5571

+i)2 = Р (1 + 2i + i2) .

Сдругой стороны, если вкладчик не закрывает счет два года, то он накопит капитал А = Р (1 + 2i). Капитал А1 больше капитала А на сумму Рi2 = (Рi)i. Эта величина представляет собой проценты, начисленные в конце второго года на проценты полученные в конце первого года.

Спрактической точки зрения трудно представить частые переводы денег с одного счета на другой. Кроме того, в этом случае банк будет иметь дополнительные административные расходы и, что самое главное, вкладчик, закрыв счет, может не открыть новый, вложив деньги в другое предприятие. По этим соображениям банки сами начисляют проценты на проценты, по крайней мере, на срок более года, то есть переходят к сложным процентам.

Процедуру взятия сложных процентов можно описать следующим образом. Пусть вкладчик положил на счет сумму Р под сложные проценты по ставке i в год. Обозначим через Ап сумму, которую он получит через п лет. По определению, сумма, которую он получит в конце n + 1-го года, состоит из суммы Ап плюс проценты от этой суммы за год,

то есть: А(n+1) = An + iAn

или А(n+1) = An(1+i).

(2.1)

Так как А1 = Р (1 + i), из этого следует равенство

An = P(1 + i)n .

(2.2)

Таким образом, формула (2.2) дает накопление капитала при сложных процентах за n лет. Сумма сложных процентов как разность между накопленным капиталом и

исходным за n лет находится по формуле
Sn = P (1 i)n 1 .	(2.3)

Отметим, что в формулах (2.2) и (2.3) n – целое положительное. В дальнейшем мы будем рассматривать случаи, когда n – любое положительное число.

Пусть процентная ставка зависит от времени I = i(t) и постоянна в единичном интервале времени от t до t+1. Тогда формула накопления капитала будет иметь вид:

Аn = P 1 i(t) 1 i(t 1) ... 1 i(t n 1) .

(2.4)

Формула (2.2) есть частный случай формулы (2.4), когда i постоянна. В круг задач финансовой математики входят:

1.Вычисление процентной ставки как функции времени при заданных начальном капитале, накопленной стоимости и алгоритме накопления.

2.Вычисление начального капитала по заданным Ап и i(t).

3.Вычисление Ап по известным i(t) и Р.

2.2. Номинальные процентные ставки

Перейдем к изучению ситуации, когда накопление происходит в произвольные

11

i( p)

интервалы времени (не обязательно целые). В качестве единичного интервала возьмем год, хотя можно рассмотреть и другие единицы. Рассмотрим сделку, заключаемую в момент времени t на срок h, где h – любое (не обязательно целое) положительное число.

Определение. Номинальной процентной ставкой ih(i) в единицу времени за период от t до t + h называется такое число, что фактическая (простая) процентная ставка за этот период равна hin (t). Таким образом, если в момент времени t инвестируется капитал Р, то накопление капитала за период h находится по формуле

A=P(1 + hih(t)). (2.5)

Если h =1 (единица времени), то номинальная ставка совпадает с фактической, то есть

i1 t

i t

Довольно часто номинальная процентная ставка не зависит от времени, в этом случае будем полагать in (t) = in

	для всех t. Если h	1	где р – целое, то обозначают i 1 i( p)
		p
				p

При этом говорят, что – номинальная процентная ставка, выплачиваемая (или конвертируемая р-кратно). Опять же i(1) = i

Пример 2.1. Заданы номинальные годовые процентные ставки

Сроки		ih(%)
1	день	113/4
2	дня	115/8
7	дней	111/2
1	месяц	113/8
3	месяца	111/4

Найти накопление капитала 1000£ за а) 2 дня, б) 1 неделю, в) 1 месяц.

Решение: Составим таблицу

	Сроки							1 день		2 дня	7 дней	1 месяц	3 месяца
	h							1/365		2/365	7/365	1/12	3/12
	%							0.1175		0.11625	0.115	0.11375	0.1125
Тогда по формуле (2.5) находим:
a) A = 1000 (1+			2				0,11625)		1000,64 (₤);
365
б) A = 1000 (1+			7				0,1125) 1002,91 (₤);
			365
в) A = 1000 (1 +			1				0,11376)		1009,48 (₤).

12

Замечание:

1. Номинальные процентные ставки примера 2.1 взяты из реальной практики

12

деловой жизни Великобритании.

2. Если подсчитать доход от вложения 1000000 £ за два последовательных однодневных срока, то получим А = 100000(1 + 1/365 • 0,1176)2 = 100064,4 (£).

Прибыль за один двухдневный срок равна А = 100000(1 + 1/365 • 0,11625)2 = 100063,7 (£).

Это противоречие частично объясняется тем, что ожидается изменение процентных ставок, и банки введением таких правил застраховывают себя от возможных потерь.

Если сумма 1 инвестируется на единичный срок при фактической процентной ставке hih(i), то сумма процентов за этот срок равна

	S	[1	hih (t)]1/ h			1	(2.7)
	Формула (2.7) почти очевидна,	если	h	1	,	р – целое. В этом	случае вложенную
				p

единичную сумму можно конвертировать р раз и получить сумму процентов по формуле, аналогичной (2.3).

2.3 Коэффициенты накопления

Выберем некоторую фиксированную единицу времени (например, год). Для t1<t2 под величиной A(t1,t2) будем понимать накопленную стоимость единичной суммы за время t2 – t1. Из определения ih(t) следует, что

A(t, t h) 1 hih (t)

(2.8)

Отсюда получаем формулу для номинальной процентной ставки:

ih (t)		A(t, t	h) 1		(2.9)
			h
По определению, положим
	A(t, t)		1		(2.10)

Равенство (2.10) соответствует тому практически очевидному факту, что за промежуток времени нулевой длины накопления капитала не происходит. Величину A(t1,t2) часто называют коэффициентом накопления, так как величина накопления за время

t2 – t1 начального капитала Р находится по формуле
A PA(t1 , t2 )	(2.11)

Рассмотрим теперь три момента времени t0<t1<t2. Тогда накопление единичного капитала за время t2 – t0 определяется коэффициентом накопления A(to,t2). С другой стороны, накопление единичного капитала можно разбить на два этапа. За время t1 – t0 накопление определится коэффициентом A(t0,t1), а за время t2 – t1 величину накопленного капитала определим по формуле (2.11) как величину A(t0,t1)A(t1,t2). При нормально

функционирующей экономике капитал, накопленный к моменту t2	двумя способами,
совпадает, то есть выполняется равенство
A(t0 , t2 ) A(t0 , t1 ) A(t1 , t2 ) .	(2.12)

Равенство (2.12) носит название принципа согласованности. На практике принцип

13

согласованности, как правило, носит приближенный характер, ввиду административных расходов, правил налогообложения и т.д. Тем не менее нужно иметь в виду, что в некоторых математических моделях появляются функции A(t1, t2), которые не удовлетворяют равенству (2.12).

Пример 2.2. Найти накопленную стоимость суммы 100£: а) при номинальной ставке 4% в год на срок 1 квартал, б) при номинальной ставке 6% в год на срок 1 месяц.

Решение:

а) по условию задачи i1/4 = 0,04.

	Тогда по формуле (2.8). А(0,1 / 4) = 1 +							1	i1	= 1,01 и по формуле (2.11) А =
								4
										4
	100x1,01 = 101			(£);
	б) в данном cлучае
	A(0,	1	)	= 1 +	1		0,06 =1,005,
	12			12
	i1/12 = 0,06,
	А = 100			1,005 = 100,5 (₤).

Пример 2.3. Известно, что коэффициент накопления имеет вид (единица времени –

1 год) A(t1,tz) =exp 0,03(t2-t1).

а) показать, что A(t1,t2) удовлетворяет принципу согласованности; б) найти накопление 1000£ за 20 лет.

Решение.A. Пусть t0 < t1 < t2. Тогда
А(t0 ,t1) = exp 0,03(t1		t0 ) .
Перемножим (2.13) на (2.14)			и воспользуемся свойством показательной функции
ax a y ax y	:A(t0 , t1 ) = (exp	0,03(t2	t0 )	A(t0 , t2 )
Б. воспользуемся формулой (2.11):				А = 1000 exp 0.03 20 1882 ,12 (₤).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.В чем принципиальное отличие простых от сложных процентов?

2.Как определяются операции наращения и дисконтирования в схеме сложных процентов?

3.В чем отличие простой процентной ставки от номинальной?

4.Как определяется принцип согласованности?

14

З. СИЛА ПРОЦЕНТА

3.1.Определение силы процента

3.2.Связь между силой процента и коэффициентом накопления

3.3.Связь между номинальными процентными ставками и силой процента

3.4.Текущая стоимость

3.5.Формула Студли для силы процента

3.1.Определение силы процента

Впредыдущих разделах было введено понятие номинальной процентной ставки

ih(t). Особый интерес представляет предел этого выражения при h 0 Знак "плюс" здесь означает тот факт, что h стремится к нулю справа, то есть является положительной величиной. Этот предел называется силой процента, которую будем обозначать символом

(t ).Таким образом, по определению,
t lim ih t .	(3.1)

В финансовом смысле силу процента можно рассматривать как номинальную процентную ставку, конвертируемую мгновенно, однако на практике невозможно реализовать процентную ставку, конвертируемую сколько угодно часто в единицу времени. Поэтому хорошим приближением к силе процента, достаточным для целей практического финансового анализа, можно считать номинальную процентную ставку сроком на один день.

3.2Связь между силой процента и коэффициентом накопления

Подставим в формулу (3.1) выражение для номинальной процентной ставки, при этом получим

	(t) lim	A(t,t h) 1		(3.2)
		h
	h 0			.

Коэффициент А(t, представляет собой накопление единичного капитала к моменту t + h, инвестированного в момент времени t. Таким образом, сила процента есть скорость изменения единичного капитала в момент времени t.

Поставим обратную задачу: найти коэффициенты накопления с помощью силы процента. Если эта задача будет решена, то сила процента будет той универсальной величиной, с помощью которой можно будет решать любые финансово-экономические вопросы.

Теорема. Если (t) непрерывна, a A(t0 ,t) имеет производную при t > to, где to – начальный момент времени, то при условии выполнения принципа согласованности имеет

15

	t
место формула A(t0,t) = exp	(t)dt .		(3.3)
	t0
Доказательство. Рассмотрим выражение w(t) =		A(t, t	h) 1
			h

и умножим числитель и знаменатель на величину A(to,t). Тогда на основании принципа согласованности получим:

w(t) =	A(t	0,t) A(t,t h) A(t	0,t)		A(t0	,t h) A(t0,t)		.	(3.4)
		hA(t0 ,t)				hA(t	0,t)

Так как величина A(to,t) не зависит от приращения h, то формула (3.1) в силу (2.9) принимает вид

(t)	1	l i m	A(t0 , t) A(t0	,t)	.	(3.5)
	A(t0,t) h		h

Функция A(t0,t) является функцией одной переменной, а предел, стоящий в правой части (3.5), есть, по определению, производная от A(to,t). Поэтому равенство (3.5) можно записать в виде

(t)

Равенство (3.6) является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции А. Решим (3.6):

1			dA			,	dA	dt,
A dt							A
t	dA t								t t
						dt,		ln A
		A							t0
t0					t0				t0

t

ln A(t0 , t) ln A(t0 , t0 )

t0

(3.7)

dt,

dt

.

Так как	A(t0	, t0 ) 1	(см. формулу (2.10)), то равенство (3.7) принимает вид

t

ln A(t0 , t) (t)dt

t0

или

t

A(t0 , t) exp (t)dt

t0

Теорема доказана.

Замечание. Доказательство этой теоремы имеет важное методологическое значение, так как здесь явно прослеживается основная идея теории сложных процессов - идея непрерывного роста денег. Если в начальный момент времени t = 0 инвестируется сумма P0, то накопленный капитал A(t) за время t находится по формуле

16

(3.8)

Из формулы (3.3) можно получить связь между силой процента и годовой процентной ставкой. Для этого достаточно в (3.3) положить t0 = 0,t = 1:

(3.9)

Пример 3.1. Найти накопленную стоимость 100£ за год при силе процента 0,0835 в год. Найти годовую фактическую процентную ставку, соответствующую этой силе процента.

Решение. По формуле (3.8)

1

A 1 100exp 0,0835dt .

0

1

По формуле Ньютона-Лейбница 0,0835dt 0,835, поэтому А (1) = 100е0,0835 ₤.

0

На основании формулы (3.9) i = е0,0835 – 1= 0,0871.

Пример 3.2. Годовая фактическая процентная ставка равна 6 % Найти соответствующую ей постоянную силу процента.

Решение. По формуле (3.9)

(3.10)

Тогда

(3.11)

Пример 3.3. Накопление происходит при переменной силе процента, которая задается формулой (t) a b exp(t /10), где единица измерения времени – год. Найти а, b, если известно, что сумма 100£ дает накопление 150£ через 5 лет и 190£ через 10 лет.

Решение. Воспользуемся формулой (3.8)

(3.12)

(3.13)

.

Вычислим интегралы, стоящие в правых частях равенств (3.12), (3.13):

5

0

10

a b exp(t /10)dt (at 10b exp(t /10)	t	5	5a 10b(e	1/ 2	1,
	t	0

a b exp(t /10) dt (at 10b exp(t /10)	t	10	10a 10b(e 1).
	t	0

0

После этого система (3.12), (3.13) примет вид:

17

										(3.14)
	Умножим первое уравнение на 2 и вычтем из него второе:
	10(1	e) 20e1/ 2 b		2In1, In1,9
	или	b	2In1,5 In1,9				0,0402 . Подставим теперь выражение в первое уравнение
			10 1 e	20e1 / 2
	системы (3.14): 5a			10 e1/ 2				1 2In1,5 In1,9	In1,5,	а=0,5448,
					10(1			е) 20е1/ 2

3.3Связь между номинальными процентными ставками и силой процента

Впредыдущем разделе была установлена связь между фактической годовой процентной ставкой и силой процента. Аналогичным образом можно получить соотношения, связывающие номинальные процентные ставки с силой процента и, следовательно, с фактической годовой процентной ставкой.

За период времени h от начального момента t0= 0 единичный капитал прирастится на

	h
величину A(0,h) = exp	(t)dt .
	0

С другой стороны, по определению A(0, h) = 1+hih. Сравнивая две последние формулы, получим

(3.15)

.

Рассмотрим практически важный случай, когда сила процента не зависит от времени,

	то есть	T ( г ,н )l		x	. В этом случае формула (3.15) принимает вид: 1+hih. Учитывая тот факт,
		n x
	что e	1	i (см.формулу (3.10)) получим, что
							(3.16)
	Рассмотрим практически важный случай, когда h					1	p-целое. Тогда формула (3.16)
						p

примет вид

(3.17)

Здесь i(р)-номинальная процентная ставка, конвертируемая р раз в единицу времени, в частности в год. Из (3.17) можно получить выражение через i(р) и наоборот:

(3.18)

18

(3.19)

Из формулы (3.19) следует, что номинальная процентная ставка i(р) эквивалента фактической процентной ставке в единицу времени i в том смысле, что они приносят одинаковый доход за единицу времени.

Пример 3.4. Найти накопленную стоимость 100£ за 20 лет при: а) фактическая процентная ставка 5 % в год ;

б) номинальная процентная ставка 5 % в год, выплачиваемая ежеквартально; в) фактическая ставка 5 % в год, выплачиваемая в течение 10 лет, и номинальная

процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально в течение последующих 10 лет. Решение. А. Пользуясь формулой (2.2), получим А = 100(1+0,05)20 = 265,33₤.

Б. Так как 20 лет состоят из 80 кварталов, то А = 100(1 + 14 0,05)80 = 270,15₤;

	В. А = 100(1 + 0,05)10 (1	1	0,05)40	267,73₤.
		4

Пример 3.5. Пусть фактическая процентная ставка в год равна 10%.Найти эквивалентную ей фактическую ставку в квартал.

Решение. Воспользуемся формулой (3.19):	1	i	(4)	(1 0,1)	1/ 4	1 0,024.
	4

Это фактическая квартальная ставка. Номинальная ставка: i(4) = 4 (1 0,1)1/ 4 1 0,096 . Пример 3.6 При i = 0,07 найти: а) i(12), б) i(4), г) .

Решение. Воспользуемся формулой (3.19)

По формуле (3.10)

In1,07 0,0676.

В этом примере выполняются неравенства < i(12) < i(4) < i(2) < i.

Эти неравенства выполняются всегда, то есть для любых р1 < р2

3.4.Текущая стоимость

В предыдущих разделах была выведена формула накопления капит ала по известной силе процента:

(3.20)

19

где Р – начальный капитал; А – накопленная стоимость. Чтобы найти текущую стоимость, достаточно воспользоваться формулой (3.20) и найти Р:

(3.21)

Пусть накопленная стоимость А = 1. В этом случае величину Р обозначим через

V(t):

(3.22)

Таким образом, V(t) – это текущая стоимость суммы 1, накопленной за время t. Замечание. Формула (3.20) и, следовательно, формула (3.21) были выведены в случае,

когда 2 (t) является непрерывной функцией. Математически точно можно показать, что формула (3.20) остается верной, когда (t) кусочно-непрерывная, в частности, кусочно-постоянная.

Пример 3.7. Пусть сила процента равна 6 %. Найти текущую стоимость суммы 100£, выплачиваемой через 20 лет.

Решение. По формуле (3.21)

Пример 3.8. А. Пусть сила процента в банке А является кусочно-постоянной:

Какая сумма дает за 20 лет накопленную стоимость 250£?

Б. Банк Б выплачивает проценты по фактической ставке 6 % в год в течение 20 лет. В какой банк следует поместить деньги, чтобы за 20 лет получить максимальный доход?

Решение: А. Воспользуемся формулой 3.21: P = 250 exp

20	5	10	20
(t)dt	250exp	0,08ве 0,06dt	0,04dt 250exp 0,4				0,3 0,4 250е 1,3 83,22
0	0	0	0
₤.
Б. Найдем текущую стоимость суммы 250£ за 20 лет: Р =				250			77,95 ₤.
				1,06 20

Вывод: доход в банке А выше.

Рассмотрим практически важный частный случай, когда сила процента постоянна,

	t			t
t	. При этом exp	dt	exp	dt	exp t (e )t .
	0			0

Обозначим exp V , тогда

20