37

этих факторов на фирме в краткосрочном периоде составляют MPK = 6, MPL = 4. Как использовать фирме факторы производства для максимизации объема производства в краткосрочном периоде?

5.Дана производственная функция: Q = 4L0,8К0,2. Чему равно отношение предельной производительности труда к средней производительности труда?

6.Дана производственная функция: Q = 2L0,2К0,8. Чему равно отношение предельной производительности капитала к средней производительности капитала?

7.Каждый токарный станок на фирме работает в три смены. Тарифная ставка токаря за смену w = 2, плата за суточную аренду r = 30. Издержки ТС = 432. Определите, сколько станков и токарей занято в сутки?

8.Производственная функция задана уравнением: Q = L0,5К0,5. Цена капитала равна 40 дол. в день, цена труда – 10 дол. в день. Определите минимальные затраты фирмы на выпуск 10 единиц продукции в день.

9.Производственная функция фирмы представлена в виде Q = 6L1/5К4/5. Цены на капитальные и трудовые ресурсы составляют 20 и 35 руб. за единицу при величине затрат 7 000. Определите количество используемого капитала и труда.

10.Производственная функция фирмы представлена в виде Q = 5L1/4К3/4. Количество используемого капитала равно 15 единицам, а труда – 10. Определите цены на капитальные и трудовые ресурсы при объеме затрат, равном 800, в условиях максимизации выпуска.

Тема 7. Развитие теории производственных функций

Ключевые термины

Производственная функция с постоянной эластичностью замены; однородные производственные функции; влияние научно-технического прогресса на производственную функцию; экзогенный и эндогенный технический прогресс; многопродуктовые производственные функции.

Тесты

1. Какое из представленных уравнений есть уравнение производственной функции Кобба-Дугласа:

а) Q = k*(Tα + Kβ + Mγ); б) Q = k*Tα + Kβ + Mγ;

38

в) Q = k*(T + K + M) α; г) Q = k*Tα *Kβ *Mγ?

2.Технический прогресс оказывает влияние на производственную функцию таким образом:

а) объем выпуска растет; б) падает интенсивность использования ресурсов;

в) растет технологическая норма замены трудом капитала; г) нет верного ответа.

3.При графическом изображении производственной функции с двумя переменными факторами изокоста есть линия…

а) … равных производственных возможностей двух факторов; б) … которая сочетает все комбинации двух факторов, использование кото-

рых обеспечивает одинаковый объем выпуска продукции; в) постоянной предельной производительности двух переменных факторов;

г) постоянной нормы технологического замещения факторов.

4.В отличие от потребителя, для фирмы не являются заданным:

а) … расходы на ресурсы; б) … выпуск продукции;

в) … применение новых технологий; г) все вышеперечисленное верно; д) нет верного ответа.

5.В теоретической модели изменение качества ресурсов – это: а) … появление нового типа ресурсов; б) … модификация уже имеющегося ресурса;

в) … изъятие прежнего ресурса из производства; г) … все ответы верны.

6.Дана производственная функция Q = 1/2L0,8К0,9. Какой экономией от масштаба она характеризуется:

а) возрастающей; б) постоянной; в) убывающей;

г) ничего определенного сказать нельзя?

39

7.Графическим изображением двухфакторной производственной функции в общем случае является:

а) кривая средней производительности факторов; б) кривая предельной производительности факторов; в) карта кривых постоянного выпуска;

г) линия постоянной нормы технического замещения факторов; д) линия бюджетного ограничения.

8.Если в коротком периоде достигнут максимальный объем производства, это означает, что:

а) средний (АР) и предельный (МР) продукты от переменного фактора равны; б) средний продукт (АР) достигает своего максимума, а предельный продукт

(МР) равен нулю; в) достигается максимум значений предельного продукта (МР) при мини-

мальных значениях среднего продукта (АР); г) предельный продукт (МР) становится равным нулю, а средний продукт

(АР) убывает; д) нет правильного ответа.

9.Предельная норма технического замещения труда капиталом равна ½. На сколько единиц необходимо увеличить использование капитала, если количество используемого труда сокращается на 6 ед., а объем производства продукции остается прежним:

а) на 6 ед.; б) на 3 ед.; в) на 12 ед.; г) на 2 ед.;

д) необходима дополнительная информация.

10.Убывающая предельная норма технического замещения характерна:

а) для изокосты; б) кривой совокупного выпуска;

в) изокванты, выпуклой к началу координат (вогнутой); г) изокванты, изображающей производственную функцию, для которой ха-

рактерна взаимозаменяемость ресурсов; д) изокванты, изображающей производственную функцию, для которой ха-

рактерна взаимодополняемость ресурсов.

40

Примеры решения задач

Пример 1

Какая отдача от масштаба у производственной функции Q = 13KL?

Решение

Отдача от масштаба определяется увеличением факторов производства в n раз. Если объем производства вырастет в n раз, то отдача постоянная (нулевой эффект от масштаба), если больше, чем в n раз, – растущая (положительная), если меньше, чем в n раз, то убывающая (отрицательная). Удвоим количество K и L; Q = 13 × (2K) × (2L) = 13 × 4 × K × L. Объем производства Q вырос в 4 раза,

значит, отдача растущая.

Пример 2

Рассмотрим производственную функцию f(z), соответствующую технологии с единственным выпускаемым продуктом и технологическое множество Y. Докажите или опровергните следующее утверждение:

если Y обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то производственная функция f(z) – однородная функции первой степени.

Решение

Пусть f(z) – производственная функция, где z R+N – 1 – вектор затрачиваемых ресурсов. Тогда (-z, f(z))' Y и в силу постоянной отдачи от масштаба (-λz, λ f(z)) Y, λ > 0. Поскольку f(z) – по определению производственной функции максимальный выпуск, который можно произвести, используют z факторов про-

изводства, то из (-λz, λ f(z)) Y следует, что λ f(z) ≤ f(λz).

Поскольку (-λz, λ f(z)) Y, то в силу постоянной отдачи от масштаба произ-

водственного множества Y выполнено (-z, ) Y, тогда по определению производственной функции f(z) ≥ или λ f(z) ≥ f(λz). Таким образом, условия

λ f(z) ≤ f(λz) и λ f(z) ≥ f(λz) могут одновременно выполняться только в том случае, если λ f(z) = f(λz), для всех λ >0, а это означает, что производственная функция однородна первой степени.

Задачи

1. Производственная функция задана уравнением: Y = 19K1/2L1/3. Какова ее отдача от масштаба?

41

2. Производственная функция фирмы Q = . Она покупает труд по цене PL. Выведите уравнения функции предложения фирмы и изопрофиты максимальной прибыли.

3.Фирма работает по технологии Q = L0,25К0,5 и может покупать факторы производства по ценам PL = 2; PК = 10. Сколько труда она будет использовать, если сможет продавать свою продукцию по цене Р = 60?

4.Зависимость выпуска продукции от количества используемого труда отображается функцией

Q = 50L + 5L2 – 0,5L3.

Определите эластичность выпуска по труду при использовании 5 ед. труда.

5.Технология производства фирмы, максимизирующей прибыль, задана производственной функцией Q = 20L0,5 . Цена труда rL = 2, а цена продукции фирмы Р = 5.

Определите: а) выпуск фирмы; б) общие затраты на выпуск; в) средние затраты; г) предельные затраты; д) объем спроса фирмы на труд.

6.Фирма с функцией общих затрат ТС = 8 + 8Q + 2Q2 может продать любое количество своей продукции по цене Р = 20:

1) определите выпуск фирмы: а) минимизирующий средние затраты; б) максимизирующий прибыль;

2)рассчитайте максимальную величину: а) прибыли; б) излишка производителя;

3)определите эластичность предложения фирмы по цене, когда она получает максимум прибыли.

7.При цене 8 ден. ед. за 1 кг фермер, имеющий линейную функцию предложения, продал 10 кг яблок. Эластичность предложения по цене равна 1,6. Сколько килограммов яблок продаст фермер, если цена 1 кг будет равна 12 ден. ед.?

8.Производственная функция описывается формулой Q = 2KL. Плата за использование единицы капитала равна 50 дол. в месяц, зарплата составляет 100 дол. в месяц за единицу труда. Каков минимальный объем издержек, необходимый для выпуска 20 единиц? Какова при этих условиях оптимальная комбинация используемых ресурсов?

9.Для производства 48 единиц продукта фирма использует 48 единиц труда

и12 единиц капитала. Какова будет предельная производительность капитала, если предельная производительность труда 0,5, и мы имеем постоянную экономию от масштаба?

10.Технология производства фирмы, максимизирующей прибыль, задана