	17	17
1,6 – 1,8	11	15	26
1,8 – 2,0	13	6	19
2,0 – 2,2	18	5	23
2,2 – 2,4	6	-	6
2,4 – 2,6	2	-	2
Итого	50	50	100

32

Определите: 1) внутригрупповые дисперсии; 2) среднюю из внутригрупповых дисперсий; 3) межгрупповую дисперсию; 4) общую дисперсию; 5) коэффициент детерминации; 6) эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

3.14. Товарооборот по предприятиям общественного питания на одного работника за квартал характеризуется следующими данными:

	Удельный вес в	Товарооборот в	Дисперсия
Предприятия	общей численности	расчёте на одного	товарооборота в
	работников, %	работника, тыс.руб.	группе
Столовые	35	13	3,29
Кафе, закусочные	50	20	36,00
Рестораны	15	26	9,00

Определите все виды дисперсий товарооборота предприятий общественного питания.

3.15. Известно, что в первой секции торгового центра работали 30 человек, в том числе со стажем работы свыше десяти лет – 15; доля работников с таким стажем во второй секции составляет 40 %, а в третьей секции стаж свыше десяти лет имеет каждый четвёртый работник. Численность работников во всех секциях составила 130 человек, в том числе в третьей секции – 40 человек.

Определите: 1) дисперсию доли по каждой бригаде; 2) внутригрупповую дисперсию доли; 3) межгрупповую дисперсию доли; 4) общую дисперсию доли. Правильность вычислений проверьте с помощью правила сложения дисперсий.

Тема 4. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

4.1. Методические указания

Понятие выборочного наблюдения

Выборочное наблюдение – это несплошное наблюдение, при котором в случае правильной организации на отбор подлежащих обследованию единиц не может повлиять ничто, кроме случая. Сформированная таким образом совокупность изучается, а полученные результаты распространяются на всю исходную совокупность. Правильная организация выборочного наблюдения предполагает, что отобранная часть единиц в уменьшенном масштабе репрезентирует (представляет) всю совокупность в целом.

33

В торговле с помощью выборочного метода изучается качество поступивших товаров, эффективность новых форм торговли, спрос населения на определённые виды товаров, уровень цен на товары и др.

Совокупность, из которой производится отбор единиц, называется генеральной и все её обобщающие показатели генеральными.

Совокупность отобранных единиц именуется выборочной и все её показатели выборочными.

Основная задача выборочного наблюдения в экономике — получить достоверные суждения о показателях средней количественного признака и доли альтернативного признака в генеральной совокупности на основе характеристик выборочной совокупности.

Введём обозначения:

N – объём генеральной совокупности (число единиц в генеральной совокупности);

n – объём выборочной совокупности (число единиц в выборочной совокупности);

Х – генеральная средняя;

~

Х – выборочная средняя; Р – генеральная доля (доля единиц, обладающих изучаемым признаком в

генеральной совокупности: Р= МN , где М – число единиц, обладающих

изучаемым признаком в генеральной совокупности);

W – выборочная доля (доля единиц, обладающих изучаемым признаком в

	выборочной совокупности: W=	m	, где m – число единиц, обладающих
		n

изучаемым признаком в выборочной совокупности). 1. По виду различают:

индивидуальный отбор – в выборочную совокупность отбирают отдельные единицы генеральной совокупности;

групповой отбор – в выборочную совокупность отбирают качественно однородные группы или серии изучаемых единиц;

комбинированный отбор – предполагает сочетание первого и второго вида. 2. По методу отбора различают:

повторный отбор – единица, попавшая в выборку, после регистрации признаков вновь возвращается в генеральную совокупность и таким образом приобретает возможность быть отобранной вновь;

34

Средняя ошибка

бесповторный отбор – единица совокупности, попавшая в выборку, в генеральную совокупность не возвращается и в дальнейшем отборе не участвует, т.е. численность единиц генеральной совокупности в процессе исследования сокращается.

3.По степени охвата единиц совокупности: малые выборки – менее 30 единиц; большие выборки.

4.По способу формирования выборочной совокупности: собственно-случайный отбор; механический отбор; типический отбор; серийный отбор; комбинированный отбор; многоступенчатый отбор.

Средняя ошибка выборки

Генеральные характеристики отличаются от выборочных на величину ошибки. Различают среднюю и предельную ошибку выборки. Величина средней ошибки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора. Рассмотрим, как определяется средняя ошибка выборки при разных способах отбора.

1. Собственно-случайный отбор.

К собственно-случайной выборке относится отбор единиц из всей генеральной совокупности (без предварительного разбиения её на какие-либо группы) посредством случайного отбора, с использованием жеребьёвки, лотереи, таблицы случайных чисел.

Средняя ошибка при собственно-случайном способе отбора зависит от объёма выборки и степени варьирования изучаемого признака. Вариация изучаемого признака характеризуется величиной дисперсии. Формулы для расчёта средней ошибки приведены в таблице:

Способ отбора единиц

повторный

Бесповторный

Для средней

2

2

(1

n

)

x

n

x

n

N

Для доли

w(1 w)

w(1 w)

(1

n

)

p

p

n

n

N

35

где 2 – дисперсия выборочной средней; w(1-w) – дисперсия выборочной доли.

2. Механический отбор.

Механическая выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности через равные промежутки из определённого расположения их в генеральной совокупности (по алфавиту, в пространстве, последовательности появления во времени).

При достаточно большой совокупности механический отбор по точности результатов близок к собственно случайному отбору, поэтому для определения средней ошибки выборки используются те же формулы.

3. Типический отбор.

Типическая выборка используется в случае отбора единиц из неоднородной совокупности. Неоднородная исходная совокупность разбивается на несколько качественно однородных, однотипных групп по признакам, от которых зависят изучаемые показатели. Затем из каждой типической группы собственнослучайным или механическим способом отбора производится отбор индивидуальных единиц в выборочную совокупность. Общее число единиц выборочной совокупности распределяется между группами пропорционально численности групп в составе генеральной совокупности.

Типическая выборка даёт более точные результаты по сравнению с другими способами отбора единиц в выборочную совокупность. Типизация генеральной совокупности обеспечивает репрезентативность такой выборки, представительство в ней каждой типологической группы, что позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. Поэтому при определении средней ошибки типической выборки в качестве показателя вариации выступает средняя из внутригрупповых дисперсий.

Средняя ошибка типической выборки определяется по следующим формулам:

Средняя ошибка

Способы отбора единиц

повторный

бесповторный

Для средней:

при

пропорциональном

2

2

n

размещении единиц

~

i

~

i

(1

)

x

n

x

n

N

Для доли:

при

пропорциональном

wi (1 wi )

wi (1

wi )

(1

n

)

размещении единиц

w

n

w

n

N

36

где		2	– средняя из внутригрупповых дисперсий; выборочной среднего;
	i

w(1 w) – средняя из внутригрупповых дисперсий выборочной доли. 4. Серийный отбор.

Серийная выборка предполагает случайный отбор из генеральной совокупности не отдельных единиц, а их равновеликих групп (гнёзд, серий) с тем, чтобы в таких группах подвергать наблюдению все без исключения единицы (пачки, ящики и т.п.). Так как внутри групп (серий) обследуются все единицы, то средняя ошибка зависит только от межгрупповой (межсерийной) дисперсии.

Средняя ошибка выборки при серийном отборе определяется по следующим формулам:

Средняя ошибка

Способы отбора единиц

повторный

бесповторный

Для средней

2

2

r

~

~

(1

)

x

r

x

r

R

Для доли

2

2

r

w

w

(1

)

p

p

r

r

R

где R – число серий в генеральной совокупности; r – число серий в выборочной совокупности;

2 – межгрупповая дисперсия выборочной средней; w2 – межгрупповая дисперсия выборочной доли.

Межгрупповая дисперсия выборочной доли определяется по формуле

	2	w w 2
		i	,
	w	r

где wi – доля единиц, обладающих данным признаком в серии;

w – доля единиц, обладающих данным признаком во всей выборочной совокупности.

5. Комбинированный отбор.

В практике статистических обследований применяют также комбинации рассмотренных выше способов отбора — такой отбор называется комбинированным. Можно комбинировать серийную и случайную выборку, т.е. разбив генеральную совокупность на серии (группы) и отобрав нужное число серий, производят случайную выборку единиц из отобранных серий. Такая

37

выборка может быть и повторной, и бесповторной, а средняя ошибка выборки при этом определяется:

2

2

при повторном отборе –

~

i

;

x

n

r

2

n

2

R

r

при бесповторном отборе –

~

i

(1

)

;

x

n

N

r R

1

где n – число единиц, взятое в выборку из серий. 6. Многоступенчатый отбор

Многоступенчатая выборка – из генеральной совокупности отбираются укрупнённые группы, далее ещё раз группы, меньшие по объёму, до тех пор, пока не будет отобрано обоснованное целью исследования количество групп или отдельных единиц, которые затем будут подвергнуты сплошному наблюдению. В отличие от типического отбора, целью которого является представительство в выборочной совокупности всех групп, при многоступенчатом отборе такая цель не ставится, а значит, не все группы попадают в выборку.

Если число ступеней отбора больше двух, то средняя ошибка выборки определяется по формуле

	2	2			2
2	2	3		...	n	,
1	n1		n1n2		n1n2 ...nn

где 1 , 2 , 3 … n – средние ошибки выборки на отдельных ступенях отбора; n1 , n2 …nn – численность выборок на соответствующих ступенях отбора.

Предельная ошибка выборки

Предельная ошибка выборки – максимально-возможная ошибка при достаточно большом числе независимых наблюдений. Согласно теореме П. Л. Чебышева (с уточнениями А.М. Ляпунова), при достаточно большом числе независимых наблюдений в генеральной совокупности с конечной средней и ограниченной дисперсией вероятность того, что расхождение между

выборочной и генеральной средней ( ~ ) не превысит по абсолютной величине x x

некоторую величину t , равна интегралу Лапласа (удвоенной нормированной

функции Лапласа). Величина t обозначаемая					, называется предельной
ошибкой выборки. Следовательно, предельная ошибка выборки:
для средней –		t			;
	x			x
для доли – w		t	w ;

38

где t – коэффициент кратности средней ошибки выборки, зависящий от вероятности, с которой гарантируется величина придельной ошибки.

Значение коэффициента кратности (t) определяется в зависимости от принятой вероятности P по удвоенной нормированной функции Лапласа (приложение 1). Наиболее часто используемые значения следующие:

T	1,000	1,960	2,000	2,580	3,000
Ф(t)	0,683	0,950	0,954	0,990	0,997

Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность

Пределы для генеральных характеристик (доверительные интервалы) определяются на основе показателей, полученных по данным выборки. Доверительный интервал для генеральной средней:

			~			;
	x		x
					x
~				~				.
x			x	x
		x					x

Доверительный интервал для генеральной доли:

p	w	w ;
w w	p	w w .

Определение необходимого объёма выборки

При проектировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки очень важно правильно определить численность (объём) выборочной совокупности, который с определённой вероятностью обеспечит заданную точность результатов наблюдения.

Формулы для определения необходимой численности выборки n легко получить непосредственно из формул предельной ошибки выборки. Так, при собственно-случайном способе отбора необходимая численность выборки составит:

Численность выборки (n)				Способ отбора единиц
	повторный				Бесповторный
Для средней	n	t 2 2			n	t 2	2 N
		2				2	t	2	2
		~				~ N
		x				x
Для доли	n	t 2 w(1 w)			n	t 2 w(1			w)N		.
		2				2	t	2	w(1 w)
		~				~ N
			x			x

Эти формулы показывают, что с увеличением предполагаемой ошибки выборки значительно уменьшается её необходимый объём.

39

4.2. Решение типовых задач

Пример 4.1.

В городе было проведено выборочное обследование 1% граждан (случайный, повторный отбор) с целью изучения их доходов в ноябре.

Месячный доход, руб.	1200 – 4200	4200 – 7200	7200 – 10 200	10 200 и более
Число обследованных	230	470	350	150

Определим:

1)среднемесячный доход у жителя города в ноябре, гарантируя результат с вероятностью 0,997;

2)долю жителей города с доходом 7 200 руб. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954;

3)необходимую численность выборки при определении среднемесячного дохода, чтобы с вероятностью 0,997 предельная ошибка выборки не превышала

300 руб.;

4)необходимую численность выборки при определении доли жителей с доходом более 7 200 руб. и выше, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 5%;

5)предельную относительную ошибку для выборочной средней и выборочной доли.

Решение

I. Среднее значение признака в выборке:

~				xi	f i		2700 230 5700 470											8700 350 11700 150						8 100 000
x																											6 750 руб.
					f i								1 200											1 200
Дисперсия выборочной средней:
					~ 2			fi (2 700					6 750)				2	230 (5 700 6 750)					2	470 (8 700 6 750)				2	350
	2				xi x
						fi																1200
	(11 700				6 750)2			150				9 297 000 000						7 747 500.
					1 200								1 200
Предельная ошибка при вероятности 0,997 (коэффициент доверия 3):
													2
																		7 747 500
												t					3					241 руб.
											x
														n				1 200

Доверительный интервал:

40