5560

Для x2		0 в качестве –0 и +0 возьмём соответственно –0,1 и +0,1:
а)	f	0,1		0,1		4	3,9									0		f	0	;
				2			0,01				0,6
		0,1			6	0,1
б)	f	0,1		0,1		4	4,1										0	f	0	.
				2			0,01				0,6
		0,1			6	0,1

Вблизи точек –6 и 0 график ведёт себя одинаково – слева падает, справа растёт.

НФ10. Исследуйте на непрерывность дробно-рациональные функции. Покажите схематично поведение графика функции вблизи точки разрыва:

1) а) f x

x 3

;

б) f x

x 2

;

в) f x

4 2x

;

x2

9

x2

4

x2

4

2) а) f x

x

1

;

б) f x

x

2

;

в) f x

2x

8

;

x2

4x 3

x2

3x 2

x2

5x 4

3) а) f x

x

3

;

б) f x

2

x

;

в) f x

1

4x

;

2x2

5x 3

6x x2 8

4x2

5x 1

4) а) f x

x2

x 6

;

б) f x

x2

2x

;

в) f x

x2

x 20

.

x2

4x 3

x2

5x 6

x2

5x

Пример 14. Пусть

f

x

6

3x

. Решив уравнение x2

3x 10

0, полу-

x2

3x 10

чаем корни x1

5 и x2

2 . В остальных точках функция непрерывна.

Подставив

x1

5 ,

получим

21

. Значит,

x1

5

– точка разрыва 2-го

0

рода. Уточним знак бесконечности:

а)

f

5,1

6

3

5,1

9,3

9,3

0

f

5

0

;

5,1 2

3

5,1

10

26,01

15,1

10

0,91

б)

f

4,9

6

3

4,9

8,7

0

f

5

0

.

4,9 2

3

4,9

10

0,69

Подставив x2

2 ,

получим

0

. В этом случае, как известно, надо упростить

0

дробь, разложив на скобки и сократив одинаковые:

						6	3x		3 x 2		3		,
					x2		3x 10 x 5 x 2 x 5
тогда f 2 0		3		3		независимо от того, как подходить к точке x2 2 .
2		5		7

46

Итак, x1 5 – точка разрыва 2-го рода, в которой знак бесконечности меня-

	ется с «–» на «+»;	x2 2 – точка устранимого разрыва, в которой функция стре-
	мится к значению		3	.
		7

Замечание 3. Метод близкой точки требует осторожности. Например, под-

ставив в функцию						f x	x	2,01		в качестве	x	2	0 число x			2,1, получим, что
							x	2
2,1		2,01		0,09	0	, тогда как на самом деле					f	2	0	2	0	2,01		0,01	.
2,1		2		0,1										2	0	2		0

Дело в том, что между 2 и 2,1 находится корень числителя – число 2,01.

Лучше усложнить вычисления, взяв лишние 0 после запятой – в данном слу-

чае можно взять 2 0 2,001, тогда	2,001	2,01		0,009		0 даёт верный вывод.
2,001		2		0,001
Непрерывность некоторых сложных функций
Здесь даны примеры исследования на непрерывность функций f x a g x ,

где g x – некоторая разрывная функция. Основная трудность вызвана тем, что значение величины a зависит от знака бесконечности и от того, будет ли a 1.

1

Пример 15. Найдём точку разрыва функции f x 2x 3 и проверим поведение функции вблизи этой точки.

Поскольку число 2 можно возвести в любую степень, смотрим, при любых ли

значениях x существует сам показатель степень. Нет, число										x	3	подставить
нельзя – получится деление на 0. Значит, надо найти предел в точке x													3:
		1			1			1
							2 0		2 .
		lim2 x 3			23 3
		x 3
Но результат зависит от знака бесконечности. Основание										2	1 ,	а функция
g y	2 y возрастает на всей числовой оси, принимая значения от 0 до												. Зна-
чит, 2	0, а 2	.

Всвою очередь знак бесконечности зависит от того, с какой стороны подойти

кточке x 3. Поэтому находим пределы слева и справа:

	1			1
а) f 3 0 2 3 0		3	2 0 2			0 ;

47

1			1
б) f 3 0 2 3 0 3			2 0 2			.
Итак, предел слева равен 0, предел справа равен							. Когда хотя бы с одной сто-
роны предел бесконечен, получается разрыв 2-го рода (бесконечный скачок).
Ответ: разрыв 2-го рода в точке x						3, предел слева 0, справа		.

Замечание 4. Далее в заданиях показатель степени в скобки не берём.

																												1
Пример 16. Исследуем на непрерывность функцию																								f		x 0,4 4 5 x .
Знаменатель не должен обращаться в 0.																				Но 4	5x			0 , если x						0,8 . Находим
пределы слева и справа в точке														x		0,8 . Учтём, что основание 0,4														1 , и потому
функция g y				0,4 y убывает от												до 0, а именно, 0,4											и 0,4		0 .
						1							1				1
а)				0,4 4		5 0,8	0									0,4 0					;
	f	0,8	0							0,4 4			4	0						0,4
						1							1					1
б)				0,4 4		5 0,8	0									0,4 0
	f	0,8	0							0,4 4			4	0						0,4	0
(при раскрытии скобок 5 0										0 , но знак 0 меняется на противоположный).
Ответ: разрыв 2-го рода в точке x 0,8 ; предел слева равен																													, справа – 0.
Пример 17. Найти точки разрыва функции f x																								7			, определить их тип.
																							2
																						3x		1		5

Очевидно, большой знаменатель не должен обращаться в 0. Но показательная функция g y 3y всегда положительна, тем более – если прибавить к ней 5.

Значит, проблемы могут возникнуть только со знаменателем x 1. Действительно, число x 1 подставить нельзя – возникает деление на 0.

Воспользуемся методом близкой точки, взяв в качестве 1 0 и 1 0 соответ-

ственно 0,999 и 1,001.

Пусть x 0,999 . Тогда

а)	0,999	1	0,001;		б)			2			2 000	;	в) 3 2 000	0 ;
								0,001
г)	0 5	5 ;			д)		7	1,4 .
						5
Пусть теперь x			1,001. Тогда
а) 1,001		1	0,001;	б)		2					2 000;		в) 3 2 000	;
				0,001

48

г)	5	;	д)	7	0 .

Тем самым предел слева равен 1,4, а предел справа равен 0. Значит, в точке x 1 получается разрыв 1-го рода – конечный скачок от значения 1,4 до значения 0.

Ответ: разрыв 1-го рода в точке x 1, предел слева равен 1,4, справа – 0.

Пример 18 (повышенной сложности). Исследуем на непрерывность функ-

цию f x				6				, найдём точки разрыва, определим их тип.
				1
	29			3x		0,125
Возможны два проблемных случая:
а) в 0 обращается знаменатель 9												3x (очевидно, когда x 3);
															1
б) в 0 обращается знаменатель всей дроби (когда 29 3x																0,125).
Эти случаи рассматриваются отдельно и независимо один от другого.
1-й случай. Пусть								x 3. Найдём пределы слева и справа тем же способом,
что в примере 17.
В качестве числа 3									0 возьмём x			2,999. Тогда
а)	3 2,999					8,997 ;			б)	9	8,997		0,003		в)	1							333 ;
																0,003
г)	2333					;			д)			0,125		;	е)	6							0 .
Предел слева в точке 3 равен 0.
В качестве числа 3									0 возьмём x			3,001. Тогда
а)	3 3,001					9,003;			б)	9	9,003			0,003;	в)	1							333;
																0,003
г)	2 333			0 ;					д)	0	0,125			0,125;	е)	6							48.
																0,125

Предел справа в точке 3 равен –48.

В точке x 3 имеет место разрыв 1-го рода – конечный скачок от значения 0 до значения –48.

							1						1
2-й случай. Пусть 29							3x			0,125, или, что то же самое, 29 3x				2 3 (учтём, что
0,125	1	1		2	3 ). Тогда					1	3	, поскольку функция g y		2 y монотонна.
		23
	8						9			3x

49

Значит,				9		3x					1	,	откуда							3x				9			1		28	, и	x	28						–	точка разрыва.															По-
										3																	3		3			9
скольку в ней получается														6								, разрыв будет 2-го рода.
														0
Выясним знак бесконечности, если подходить слева и справа к точке x																																																					28		.
																																																					9
Поскольку						28				3,111, в качестве														28			0		возьмём			x			3,1,				а в качестве												28				0
						9																			9																											9
возьмём x				3,2 .
Пусть x				3,1, тогда
а)	3			3,1	9,3 ;									б) 9						9,3				0,3							в)	1							3,3;
																																0,3
г)	2 3,3				2 3 ;									д) знаменатель													0 ;				е)	6							.
																																0
Предел слева в точке x														28				равен						.
														9
Пусть x				3,2 , тогда
а)	3			3,2	9,6 ;													б)		9		9,6					0,6					в)			1					1,67 ;
																																			0,6
г)	2 1,67				2 3 ;													д) знаменатель											0 ;			е)			6												.
																																			0
Итак, если подходить к x																		28				слева, функция стремится к																									, а если подхо-
																				9
дить справа – стремится к																		.
Ответ: Функция терпит неустранимый разрыв 1-го рода в точке																																																	x		3 , при
этом предел слева равен 0, а предел справа равен																															48 . Кроме того, функция тер-
пит разрыв 2-го рода в точке x																						28		, при этом предел слева равен																									, а предел
																						9
справа равен					.
																																									2
Пример 19. Исследуем на непрерывность функцию f																																				x				5			x 7		.
Понятно, что x											7 – точка разрыва. Но если x																					7 , то всегда																x	7		0 .
Тогда				2						,			и степень положительна при любом аргументе, в том
			x		7
числе при x						7 . Но при x														7 степень бесконечна, и получается 5																													, или						.
Ответ: разрыв 2-го рода в точке x																											7 , пределы и слева, и справа равны																												.

50

Замечание 5. Совпадение знака бесконечности ни в коем случае не означает, что перед нами – точка устранимого разрыва. Разрыв устраним только для конечных числовых значений (когда совпадают числа).

2

Пример 20. Проверим непрерывность функции f x 5 x 7 . Непрерывность

нарушается, если												x															7 , или x													7 .
	Пусть x				7 :
																										2									2												2
																					7,01											7																					5200
		а)		f	7,01						5																								57,01 7												50,01										;
																										2									2												2
																							6,99									7
		б)		f	6,99						5																								56,99 7												5 0,01 5 200										0 .
	Пусть x				7 :
											2																								2												2
																	6,99										7																										5 200
		а)		f	6,99						5																					56,99 7								5 0,01																0 .
											2																								2												2
																7,01										7																											5200
		б)		f	7,01								5																			57,01 7								50,01																	;
	Ответ: разрыв 2-го рода в точках x																																																					7 и x			7 . В 1-й точке предел слева ра-
вен		, предел справа равен 0; во 2-й точке – всё наоборот.
	НФ11. Исследуйте функции на непрерывность, покажите схематично их по-
ведение вблизи точек разрыва:
						2																																			2																	2									2
1) а) f x					4 x 5 ;																						б) f x													47 x ;														в) f x			4 x 3 ;						г) f x			43 x ;
					2																																										2										2									2
2)	а)	f	x		0,5 x 5 ;																						б)						f		x					0,57							x ;							в)	f	x	0,5 x 3 ;						г)	f	x	0,53 x ;
					3																																										2											2										2
3)	а)	f	x		72 x 5 ;																						б)						f		x					0,37							2 x ;							в)	f	x	43 4 x ;						г)	f	x	0,63 6 x .

НФ12. Задание то же, что в НФ11:

1)	а)	f x			3					; б) f x							3				; в)
			4x 5				5								46 x				1
2)	а)	f x			3					; б) f x							3					; в)
			2												2
			4 x		5		5								4 x		5		1
3)	а)	f x			3				; б) f x								3					; в)
			4x 3				4								45 2 x				1
4)	а)	f x			3						; б) f x						3					; в)
				1												2
			4 x		5		16								4 x		5		4

f	x			3			;				г)	f	x							3				;
		45		2 x		6										0,57			3x			5
f	x			3				;			г)	f	x							3						;
				2															7
		45		2 x		6										0,52 x				4		5
f	x			3					;		г)	f	x							3			;
		0,5x 3				4										0,56			2 x			1
f	x			5						; г)		f	x							3					.
				1																7
		35		2 x		27										0,52 x				4		1

51

НФ13. Задание то же, что в НФ11:

2

2

1

2

1)

а)

f

x

4

x

5

;

б)

f

x

4

7

x

;

в)

f

x

0,3

x

3

;

г)

f

x

0,7

3

x

;

2

2

2

2

2)

а)

f

x

5

x

1 ;

б)

f

x

0,5

x

3 ;

в)

f

x

0,53

x

;

г)

f

x

53

2

x

;

1

2

2

2

3)

а)

f

x

8

2 x

6

;

б)

f

x

0,3

8

2 x

;

в)

f

x

4

3 4 x

;

г)

f

x

0,63

6 x

.

2

Пример 21. Пусть предложено выяснить, как функция

f

x

3x2

1 ведёт себя

в точках разрыва.

Распространённая ошибка – решая уравнение

x2

1

0 и считая, что точки

разрыва обязаны быть, раз о них речь в условии, взять x

1. На самом деле

а) уравнение x2

1

0 корней не имеет;

б) соответственно знаменатель дроби

2

в 0 не обращается;

x

2 1

в) поэтому дробь определена при любых значениях x;

г) тогда, поскольку 3 можно возвести в любую степень, вся функция также

определена при любых значениях x.

Никаких точек разрыва нет, функция непрерывна на всей числовой оси.

Пример 22. Исследуем на непрерывность функцию

f

x

arcsin x2

1 .

Функция

f

y

arcsin y

определена на отрезке

1

y

1.

Значит, должно

быть выполнено неравенство

1

x2

1

1, или

2

x2

0 . При этом

а) неравенство x2

2 выполнено при любом действительном x;

б) неравенство x2

0 выполнено только при x

0 .

Тем самым вся функция

f x

arcsin x2

1

определена в единственной точке

x 0 . Пределы слева и справа не имеют смысла.

Пример 23. Исследуем на непрерывность функцию

f

x

arcsin x2

1 .

Должно

выполняться

неравенство

1

x2

1

1

или,

что

равносильно,

0

x2

2 . При этом

а) неравенство x2

0 выполнено при любом действительном x;

б) неравенство x2

2 выполнено только при

2

x

2 .

Поскольку

и

не определены,

в 1-й точке функция непре-

f

2

0

f

2

0

рывна справа, а во 2-й – слева. На интервале

функция непрерывна.

2;

2

52