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.pdfПример 9. |
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Разбиваем на 2 интеграла, находим по таблице, возвращаемся к переменной x:
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Ответ: |
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Пример 10. |
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Можно заменять не корень, а весь знаменатель, в котором он находится.
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Пример 12. Найдём |
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Пример 13. Найдём |
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. Показательные функции допускают несколько |
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1-й способ. Заменим t |
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2 t |
2 |
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По таблице (интеграл 2) |
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Возвращаясь к старой переменной, запишем |
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Ответ: |
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C , что равносильно ln |
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2-й способ. Заметим, что |
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. Заменим ex |
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1 2e x |
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dt . Подставим: |
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C |
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ln1 |
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C |
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2ex |
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Ответ тот же, что при решении 1-м способом. Учли, что 1 |
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0 при лю- |
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бом x, поэтому модуль можно опустить. |
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Кроме того, в интеграле |
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ex dx |
можно вместо замены ex |
t |
подвести ex |
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1 |
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2ex |
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под знак дифференциала, как в § 2: |
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d e x |
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1 2ez |
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1 2e x |
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1 2e x |
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или же заменить 1 |
2ex |
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t , откуда x |
ln |
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и dx |
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dt |
, после чего получить |
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e x dx |
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dt |
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1 2e x |
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t t |
1 |
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и найти так, как в § 3. Все ответы будут одинаковы.
33
§ 5. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид UdV UV VdU, где U,V –
любые функции. Цель её применения – получить интеграл проще исходного и найти его каким-либо способом (например, как табличный).
В качестве U берётся функция, производная которой выглядит проще, чем сама U . Таким свойством обладают логарифмы и обратные тригонометрические функции. Если их нет под знаком интеграла, то обычно U – полином.
Оставшаяся часть подынтегрального выражения принимается за dV , и от неё
берётся интеграл, чтобы восстановить функцию V . |
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Реже применяются формулы u x v |
x dx |
u x v x |
v x u |
x dx , а также |
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f x g x dx |
f x G x |
G x f |
x dx , где G |
x |
g x . |
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x |
|
|
x |
|
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|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
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Пример 1. |
|
1 e 6 dx |
? Выбираем U |
|
1, тогда dV |
e 6 dx . Необхо- |
|||||||||||||||||
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|
|
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||||||||||||||||||||
4 |
4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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димо найти V и dU : |
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||||||||
|
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|
|
x |
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||
V |
dV e 6 dx |
6e 6 , |
dU d |
|
1 |
1 dx |
|||||||||||||||||
4 |
4 |
|
4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в формулу интегрирования по частям:
|
x |
|
|
|
x |
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
x |
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||
|
1 e |
6 dx |
1 |
6e 6 |
6e |
6 |
6 |
1 e 6 |
|||||||||||||||
4 |
4 |
4 |
4 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Интеграл от e 6 |
уже известен и равен |
6e 6 |
. Значит, |
|
|
|
|
6 |
|
x |
||
|
|
|
||
e 6 dx . |
||||
|
||||
4 |
||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
x |
|
x |
|
1 e 6 dx |
6 |
1 e 6 |
||||||
4 |
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
x |
|
3x |
|
x |
|
x |
|
|
6e 6 |
6 |
e 6 |
9e 6 |
C . |
||||||
4 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
|
|
|
C (вынесли общий множитель и упростили). |
|||||||
3 |
1 e 6 |
||||||||||
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2. |
|
|
4x 7 cos5xdx ? Выбираем U 4x |
7 , тогда dV |
cos5xdx , |
||||||
V |
dV |
cos5xdx |
1 |
sin5x , dU d 4x 7 |
4x 7 dx |
4dx . |
|||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
Подставим в формулу интегрирования по частям:
4x 7 cos5xdx 4x 7 |
sin5x |
|
sin5x |
4dx |
4x 7 |
sin5x |
|
4 |
sin5xdx . |
|
5 |
5 |
5 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
34
Поскольку |
sin5xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos5x , получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
4x |
7 |
sin5x |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos5x |
C , или |
4x |
7 |
|
sin5x |
|
4 |
cos5x |
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
25 |
|
|
|
|
|||||||||
Пример 3. |
3x 5 sin |
|
2x |
dx |
? Пусть U |
|
3x |
5 , тогда dV |
|
sin |
2x |
dx , далее |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|||||
|
V |
dV |
|
|
sin |
2x |
dx |
|
7 |
cos |
2x |
, |
|
|
|
dU |
d 3x |
5 |
|
3x |
5 |
dx |
3dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
По той же формуле интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x |
|
5 sin |
|
2x |
dx |
|
|
3x |
5 |
|
|
7 |
|
cos |
2x |
|
|
|
|
|
|
7 |
cos |
2x |
3dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
3x |
5 cos |
2x |
|
21 |
cos |
2x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
7 |
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Но |
cos |
2x |
dx |
|
7 |
sin |
2x |
|
|
|
|
|
C |
, и тогда, с заменой |
21 |
C |
на С, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
7 |
|
3x |
5 cos |
2x |
|
|
|
|
|
147 |
sin |
2x |
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратите внимание, что константа при интегрировании по частям пишется только на последнем шаге.
ИЧ1. Найдите интегралы
1) |
e2 x 4x 3 dx; |
e 2 x 4x 3 dx; |
|
|
|
|
e3x 5 2x dx; |
ex / 3 6x 5 dx; |
e x / 3 8x 1 dx ; |
||||||||||||||||||||||||||
2) |
x cos3xdx; |
2x |
3 cos xdx; |
5 |
|
x cos3xdx; |
5 |
2x cos4xdx; |
8x |
|
1 cos2xdx ; |
||||||||||||||||||||||||
3) |
x sin 4xdx; |
4x |
2 sin xdx; |
4x |
2 sin 6xdx; |
5 |
|
|
x sin 2xdx; |
3x |
|
2 sin 4xdx ; |
|||||||||||||||||||||||
4) |
x cos |
x |
dx; |
2x |
3 cos |
x |
dx; |
|
x |
1 |
cos xdx; |
5 |
|
x |
cos |
|
x |
dx; |
x |
2 |
cos |
2x |
dx ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
||||||||||||||||
5) |
x sin |
x |
dx; |
6x |
1 sin |
x |
dx; |
x |
2 |
sin xdx; |
1 |
x |
sin |
x |
dx; |
|
x |
2 |
sin |
x |
dx . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
ИЧ2. Найдите интегралы, дважды выполнив интегрирование по частям:
1) |
e 2 x x2 3 dx; |
e3x x 3x2 dx; |
ex / 3 6x2 1 dx; |
e x / 3 x 3x2 dx ; |
|||||||||||
2) |
x2 cos3xdx; |
2x2 |
3 cos4xdx; |
5 |
x2 sin3xdx; |
5x |
x2 sin4xdx ; |
||||||||
3) |
x2 cos |
x |
dx; |
x2 |
x sin |
x |
dx; |
x2 |
6 cos |
3x |
dx; |
6x |
3x2 sin |
4x |
dx . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
6 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
3 |
|
35
Пример 4. Найдём |
|
x2 |
2 e 3x dx . |
|
Выбираем |
|
|
|
|
U x2 |
2, |
|
dV |
e 3x dx , |
тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dU 2xdx и V |
|
|
|
, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
2 e 3x dx |
|
x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
e 3x |
|
|
|
|
|
e 3x |
|
|
2xdx |
|
1 |
|
x2 |
2 e 3x |
|
|
2 |
|
|
|
xe 3x dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Новый интеграл также находится по частям. Теперь U |
|
|
x, |
|
dV |
|
e 3x dx , соот- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ветственно dU |
dx, V |
|
|
|
, и тогда (подразумевая |
|
C в будущем ответе) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xe 3x dx x |
|
|
e 3x |
|
|
|
|
e 3x |
dx |
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x |
e 3x |
1 |
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e 3x dx |
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x |
e 3x |
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1 e 3x |
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x 1 |
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e 3x . |
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3 |
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3 |
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3 |
3 |
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3 |
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3 |
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3 |
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3 |
9 |
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Подставим этот результат вместо |
xe 3x dx в равенство, полученное на 1-м шаге: |
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x2 |
2 e 3x dx |
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1 |
x2 |
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2 e |
3x |
2 |
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x |
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1 |
e 3x |
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1 |
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x2 |
2 e 3x |
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2x |
e 3x |
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2 |
e 3x . |
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3 |
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9 |
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3 |
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9 |
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27 |
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Если вынести за скобку e 3x |
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и упростить, получим |
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Ответ: |
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1 |
e 3x 9x2 |
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6x |
20 |
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C . |
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27 |
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Пример 5. Чтобы по частям найти |
4x2 2x cos |
x |
dx , выбираем U |
4x2 |
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2x |
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2 |
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и dV |
cos |
x |
dx , тогда dU |
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8x |
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2 dx, V |
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2 sin |
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x |
. Значит, |
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2 |
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2 |
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4x2 |
2x cos |
x |
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dx |
2 4x2 |
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2x sin |
x |
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2 sin |
x |
8x |
2 dx , |
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2 |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||
что равносильно |
8x2 |
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4x sin |
x |
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2 8x |
2 sin |
x |
dx . |
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2 |
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2 |
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Теперь берём U |
8x |
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2, |
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dV |
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sin |
x |
dx , тогда dU |
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8dx, V |
2 cos |
x |
. Отдельно |
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2 |
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находим новый интеграл |
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8x |
2 sin |
x |
dx |
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8x |
2 |
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2 cos |
x |
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2 cos |
x |
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8dx |
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16x |
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4 cos |
x |
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16 |
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cos |
x |
dx . |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||||
Но |
cos |
x |
dx |
2 sin |
x |
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C , и поэтому |
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2 |
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2 |
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1 |
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8x 2 sin |
x |
dx |
16x |
4 cos |
x |
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32sin |
x |
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16C |
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, |
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2 |
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2 |
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2 |
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1 |
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где 32 162 . Возвращаясь к предыдущему шагу, получаем, что
36
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4x2 |
2x cos |
x |
dx |
|
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8x2 |
4x sin |
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x |
2 |
16x |
4 cos |
x |
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32sin |
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x |
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C , |
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2 |
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2 |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||
или, после необязательных упрощений, окончательный |
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Ответ: 8x2 |
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4x |
64 sin |
x |
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32x |
8 cos |
x |
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C . |
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2 |
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2 |
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ИЧ3. Найдите интегралы по частям, выбрав подходящие U и dV : |
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1) |
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x2 ln 2xdx; |
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x4 lg10xdx; |
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log2 3x |
dx; |
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log2 x |
dx ; |
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x4 |
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x6 |
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2) |
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arctg 2xdx; |
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x arctg 2xdx; |
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x2 arctg 4xdx; |
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2x |
3 arctg 2xdx ; |
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3) |
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arc sin 2xdx; |
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arc sin |
2x |
dx; |
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arc cos4xdx; |
arc cos |
3x |
dx . |
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3 |
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Пример 6. Найдём |
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ln 4x |
dx , для чего запишем его как |
x 9 ln 4xdx . Под зна- |
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x9 |
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ком интеграла есть логарифм, |
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именно его следует взять в качестве U: U ln 4x . |
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Тогда dV |
x 9dx . |
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Находим dU |
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d ln 4x |
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ln 4x |
dx |
4 |
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dx |
dx |
, также V |
x 9dx |
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x 8 |
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, тогда |
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4x |
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x |
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8 |
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x 9 ln 4xdx |
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x 8 |
ln 4xdx |
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x 8 |
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dx |
. |
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8 |
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8 |
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x |
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Далее |
ln 4x 1 |
x 9dx |
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ln 4x |
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1 x 8 |
C |
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ln 4x |
1 |
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C . |
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8x8 |
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8 |
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8x8 |
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8 8 |
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8x8 |
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64x8 |
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Ответ: |
1 |
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1 |
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ln 4x |
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C . |
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8x8 |
8 |
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Пример 7. |
Найдём |
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arcsin 6xdx . Берём |
U |
arcsin 6x, dV dx |
и, |
очевидно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V x (постоянную C не пишем). Кроме того, dU |
|
|
d arcsin 6x |
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|
6dx |
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, тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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36x2 |
||||||||||
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arcsin6xdx |
|
|
x arcsin6x |
|
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x |
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6dx |
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, |
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1 |
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36x2 |
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|||||||||
где интеграл |
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6xdx |
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можно найти так: |
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1 36x2 |
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6xdx |
1 |
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72xdx |
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1 |
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d |
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36x2 |
1 |
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d 1 |
36x2 |
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1 |
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2 1 |
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36x2 C . |
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1 |
36x2 |
12 |
1 |
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36x2 |
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12 |
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1 36x2 |
12 |
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1 |
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36x2 |
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37
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xdx |
1 |
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Удобно запомнить, что |
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1 |
kx2 C |
при любом k 0 . Итак, |
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||||||||||
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k |
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1 |
kx2 |
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||||||||||
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1 |
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||||||||||
Ответ: arcsin 6xdx |
x arcsin 6x |
1 |
36x2 |
C . |
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6 |
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Более сложные интегралы вида |
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xn arcsin xdx при n 1 обычно находят так: |
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1) |
заменой arcsin x t сводят к интегралу |
t sinn t cost dt ; |
||||||||||||||||
2) |
выбирают U |
t , dV |
sinn t cost dt ; |
|
||||||||||||||
3) |
по частям приходят к интегралу |
sinn 1 tdt ; |
4) берут его по стандартной схеме, приведённой в любом учебнике.
§ 6. Замечание о двух способах интегрирования
Иногда возникают следующие ситуации:
а) перед интегрированием по частям необходимо заменить переменную; б) замена переменной необязательна, но упрощает или ускоряет интегри-
рование по частям; в) интеграл можно найти как по частям, так и заменой переменной.
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4 |
t2 |
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e 4 2 x dx |
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t2 , |
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||||||||||||||
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Пример 1. |
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? Пусть |
4 |
|
2x |
|
t , тогда 4 |
|
2x |
x |
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|
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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||||||
dx |
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tdt , после чего |
|
e 4 2 x dx |
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et tdt . |
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|||||||||||||||||||
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Интеграл |
et tdt легко берётся по частям: |
et tdt |
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et t |
et |
|
C |
, поэтому |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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e 4 2 x dx |
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et t et |
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C et 1 t C e 4 2 x 1 4 2x C . |
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t2 , |
|||||||||||||||||||
|
Пример 2. Найдём |
cos 3 |
6xdx . Обозначим |
3 |
6x |
|
t , откуда 3 |
|
6x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
t 2 |
|
t |
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1 |
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|||||||
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|||||||||||
x |
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и dx |
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dt . Тем самым |
cos |
3 |
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6xdx |
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cost |
tdt , где t |
3 |
6x . |
|||||||||||||||||||||||||
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6 |
3 |
|
3 |
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||||||||||
Интегрируя по частям, получим, что |
t costdt |
t sin t |
cost |
C1 . |
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1 |
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Значит, cos 3 |
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6xdx |
3 |
6x |
sin |
3 |
6x |
cos |
3 |
6x |
C . |
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3 |
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38
ЗС1. Заменив переменную и проинтегрировав по частям, найдите
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1) e x dx; |
2 x dx; |
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e x 2 dx; |
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e 3x 2 dx; |
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e 5 3x dx; |
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6 5 3x dx ; |
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2) sin |
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xdx; |
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cos |
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xdx; |
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sin |
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x |
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3dx; |
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cos |
4x |
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1dx; |
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sin |
6 |
7xdx . |
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Пример 3. |
xdx |
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? |
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x |
3 |
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3 |
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1-й способ. Заменим x |
3 |
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t , тогда x |
t |
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3, dx |
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dt , и поэтому |
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xdx |
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t |
3 |
dt |
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t |
dt |
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3 |
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dt |
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t |
2dt |
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3 t 3dt |
t 1 |
3 |
t 2 |
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1 |
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3 |
C . |
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3 3 |
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t3 |
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t3 |
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2t 2 |
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x |
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t3 |
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1 |
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2 |
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t |
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Но t |
x 3 , и тогда |
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xdx |
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1 |
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3 |
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C . |
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x |
3 3 |
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x |
3 |
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2 x |
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3 2 |
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2-й способ. Обозначим x |
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U , тогда dV |
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1 |
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. Находим dU |
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dx , а также |
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x |
3 |
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3 |
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V |
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dV |
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1 |
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dx |
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x 3 3 dx |
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x 3 2 |
. |
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3 3 |
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x |
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2 |
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По формуле интегрирования по частям |
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xdx |
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x |
3 |
2 |
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x |
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x |
3 |
2 |
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dx |
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x |
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1 |
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x |
3 |
2 dx . |
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x |
3 3 |
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2 |
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2 |
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x |
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3 2 |
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2 |
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Поскольку |
x |
3 |
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2 dx |
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x |
3 |
1 |
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1 |
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, то |
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1 |
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x |
3 |
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xdx |
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x |
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1 |
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1 |
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C . |
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x |
3 3 |
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x |
3 2 |
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2 |
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|
x |
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3 |
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|||||||||||||||||||
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Результаты после упрощения отличаются только числом, что объясняется произвольным характером постоянной С.
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Пример 4. Найдём |
x |
|
x |
1dx заменой, а затем – по частям. |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
1-й способ. Заменим |
|
|
|
|
t , тогда x |
t 2 |
|
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2tdt . Подставим: |
||||||||||||||||||||||||||
x |
1 |
|
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|
1, dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
2 |
|
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4 |
|
2 |
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t5 |
|
|
t3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
2 |
5 C . |
||
x |
|
x |
|
1dx |
t |
|
1 t |
|
2tdt |
|
2 t |
t |
dt |
2 |
C |
t |
3t |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
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5 |
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3 |
15 |
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||||||||||||||||||||||||
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|||||||
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
||||
Но t |
x |
1 , поэтому |
|
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||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
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x 1 3 3 x 1 5 C |
|
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|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x x 1dx |
|
|
|
x 1 3x 2 x 1 C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
15 |
|
15 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
39
|
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|
|
|
|
|
|
x |
1 |
3/ 2 |
|
2-й способ. Выбираем x |
|
U , |
dV |
x 1 , тогда V |
x |
1dx |
|
|
и |
||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||
|
|
3 / 2 |
|||||||||||||||||||||
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|||
dU dx . Подставим в формулу интегрирования по частям: |
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|||||||||||||
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x 1 3/ 2 |
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2 |
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3/ 2 dx |
2 |
x x 1 3/ 2 |
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2 |
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x 1 5 / 2 |
|
C . |
|||||
x x 1dx |
x |
x 1 |
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||||||||||||||||||
3 / 2 |
|
3 |
3 |
3 |
5 / 2 |
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Упростим, чтобы сравнить с тем, что получено ранее:
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2 |
x 1 3/ 2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
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3 |
x |
2 |
C . |
|
x x 1dx |
x |
x 1 |
C |
x 1 x 1 |
|||||||||||||
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|
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|||||||||||||
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3 |
|
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5 |
|
|
3 |
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5 |
5 |
|
Результаты совпадают.
ЗС2. Найдите интегралы двумя способами – по частям и заменой переменной. Сравните результаты. Оцените, какой способ проще или удобнее:
1) |
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x |
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dx; |
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|
x |
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dx; |
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2x 3 |
dx; |
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|
|
3 x |
|
|
dx; |
|
|
|
|
3x 1 |
|
dx ; |
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 1 |
2 |
|
|
|
x 1 |
4 |
|
|
x 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2x 5 |
3 |
|
|
|
|
4 2x |
4 |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2) x |
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x |
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2dx; |
x 3 |
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x |
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2dx; x |
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2x |
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5dx; |
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2x |
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4 |
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3 xdx; |
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4 |
6x 3 |
2xdx ; |
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3) |
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x |
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dx; |
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x |
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dx; |
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2 |
x 1 |
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dx; |
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x |
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dx; |
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4x 5 |
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dx . |
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x 1 |
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1 x |
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x 3 |
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4x 3 |
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3 8x |
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Пример 5. Интеграл |
ln xdx можно найти по частям, взяв ln x U и dV |
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dx : |
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ln xdx |
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x ln x |
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x |
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1 |
dx |
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x ln x |
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dx |
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x ln x |
x |
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C . |
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x |
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А можно заменить ln x |
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t , тогда x |
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et |
и dx |
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et dt , и потому |
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ln xdx |
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tet dt . |
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Взяв t |
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U и соответственно dV |
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et dt , применяем интегрирование по частям: |
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tet dt tet |
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et dt tet |
et |
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C . |
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Но t |
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|
ln x |
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|
и et |
x , и, возвращаясь к старой переменной, получаем тот же ответ. |
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Пример 6. Интеграл |
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ln x |
dx можно найти по частям: |
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x6 |
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U |
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ln x |
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dU |
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dx |
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1 |
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1 |
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5 dx |
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ln x 1 x |
5 |
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6 |
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x |
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5 |
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C , |
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x |
ln xdx |
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x |
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ln x |
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x |
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6 |
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1 |
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5 |
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5 |
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5 |
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x |
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5x5 |
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5 5 |
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dV |
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x |
dx |
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V |
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x |
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5 |
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