5617

yt	yt	1 t , t	1,2,..., n,	(1.2)
где t – процесс белого		шума,	y0 – некоторая случайная величина
(начальное значение), а		0 – некоторый постоянный коэффициент.
Вычислим дисперсию этого процесса.
		D(yt) = β2 D(yt-1) + σ2,

где σ2 – дисперсия белого шума. Если рассматриваемый временной ряд стационарный, то D(yt) = D(yt-1), тогда D(yt) = β2 D(yt) + σ2 или D(yt) = σ2/(1- β2), что имеет смысл, если |β|<1. Получили, что если |β|<1, то модель (1.2) описывает стационарный временной ряд,

Запишем соотношение (1.2) через процесс белого шума. Для этого перепишем (1.2) для индекса t-1. Получим yt-1 = βyt-2 + t-1. Подставив полученное выражение для yt-1 в (1.2) получим yt = β(βyt-2 + t-1) + t или yt = β2yt-2 + β t-1 + t. Повторив эту процедуру (подставив в последнее выражение

yt-2) получим	yt	= β3yt-3	+ β2 t-2 + β t-1 + t и т.д. Окончательно
получим (при y0 =0):
	yt = βt-1	1 + βt-2	2 +…+ β2 t-2 + β t-1 + t.
Пусть теперь	1. Тогда

yt = 1 + 2 +…+t-2 + t-1 + t.

Вычислим дисперсию последнего процесса. Получим D(yt) =tσ2, т.е. дисперсия зависит от времени и процесс, описываемый моделью (1.2) при 1, не является стационарным. Такие процессы называют процессами случайного блуждания (random walk process). Такое название объясняется тем, что каждое последующее значение уровня такого ряда определяется случайным отклонением от предыдущего: yt = yt-1 + t.

Процесс случайного блуждания отличается от стационарного процесса AR(1) тем, что влияние возмущений t в нём не затухает:

yt = t + t-1 + t-2 + t-3 +…

в то время как в AR(1) их влияние с течением времени затухает (|β| < 1):

yt = t + β t-1 + β2t-2 + β3t-3 + … .

Процесс случайного блуждания называют также процессом со

стохастическим трендом и записывают yt =				.
Если в процесс случайного блуждания yt = yt-1				+	t включить константу,

т.е. представить его в виде yt = µ + yt-1 + t, то получим случайное блуждание с дрейфом (random walk with drift). Такое название он получил потому, что повторив для этого процесса вышеприведённую процедуру получим

31

yt = µ t + 1 + 2 +…+t-2 + t-1 + t.

Вэтом случае на стохастический тренд накладывается ещё и

детерминированный линейный тренд, т.е. yt = µ t +						.
Если	1, то имеем нестационарный случайный			процесс взрывного

характера и в экономическом анализе такие процессы обычно не рассматриваются.

На рисунке 1.21 приведены примеры временных рядов для рассмотренных случаев. Вверху, слева пример белого шума, справа – пример

случайного блуждания (AR(1)-процесс без				константы	с	1 ). Внизу,
справа – пример			случайного блуждания с	дрейфом	(AR(1)-процесс с
константой и с			1). Внизу, слева – AR(1)-процесс взрывного характера (с
β =1,1, т.е. с		1).

Рисунок 1.21 – Графики анализируемых рядов

Введём понятие лагового оператора L. Если его применить к ряду yt,, то тем самым сдвинем уровень ряда на один такт времени назад, т.е. Lyt = yt-1. Перепишем процесс случайного блуждания с помощью этого оператора: yt =

yt-1 +	t или yt – yt-1 =	t. Далее (с применением оператора сдвига) получим yt –
Lyt =	t или (1-L)yt =	t. Такие процессы называются процессами единичного

корня. Этот термин объясняется тем, что у лагового полинома (L) 1 L корень равен единице, т.е. корень уравнения β(L) = 0 равен единице (L = 1).

На практике модель случайного блуждания используется для описания относительных показателей, в том числе динамики темпов роста, а процесс случайного блуждания с дрейфом – для описания многих временных рядов,

32

описывающих абсолютные показатели, включая предложение денег и реального валового национального продукта.

Следует различать типы стационарных процессов: они могут быть стохастическими и AR(1)-процессами. Визуально их различить проблематично. Так, на рисунке 1.22 приведены графики двух стационарных рядов; слева – белый шум, справа – AR(1)-процесс с параметром β = 0,5.

Рисунок 1.22 – Графики анализируемых рядов

Рисунок 1.23 – Кореллограммы анализируемых рядов

Визуально они действительно мало различимы, но их кореллограммы существенно различаются. В случае белого шума автокорреляции не выходят за пределы доверительной области нуля и соответствующие Q- статистикам вероятности больше 0,05 (левая часть рисунка 1.23). А в случае стационарного AR(1)-процесса автокорреляции и частные автокорреляции (по крайней мере, первого порядка) значимо отличны от нуля и Q-статистика и соответствующие им вероятности отклоняют гипотезу о том, что это белый шум. Но тем не менее этот ряд стационарный.

33

1.10.2. Процесс случайного блуждания и единичный корень

При анализе временных рядов важно знать, является ли ряд стационарным. Рассмотрим стационарный AR(1)-процесс или процесс

Маркова: yt = β1yt-1 + ut с		1	1,	ut	N(0, 2 ). Используя лаговый оператор,
перепишем преобразованное выражение yt – β1yt-1 = ut						в виде (1 – β1L)yt-1 =
ut. Откуда видим,	что корень лагового оператора (L)					1 1 L (т.е. корень
уравнения (L) 1	1 L =0) равен			1/	1 , который при условии		1	1 больше

единицы. Как мы видели, процесс случайного блуждания (он не стационарный) имеет единичный корень, а стационарный AR(1) процесс – корень, который меньше единицы. Поэтому, чтобы протестировать временной ряд на стационарность, достаточно рассмотреть нулевую гипотезу H 0 : 1 1 против альтернативной гипотезы H1: 1 1.

Итак, одним из методов тестирования временного ряда на стационарность является проверка гипотезы о единичном корне в уравнении t = 1yt-1. Как известно, осуществить эту проверку можно на основании t-статистики. Однако, как показали Дики и Фуллер (D.A. Dickey, W.A. Fuller), если верна нулевая гипотеза о единичном корне, то в этом случае t-статистика не следует распределению Стьюдента (дисперсия процесса зависит от времени). Фуллер построил таблицу для определения критических значений t- статистики для случая единичного корня, отсюда название этой t-статистики

(DF-t-статистика) и теста (Dickey–Fuller Unit Root Test).

Чтобы было удобнее тестировать гипотезу о единичном корне, исходное

уравнение теста yt	= β1yt-1 + ut преобразовывается к виду	yt = (β1	– 1)yt-1 + ut
или, после замены	( 1 1) к виду yt = yt-1 + ut. Тогда нулевая гипотеза
формулируется в привычном для такой проверки виде:		H 0 :	0	(в этом
случае β1 = 1), а альтернативная гипотеза формулируется в виде				H1 :	0

(т.е. β1 < 1). Поскольку вариант β1 > 1 не рассматривается (взрывной процесс), то в этом случае формулируется односторонняя гипотеза. Тестируется H 0 на основе DF-t-статистики, которая, если верна H 0 , имеет

DF-t-распределение. Критические значения этой статистики зависят от вида тестируемой модели, а именно: включены ли в модель константа или константа и детерминированный тренд. Эта информация будет нужна при заполнении диалогового окна теста Дики – Фуллера. Соответствующий

34

запрос появится при вызове процедуры этого теста в пакете EViews (рисунок

1.24).

Рисунок 1.24 – Диалоговое окно теста Дики – Фуллера на единичный корень

Как видим, в позиции «Include in test equation – включить в тестовое уравнение» предполагается три варианта – включить в тестовое уравнение пересечение (константу), тренд и пересечение и ни того ни другого (None). На рисунке 1.24 выбрана процедура включения в модель константы (Intercept). В позиции «Test for unit root in – тест на единичный корень в» предлагается также три варианта модели: в уровнях временного ряда, в первых разностях и во вторых разностях (на рисунке 1.24 выбрано «в уровнях» «Level»). Кроме того, в позиции «Automatic selection – выбор автоматически» проставлен информационный критерий Шварца и указано максимальное число лагов – 13. По указанному критерию в автоматическом режиме выбирается оптимальное число лаговых значений анализируемого ряда.

Дело в том, что DF-тест используется только для AR(1)-процессов, т.е. остатки в тестируемой модели не должны быть автокоррелированными (в противном случае тест некорректен). В общем случае, чтобы избавиться от автокорреляции в остатках тестового уравнения, в рассматриваемый тест включаются слагаемые приращений остатков более высокого порядка ( ut-j). При этом оптимальный лаг для таких приращений, т.е. величина лага j, по умолчанию подбирается на основе информационного критерия Шварца

35

(возможно также использование и других критериев, например Акаике). Известно, что включение в тестовое уравнение лаговых значений остатков не влияет на критические значения ADF-t-статистики. Такой тест называется расширенным тестом Дики – Фуллера (Augmented Dickey-Fuller test или ADF-тест) (см. рисунок 1.24 в позиции «Test type»).

Для иллюстрации работы теста приведём результаты тестирования рядов, рассмотренных ранее (графики этих рядов показаны на рисунке 1.22). Как мы видели, оба эти ряда были стационарными, что и подтвердил анализируемый тест (рисунок 1.25). В обоих случаях вероятности для t- статистики равны нулю, что отклоняет гипотезу о единичном корне.

Далее в отчёте приведены критические значения t-статистики (Test critical values) для разных уровней значимости (1-, 5-, и 10%). Все они правее вычисленных значений (в одном случае – это (–10,98) для примера белого шума, в другом – (–6,814)), т.е. расчётные значения t-статистик попали в критическую область.

Как отмечалось, здесь проверяется односторонняя гипотеза, т.е. альтернативная гипотеза формулируется как H1 : 0 1 1. Таким образом, в обоих случаях имеем стационарные временные ряды. Обратите внимание на то, что в случае белого шума (левая часть рисунка 1.25) гипотеза о единичном корне отклоняется более уверенно (расчётное значение t- статистики по абсолютной величине больше, чем в правой части рисунка).

Рисунок 1.25 – Тесты Дики – Фуллера для анализируемых рядов

36

В нижней части рисунка приведены уравнения теста. Лаговые значения разностей в них не вошли. Например, для правого рисунка тестовое уравнение имеет вид Δ(Y_0)t = С + (Y_0)t-1 + ut, что и отражено в нижней части рисунка.

1.10.3. Модели скользящего среднего и процесс белого шума

Рассмотрим сначала простой вариант модели скользящего среднего – это модель МА(1) – скользящего среднего первого порядка. В общем случае модель МА(1) имеет вид

yt = µ + t + α εt-1.

Здесь t – процесс белого шума. Модель МА(1) описывает стационарный случайный процесс, поскольку представляет собой линейную комбинацию двух стационарных процессов (белого шума).

Оба процесса: и белого шума, и MA(1) – стационарны и (как отмечалось) мало отличаются визуально. Но их коррелограммы различаются, что видно из ниже приведённых рисунков (рисунки 1.26 и 1.27).

Рисунок 1.26 – Графики анализируемых рядов

Рисунок 1.27 – Коррелограммы анализируемых рядов

37

Слева на этих рисунках – белый шум, справа – смоделированный МА(1)- процесс (yt = 3+ t + 2 εt-1). Оба ряда стационарны, но в случае белого шума коэффициенты автокорреляции не выходят за пределы доверительной области нуля (левая часть рисунка 1.27), а в случае МА(1)-ряда автокорреляция обрывается на первом лаге, а частная автокорреляция осцилируя (меняя знак) постепенно убывает (правая часть этого рисунка). Это типичное поведение коррелограмм для моделей скользящего среднего.

1.10.4. Модели авторегрессии – скользящего среднего (методология Бокса – Дженкинса)

Рассмотрим общий случай моделей авторегрессии (AR(p)-Auto Regressive) и скользящего среднего (MA(q)-Moving Average), где p и q – порядок моделей.

Модель авторегрессии порядка р, т.е. AR(p) для ряда yt может быть записана:

yt 1 yt 1 2 yt 2 ... p yt p ut ,

а модель скользящего среднего порядка q, т. е. MA(q) имеет следующий вид:

Yt ut 1ut 1 2ut 2 ... q ut q .

Смешанная модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA(p,q)) объединяет обе эти модели в одну:

yt 1 yt 1 2 yt 2 ... p yt p ut 1ut 1 2ut 2 ... q ut q .

Если ряд нестационарный, но его можно привести к стационарному виду путём взятия разностей, то для таких рядов используется модель авторегрессии – проинтегрированного скользящего среднего (Auto

Regressive Integrated Moving Average) ARIMA(p,d,q), где d – порядок разности. В этом случае модель ARMA(p,q) строится не для уровней элементов временного ряда, а для их разностей порядка d.

Методология построения модели ARIMA(p,d,q) для исследуемого временного ряда включает следующую последовательность шагов.

Этап 1. Определение модели. Здесь следует выяснить, является ли ряд стационарным. Часто нестационарные ряды можно преобразовать в стационарные путём взятия разности. Тогда исходный ряд заменяется рядом разностей.

38

После того как будет получен стационарный ряд, необходимо определить общие характеристики модели, которую предполагается использовать.

На этом шаге рекомендуется придерживаться следующих соображений. Для моделей AR(p) значения коэффициентов автокорреляции

экспоненциально затухают (либо монотонно, либо попеременно меняя знак – осцилируя), а значения коэффициентов частной автокорреляции обрываются на лаге р.

Для моделей МА(q)) значения коэффициентов автокорреляции обрываются на лаге р, а значения коэффициентов частной автокорреляции экспоненциально затухают (либо монотонно, либо попеременно меняя знак – осцилируя).

Для моделей ARМА(p.q) значения коэффициентов автокорреляции и значения коэффициентов частной автокорреляции экспоненциально затухают (либо монотонно, либо попеременно меняя знак – осцилируя).

Следует иметь в виду, что эти рекомендации относятся к модельным рядам. Реальные временные ряды ведут себя сложнее и при их идентификации возможны также и другие методы их идентификации (в том числе интуиция и опыт).

Начальный выбор модели должен рассматриваться как пробный. Анализ адекватности выбранной модели выполняется на следующих шагах.

Вэконометрической литературе отмечается, что, как правило, в практических расчётах порядок модели (p+q) не превышает трёх, а d – не более двух. Поэтому при выборе типа модели не представляет больших затруднений просто перебрать значения этих параметров в указанных пределах и протестировать полученные модели на точность и адекватность. Точность моделей обычно оценивается на основе традиционных показателей (t-статистики, коэффициент детерминации, стандартная ошибка и т.п.), а адекватность – на основе анализа поведения остатков.

Этап 2. Оценка модели. После того как пробная модель будет выбрана, необходимо выполнить оценку её параметров.

Вобщем случае эта процедура осуществляется на основе нелинейного метода наименьших квадратов. После завершения процедуры оценивания вычисляются стандартные ошибки оценок, величины t-статистик и определяются значимость оценок обычным образом. Несущественные параметры отбрасываются. Точность модели определяется на основе

39

стандартных показателей, в том числе, на информационных критериях Акаике и Шварца.

Этап 3. Проверка модели на адекватность. Как известно, модель является адекватной, если полученные остатки нельзя использовать для дальнейшего уточнения прогноза. Иначе говоря, остатки должны быть случайными. Для тестирования остатков на случайность обычно используют Q-статистику Льюнга-Бокса. При этом рекомендуется придерживаться принципа экономии, а именно: при равных условиях (при примерно одинаковых по точности моделях) предпочтение отдаётся более простой модели.

Кроме того, при построении модели ARIMA необходимо проверить значимость оценённых коэффициентов по t-критерию. При этом модель не должна содержать лишних параметров, т.е. незначимые слагаемые модели необходимо удалять.

Итак, если в результате проверки несколько моделей оказываются адекватны исходным данным, то при окончательном выборе следует учесть два требования:

–повышение точности модели;

–уменьшение числа параметров модели.

Воедино эти требования сведены в информационных критериях, которые по аналогии с исправленным коэффициентом множественной детерминации «штрафуют» оцениваемую модель за увеличение количества оцениваемых параметров. К таким критерия относятся информационные критерии Акаике и Шварца.

Критерий Акаике (Akaike information criterion – AIC). При использовании этого критерия линейные модели с р объясняемыми переменными, оценёнными по n наблюдениям, сопоставляются по значениям

AIC = lnp2 + 2p/n,

p2 – оценка дисперсии остатков модели.

При увеличении количества оцениваемых параметров первое слагаемое уменьшается, а второе – увеличивается. Среди нескольких альтернативных моделей предпочтение отдаётся модели с наименьшим значением AIC, в которой достигается определённый компромисс между величиной остаточной суммы квадратов и количеством объясняющих переменных.

40