5561
.pdfхарактеристического уравнения k 2 6k 9 |
0 соответствующего однородного |
~ |
неоднородного уравнения в виде |
уравнения. Нахождение частного решения y |
(8.10) требует предварительного определения степеней многочленов в этой
формуле. |
Правая часть исходного уравнения содержит многочлены первой и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
оба многочлена должны |
||||||||||||
нулевой степени. Поэтому в виде частного решения y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
быть высшей степени, т.е. первой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
ex |
а |
0 |
|
а x cos 2x |
b |
b x sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя эту функцию и её производные y |
ex |
а |
0 |
|
2b |
а |
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а |
2b xcos2x |
b |
2a |
|
|
b sin 2x |
b |
|
2a |
|
xsin 2x |
и y |
ex |
|
|
3a |
0 |
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2a1 |
|
4b0 |
|
4b1 cos2x |
|
|
|
a1 |
3b1 xcos2x |
|
4a0 |
4a1 |
3b0 |
2b1 |
|
sin 2x |
|
|
||||||||||||||||||
4a1 |
3b1 |
xsin 2x в исходное уравнение, |
после преобразований получаем: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
4a1 |
|
8b0 |
|
4b1 cos2x |
|
|
|
8b1 |
xcos2x |
8a0 |
4a1 |
3b0 |
4b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
sin 2x |
8a1xsin 2x |
cos2x xcos2x |
sin 2x . |
Система |
для |
нахождения |
||||||||||||||||||||||||||||||
коэффициентов a0 ,a1,b0 ,b1 примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4a1 |
|
8b0 |
4b1 |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8b1 |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8a0 |
4a1 |
|
4b1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8a1 |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решая |
|
систему, находим |
коэффициенты: |
a |
|
|
1 |
, |
a |
0 , b |
|
|
|
3 |
|
, |
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
1 |
|
0 |
|
|
16 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b |
1 |
. |
Общим |
решением |
неоднородного |
уравнения |
будет |
функция |
||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y C e3 x |
C |
xe3 x ex |
|
1 |
cos 2x |
|
|
3 |
|
1 |
x |
sin 2x |
, |
|
где |
C |
и |
|
|
C |
|
|
|
– |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
16 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пример 8. Указать вид общего решения дифференциального уравнения |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 y |
y |
y |
|
e x |
x2 |
|
3x cos 2x |
|
|
x |
1 sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Решение. Очевидно, что правая часть уравнения представляет собой вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
(8.9). Контрольное число правой части |
|
|
|
1 |
|
является |
|
|
корнем |
|||||||||||||||||||||||||||
характеристического уравнения 2k 2 k |
1 |
0 соответствующего однородного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения. Нахождение частного решения |
~ |
неоднородного уравнения в виде |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
31
(8.11) требует предварительного определения степеней многочленов перед синусом и косинусом в этой формуле. Правая часть исходного уравнения содержит многочлены второй и первой степеней перед косинусом и синусом.
Поэтому частное решение ~ должно содержать многочлены второй степени, а y
именно
|
y |
xe |
x а |
0 |
а x |
а |
2 |
x2 |
cos 2x b |
b x |
b x2 sin 2x . |
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
||
Тогда |
|
общее |
|
решение |
|
неоднородного |
|
уравнения |
таково: |
||||||
y C e3x |
C |
2 |
xe3x |
xe x |
а |
а x |
|
а x2 |
cos 2x |
b b x |
b x2 sin 2x , где C и |
||||
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
2 |
|
0 |
1 |
2 |
1 |
C2 – произвольные постоянные.
9 Решение прикладных задач с помощью дифференциальных уравнений
Аппарат дифференциальных уравнений находит широкое применение для математического решения ряда экономических, экологических, демографических, социальных и физических прикладных задач.
В математическом исследовании любой задачи, касающейся некоторого реального процесса, выделяют следующие основные этапы:
1)построение математической модели явления или процесса;
2)изучение математической модели и получение решения составленной математической задачи;
3)практическое приложение полученных результатов на основе данной модели. Желательно также выяснить, какие явления или процессы можно описать
той же математической моделью.
В соответствии с вышеописанными основными этапами математического исследования задачи непосредственное решение распадается на пункты:
а) составление дифференциального уравнения по условию конкретной задачи; б) решение дифференциального уравнения; в) исследование полученного решения.
Как правило, рекомендуется следующая последовательность действий:
1.Установить величины, изменяющиеся в данном явлении.
2.Выявить законы (экономические, физические и т.д.), связывающие их.
3. Выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую необходимо найти.
32
4.Выразить все величины из условия задачи через независимую переменную, искомую функцию и её производные.
5.Исходя из условия задачи и закона, которому подчинено рассматриваемое явление, составить дифференциальное уравнение.
6.Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
7.Определить начальные или краевые условия для составленного дифференциального уравнения.
8.По начальным или краевым условиям найти частное решение дифференциального уравнения.
9.Исследовать полученное решение.
Рассмотрим практическую реализацию описанной схемы на примере некоторых экономических задач.
Задача 1. Для некоторого предприятия установлено, что скорость увеличения выпуска продукции прямо пропорциональна его прибыли с
коэффициентом пропорциональности k 1,1. Пусть y t выпуск продукции этого предприятия. Составить уравнение, связывающее скорость изменения выпуска продукции и доход от продажи выпуска по цене p y . Предполагается,
что с увеличением выпуска будет проходить насыщение рынка и цена товара
p y |
будет падать. |
Известно, |
что цена |
одной единицы продукции задана |
|||
функцией |
вида |
p y |
7 |
3y . |
Полные |
издержки предприятия выражаются |
|
функцией |
c y |
6y |
1. Составить дифференциальное уравнение для функции |
||||
y t . |
Найти функцию y t |
при условии, что в начальный момент времени |
выпуск равен 100.
Решение
1.Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: время t ,
выпуск продукции y y t , цена единицы продукции, прибыль, полные издержки предприятия, скорость роста выпуска.
2.Выявим законы, связывающие обозначенные величины:
скорость выпуска продукции определяется как производная выпуска продукции по времени: dydt ;
выручка предприятия определяется как произведение цены единицы продукции на интенсивность её выпуска y р y ;
33
прибыль определяется как разность между выручкой предприятия y р yи полными издержками c y ;
скорость выпуска продукции в 1,1 раза больше его прибыли.
3. |
Выбираем |
|
|
|
независимую переменную t; |
|
|
|
функцию переменной t, которую необходимо найти: |
y y t . |
|
4. |
Выражаем все величины из условия задачи через независимую |
||
переменную t, искомую функцию y |
y t и её производную: |
|
|
|
прибыль предприятия y р y |
c y = y 5 3y 6y |
1 |
|
3y2 y 1 ; |
|
|
скорость выпуска продукции у dydt .
5. Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи:
|
|
dy |
= 1,1 3y2 |
y 1 . |
|
|
|
|
|||
|
|
dt |
|
||
6. Найдём |
общее |
решение составленного дифференциального |
|||
уравнения. |
|
|
|
|
|
Получили дифференциальное |
уравнение |
первого порядка с разделяющимися |
переменными. Разделяя переменные, получаем:
10 |
|
|
|
dy |
|
|
|
dt , |
10 |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11 3y2 |
|
y 1 |
33 |
y2 |
|
|
1 |
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10 |
|
|
|
dy |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
dy |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
33 |
y |
2 |
|
1 |
y |
1 |
33 |
|
|
y |
2 |
2 |
y |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
33 |
y |
1 |
2 |
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
36 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
36 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
замена : |
y |
1 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
dy |
10 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
dy |
dm |
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
m2 |
1 |
33 |
2 |
|
1 |
|
|
m |
1 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
10 |
|
6m |
1 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
6 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ln |
C |
ln |
6 |
|
|
C |
ln |
|
|
|
|
C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11 |
6m |
1 |
|
11 |
|
6 |
y |
|
1 |
|
|
11 |
|
|
6 y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
10 |
|
|
|
|
6 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 y |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t C |
|
|
|
6 y 6 y 2 e |
|
t C |
|
|||||||||||||||
|
ln |
|
|
|
|
t C , |
|
|
|
e |
10 |
, |
|
10 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 y 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
11 |
6 y |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
|
t |
C |
|
|
|
|
|
11 |
t |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
6 y 1 |
e 10 |
|
|
|
|
2e 10 |
. |
|
Общим |
|
|
|
|
решением |
является |
функция |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
t |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
e 10 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 1 |
|
e 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
7. Определяем начальное условие: y 0 100. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8. По начальным условиям найдём частное решение. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку y 0 |
|
|
100, получаем уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
e |
10 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
С |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
e 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
e |
|
С |
|
|
. Следовательно, частное решение, удовлетворяющее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Откуда |
|
10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
301 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
начальным условиям, имеет вид y |
|
|
|
100e 10 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
301 |
|
300e 10 |
|
|
|
|
|
9. Исследуем полученное решение.
Построим график частного решения.
35
Из графика видно, что с увеличением времени t |
интенсивность выпуска |
y t снижается. Можно определить значение функции |
y y t для различных |
значений промежутков времени t ; например, y 0,02 12,99 или y 0,08 3,48.
|
|
Определим, с какого времени выпуск продукции становится меньше |
||||||||||||||||||||||||||
единицы, то есть y t |
1. Для этого необходимо решить неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
100e 10 |
301 |
300e 10 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
100e |
10 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
t |
|
|
|
|
11 |
t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
301 |
300e 10 |
301 |
300e 10 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Введём обозначение k e 10 , k |
0. В результате замены получаем неравенство |
|||||||||||||||||||||||||||
|
400k |
301 |
0 . Отметим нули неравенства k |
301 |
и |
|
k |
|
|
301 |
на числовой |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
300k |
301 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
400 |
|
|
300 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оси и исследуем знак неравенства при переходе через эти точки.
36
Решением рационального неравенства будет являться объединение промежутков:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
0, |
301 |
|
|
|
|
301 |
, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
400 |
|
|
|
|
|
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возвращаясь к замене k |
e 10 |
, найдём искомые промежутки времени t . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
301 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
301 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
301 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
t |
eln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||||||||||
1) |
|
|
e |
|
10 |
или |
|
|
|
10 |
400 . |
|
|
Откуда |
|
|
ln |
или |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
400 |
|
|
|
|
|
|
|
10 |
400 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t |
|
|
10 |
ln |
301 |
0,258. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
11 |
400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
11 |
|
|
301 |
|
|
11 |
301 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
t |
или e |
|
t |
eln |
|
|
|
. Решая показательное неравенство, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) e |
|
10 |
10 |
300 |
приходим к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
300 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
301 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
301 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
eln |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейному неравенству |
|
t |
|
|
|
300 |
или t |
0,003 |
. |
Получили |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
300 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
посторонний промежуток, поскольку t |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Таким |
|
|
|
образом, начиная |
|
с |
|
момента |
t 0,258 |
|
выпуск |
продукции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
становится меньше единицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Задача 2. Найти динамику цены |
p на товар, если прогноз |
спроса и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
предложения описываются соотношениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d p |
|
p |
|
|
|
3p |
|
3p |
9 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s p |
|
3p |
|
p |
|
4 p |
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Известно, что p 0 |
4e 1 |
|
5 |
, |
p |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
е |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
|
|
Установим величины, изменяющиеся в данном явлении: время t , цена |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
на товар p |
p t , спрос d |
|
p , предложение s p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Выявим законы, связывающие обозначенные величины: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
спрос определяется из соотношения d p |
|
p |
|
3p |
3p |
9 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предложение задаётся равенством s p |
3p |
|
p |
4 p |
|
4 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равновесную цену находят, приравнивая функции спроса и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предложения: d p |
|
s p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Выбираем
независимую переменную t;
37
функцию переменной t, которую необходимо найти: p p t .
4. Выражаем все величины из условия задачи через независимую переменную t, искомую функцию p p tи её производную:
спрос d p p 3p 3p 9 ;
предложение s p 3p p 4 p 4 .
5.Составляем дифференциальное уравнение, исходя из условия задачи:
Динамика цены p p tна товар определяется из равенства;
|
|
|
d p |
s p . |
|
|
||
Тогда p |
3p 3p |
9 |
3p p |
4 p 4 |
или 2 p |
4 p 7 p 5 0 , |
||
|
|
2 |
d 2 p |
4 |
dp |
7 p |
5 . |
|
|
|
dt 2 |
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
6. Найдём |
общее |
решение |
составленного |
дифференциального |
уравнения.
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго
порядка. Решение находят в виде p |
|
|
p |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Найдём |
p . |
Характеристическое |
|
уравнение |
|
соответствующего |
||||||||||||||||
однородного дифференциального уравнения таково: |
|
|
|
|
2k 2 |
|
|
4k 7 0. |
||||||||||||||
Корнями характеристического уравнения являются числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
4 |
16 |
4 |
2 |
7 |
4 |
72 |
4 |
6 |
2 |
|
2 |
3 |
2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1,2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения
|
|
|
|
|
|
|
является функция p C e 1 1,5t 2 |
C |
2 |
e 1 1,5t 2 . |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
Найдём |
частное решение |
~ |
неоднородного |
дифференциального |
||||||||||||||
|
p |
||||||||||||||||||
уравнения. Правая часть уравнения имеет вид |
P |
t e t |
5e0 t . Контрольное |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
число |
0 не |
является корнем |
характеристического |
уравнения, |
поэтому |
||||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
Q0 t e |
t |
b0 |
е |
0 t |
. Найдем b0 |
|
|
|
|
|
|||
частное решение |
p будет вида p |
|
|
с помощью |
|||||||||||||||
метода неопределённых коэффициентов. Подставляя |
p |
0 |
и |
p |
0 в |
||||||||||||||
первоначальное |
уравнение, получаем |
уравнение: |
|
7b |
5, |
откуда |
b |
|
5 |
. |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
~ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
p |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
Общее решение неоднородного уравнения таково:
|
|
|
|
|
|
|
5 . |
|
|
|
|
|
|||
p C e 1 1,5t 2 |
C |
|
e 1 1,5t 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. Определяем начальные условия: p 0 4e 1 |
5 |
|
|
e 1 |
5 |
. |
|||||||||
, p 0 |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
8. Определим частное решение дифференциального уравнения по
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||
начальным условиям p 0 |
4e 1 |
|
, |
p |
0 |
|
|
|
|
2e 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 1 1,5t |
|
|
5 |
, получаем |
||||||||||||
Учитывая, |
что p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1,5t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1,5 |
|
2C e |
|
1,5 |
|
2C |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
систему для отыскания постоянных C1 |
и C2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C e 1 |
|
|
C |
|
|
e 1 |
5 |
|
|
|
|
4e 1 |
|
5 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1,5 |
|
2C e 1 |
1,5 2C |
2 |
|
e 1 |
|
|
2e 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Система после преобразования принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C1 |
C2 |
|
|
|
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5C1 |
|
|
1,5C2 |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
откуда C |
5 |
и C |
|
|
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Частное решение дифференциального уравнения таково: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
e 1 1,5t |
|
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
e 1 1,5t |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Исследуем полученное решение
Построим график частного решения (рисунок 1). Из графика видно, что с увеличением времени t динамика цены на товар снижается. Определим, с какого времени цена на товар становится равной нулю, то есть p t 0 .
39
Рисунок 1 – График зависимости цены от времени
|
5 |
|
|
|
7 |
e 1 1,5t |
|
|
Найдём решение уравнения |
e 1 1,5t 2 |
2 |
||||||
3 |
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
5 |
0 |
. На рисунке 2 |
|
|
|||
7 |
|||
|
|
показано решение данного уравнения с помощью пакета Maple.
Рисунок 2 – Решение уравнения с помощью пакета Maple
Таким образом, при t 0,34 цена на товар становится равной нулю. При t 0,34 цена становится отрицательной.
Задача 3. Скорость изменения количества населения есть первая производная от количества населения по времени. Предполагается, что скорость изменения количества населения прямо пропорциональна наличному его количеству с коэффициентом пропорциональности k . Найти зависимость между количеством населения y и временем t , если известно, что в некоторый момент,
принимаемый за начальный, количество населения составляло y0 , а через год население увеличилось на b %. В рамках данного допущения найти
40