5628
.pdf
|
|
x 5 |
|
|
18 x 5 |
|
|
|
|
2 x 9 18 |
( x 5) |
|||
|
2x 9 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
||||
lim |
lim |
1 |
lim |
1 |
|
18 2 x 9 |
||||||||
2x 9 |
|
2x 9 |
|
2x 9 |
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18(x |
|
5) |
|
|
|
|
|
|
|
2x 9 |
|
|
|
|
|
18x |
90 |
|
|
|
|
|
2x |
9 |
|
lim |
|
|||
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
18 |
|
|
|
|
2x |
9 |
9 . |
|||
lim 1 |
|
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
2x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 4. Дифференциальные исчисления |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Производная и дифференциал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. Возьмём точку х Х. |
||||||||||||||
Дадим |
значению х |
приращение |
x |
0 , тогда |
функция |
получит приращение |
|||||||||||
|
y |
|
f |
x |
x |
f x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Производной функции у = f(x) называется предел отношения |
|||||||||||||||
приращения функции к приращению переменной х, |
при стремлении последнего к |
||||||||||||||||
нулю (если этот предел существует): |
y |
lim |
y |
lim |
|
f (x |
x) f (x) |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
x |
0 |
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные правила дифференцирования |
|
|
|||||||
|
|
|
Если С ─ постоянное число, U |
U x , V |
V x ─ функции, имеющие |
||||||||||||
производные, тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
С |
0 ; |
|
|
|
|
(I) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U |
|
V |
|
U |
V ; |
(II) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(CU ) |
CU ; |
|
|
(III) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U V |
U V |
V U ; |
(IV) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
U |
|
|
U |
V |
V U |
. |
(V) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
V |
|
|
|
V 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если у = f(u), u = φ (х) ─ дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции y=f[(φ(x)] существует и равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной х, т.е. y f (u) u (VI).
21
Таблица производных основных функций
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
|||||||||||||||
1 |
(xn ) |
n xn 1 |
|
|
|
|
|
15 |
un |
|
n un 1 u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
(a |
x |
) |
a |
x |
|
|
ln a ( a 0, a 1) |
16 |
(u |
x |
) |
u u |
x |
|
|
ln u |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
u |
u u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 |
loqa x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
( a 0, a 1) |
18 |
(loqau) |
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
ln a |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
(ln x) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
ln u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
(sin x) |
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
20 |
sin u |
|
|
u |
cosu |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
cosx |
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
21 |
cosu |
|
|
u |
|
sin u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
tqx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
tqu |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
cos2 u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
10 |
ctqx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
23 |
ctqu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11 |
arcsinx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
24 |
arcsinu |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
1 |
|
|
u2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
12 |
arccosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
25 |
arccosu |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
1 |
|
u2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
13 |
arctgx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
26 |
arctgu |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 u2 |
|||||||||||||||||||
14 |
arcctgx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
27 |
arcctgu |
|
|
|
|
|
u |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
1 |
|
|
u2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 14
Найти производные функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
a) y sin cos 5x ; |
|
b) |
y |
3 x e3x 5 ; |
c) y arctg |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
x 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) функцию y |
|
sin cos 5x |
можно представить в виде |
y |
|
sin u , где |
u cos5x . |
|||||||
Поэтому, используя |
правило дифференцирования (VI) |
и формулы |
таблицы |
|||||||||||
производных y |
|
|
(sin(u)) |
|
u cos u |
(cos 5x) cos cos 5x |
|
|
5 sin 5x cos cos 5x ; |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
b) функция y |
3 |
x |
e3x |
5 |
представлена произведением |
двух функций, поэтому на |
основании правила (IV)
22
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e3x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
e3x 5 x3 e3x |
|
|
|
|
|
3 |
|
e3x |
5 3e3x x3 |
3e3x 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
5 |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 x2 |
|
|
|
) |
|
||||||||
|
e3x |
|
5 |
9e |
3x x |
|
e3x 9x |
1 |
5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
функцию |
|
y |
arctg |
|
2x |
|
|
|
|
можно представить в |
|
виде y |
arctgu, |
где u |
|
|
2x |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
1 x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
используя формулу (26) и |
правила дифференцирования |
(V) и (VI) получим: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2x 1 x2 |
2x 1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 1 x2 |
2x 2x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2x2 |
|
x4 |
4x2 |
1 x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 x |
2 |
2 |
|
|
|
2 2x |
2 |
|
4x |
2 |
|
|
|
2 2x |
2 |
|
|
|
2 1 x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 2x2 |
|
x4 |
1 |
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
1 |
x |
2 2 |
|
|
1 |
|
x |
2 2 |
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Определение. |
Дифференциалом функции у=f(x) называется главная, линейная |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
относительно |
|
|
|
x |
|
часть приращения функции, равная произведению производной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на приращение независимой переменной: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
f x |
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. dx |
|
|
x . Итак, дифференциал функции равен произведению её |
производной на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциал аргумента: dy |
f x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Общая схема исследования функции и построения графика |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Для |
|
|
|
полного |
|
|
|
|
исследования |
|
|
|
|
функции |
и построения |
её |
графика |
рекомендуется использовать следующую схему:
1)найти область определения функции;
2)найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3)исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;
4)исследовать функцию на чётность (нечётность) и на периодичность (для тригонометрических функций);
5)найти экстремумы и интервалы монотонности функции;
6)определить интервалы выпуклости и точки перегиба;
7)найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
23
Пример 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Исследовать функцию y |
|
|
x 2 |
1 |
и построить график. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) область определения : x |
( |
; 1) |
( 1;1) |
(1; |
|
) ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) функция терпит разрыв в точках x1 |
|
|
1 , |
x2 |
1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
x2 |
1 |
; |
lim |
|
x2 |
1 |
|
|
|
, |
x1 |
|
1 ─ вертикальная асимптота; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
1 0 x2 |
1 |
x |
|
1 0 x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
x2 |
1 |
; |
lim |
|
x2 |
1 |
, |
|
x2 |
|
1─ вертикальная асимптота; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x 1 0 x2 |
1 |
|
|
x 1 0 x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Прямая y |
kx |
b ─ наклонная асимптота, если k |
lim |
f (x) |
, b |
lim ( f (x) kx) . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
||
k |
|
|
lim |
|
|
x 2 |
1 |
0 , b |
|
lim |
|
|
x 2 |
1 |
0 |
x |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(x 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
1)x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Прямая |
y |
1 ─ горизонтальная асимптота; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
4) функция является чётной т.к. |
y( |
|
x) |
|
( |
x)2 |
1 |
x2 |
1 |
y(x) . Чётность |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
( |
x)2 |
1 |
x2 |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
функции указывает на симметричность |
графика относительно оси ординат; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
5) найдём интервалы монотонности и экстремумы функции: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
(x2 |
1) (x2 |
1) (x2 |
|
1) (x2 1) |
|
|
|
|
|
4x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x2 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём критические точки, т.е. точки в которых производная равна 0 или не
существует: 4x 0 ; |
(x2 1)2 0 . Имеем три точки |
x |
0 ; |
x |
2 |
1; x |
3 |
1 |
. Эти точки |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
разбивают всю действительную ось на четыре промежутка. Определим знаки y
на каждом из них.
|
y |
+ |
+ |
─ |
─ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
max |
|
|
|
На интервалах (-∞; -1) и (-1; 0) функция |
возрастает, на интервалах (0; 1) и |
|||||
(1 ; +∞) ─ убывает. При |
переходе через точку x 0 |
производная меняет знак |
||||
с плюса на |
минус, следовательно, в этой |
точке |
функция имеет максимум |
|||
ymax f (0) |
1; |
|
|
|
|
24
6) найдём интервалы выпуклости, точки перегиба.
y |
4x |
|
4(3x2 |
1) |
. |
(x2 1)2 |
|
(x2 |
1)3 |
Найдём точки, в которых y равна 0 или не существует.
3x2 |
1 |
0 не имеет действительных корней. |
x2 |
1 |
0 , x |
1, x |
2 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Точки |
x1 |
1 |
и x2 1 |
разбивают действительную |
ось на |
|
три интервала. |
|||||
Определим знак y |
на каждом промежутке. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
y |
|
+ |
|
─ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
кривая, |
на интервалах |
; |
1 и |
1; |
выпуклая вниз и |
|||||
выпуклая |
вверх на интервале (-1;1); точек перегиба нет, |
т. к. функция в точках |
||||||||||
x1 |
1 |
и x2 |
1 не определена; |
|
|
|
|
|
|
|||
7) |
найдём точки пересечения с осями. |
|
|
|
|
|
|
С осью Oy график функции пересекается в точке (0; -1), а с осью Ox график не пересекается, т.к. числитель данной функции не имеет действительных корней.
y
-1 |
0 |
1 |
|
-1 |
|
Рисунок 5 ─ График функции y |
x 2 |
1 |
||
|
|
|
||
x 2 |
1 |
|||
|
||||
|
|
|
|
25
Тема 5. Функция двух переменных |
|
|
|
|
||
Определение. |
Если каждой паре чисел |
x.y |
D |
по некоторому закону f |
||
поставлено одно определённое число z |
Z , |
то говорят, что на множестве D задана |
||||
функция Z=f(x,y). |
|
|
|
|
|
|
Для определения полного дифференциала функции Z=f(x,y) необходимо ввести |
||||||
понятие частной производной нескольких переменных. |
|
|||||
Определение. |
Величина |
f x |
x, y |
y |
f x, y |
называется полным |
приращением функции в точке (х, у). Если задать только приращение аргумента x или только приращения аргумента y , то полученные приращения функции
соответственно: xZ |
f x |
|
|
x, y |
|
|
f |
x, y |
и |
|
yZ |
f |
x, y |
|
|
|
y |
|
f |
x, y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
называются частными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Определение. Частной производной от функции |
|
Z |
|
|
f |
x, y |
|
по независимой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
переменной x |
называется конечный предел |
Z x |
|
lim |
|
x Z |
|
|
|
|
lim |
|
f |
x |
x, y |
f |
x, y , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
вычисленный при постоянном y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Определение. Частной производной |
от функции |
|
Z |
|
f |
x, y |
по |
y называется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
конечный |
предел |
Z y |
lim |
|
y Z |
|
|
lim |
|
|
f x, y |
|
y |
|
f x, y |
, |
вычисленный |
|
при |
|||||||||||||||||||||||
0 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
постоянном x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Обозначается |
частная |
|
производная |
|
так: |
|
Z x |
|
, Z y |
|
|
или |
Z |
; |
Z |
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
||
f x |
x, y ; |
f y |
x, y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Пример 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Найти частные производные функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a) Z x ln y |
|
|
|
y |
; |
b) Z x y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) при нахождении частной производной |
по |
х |
|
будем рассматривать y как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
величину постоянную. |
Получим: |
Z |
|
ln y |
|
y |
1 |
|
ln y |
|
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Аналогично, дифференцируя по у, считаем x |
постоянной величиной, т.е. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z y |
x ln y |
|
|
1 |
|
|
y |
x |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
b) при фиксированном |
|
y имеем степенную функцию от |
х, |
таким образом, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z x |
y |
x y |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при фиксированном x |
функция является показательной относительно y , тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Z y |
x y ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
Полный дифференциал функции Z |
f x, y |
вычисляется по формуле |
|||||||||||
|
|
|
|
dZ |
|
Z |
dx |
|
Z |
dy . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
||
Пример 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти полный дифференциал функции |
|
Z |
|
x 4 |
5x 2 y |
2 y 3 . |
|||||||
Решение: |
|
Z |
4x3 |
10xy ; |
|
Z |
5x 2 |
6 y 2 |
5x 2 6 y 2 ; |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dZ 4x3 10xy |
dx 5x 2 6 y 2 dy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 6. Интегральные исчисления
Неопределённый интеграл
Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для функции ƒ(х) на промежутке X, если в каждой точке x этого промежутка
F/ (x) = f(x).
Если функция f(x) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причём все первообразные содержатся в выражении F(x) + С, где С ─ произвольная постоянная.
Определение. Совокупность всех первообразных функции ƒ(х) на промежутке X называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается т.е. f (x)dx
|
|
|
Свойства неопределённого интеграла |
|||
1. |
a f |
x dx a |
f x dx , a ─постоянное число. |
|
||
2. |
f1 x |
f 2 x |
f3 x dx |
f1 x dx |
f 2 x dx |
f3 x dx . |
3. d[f x dx] f x dx .
4.f x dxf x .
5.dF x F x C .
27
Таблица основных интегралов
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
0 |
|
dx |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
cos xdx |
|
sin x |
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
ctgx |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dx |
|
x |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
x |
n 1 |
|
C , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
tgx |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1, n const |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
dx |
|
ln |
|
x |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
x |
|
|
C |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
a x dx |
|
|
a x |
|
|
|
|
C , a |
|
|
|
0, a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
arctg |
x |
|
|
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
1 |
|
ln |
|
|
x |
|
|
a |
|
C |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6 |
|
e x dx e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
a 2 |
|
|
|
|
|
2a |
|
x a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
|
sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
a |
C |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Найти интеграл |
2 |
|
|
x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Решение : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
4x 4 |
|
x 1 |
dx |
|
|
4 4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dx 4 |
|
|
2 dx 8x 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
x |
|
4 ln |
x |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
C |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
x |
|
|
4 ln |
x |
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблицу интегралов можно расширить, если применить формулы:
а) |
f ax |
b dx |
1 |
F ax b C , если |
f x dx F x C ; |
|||
a |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|||
б) |
dx ln |
|
x |
C . |
|
|||
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 19
Найти интегралы.
а) |
e 4x |
5dx |
|
1 |
e 4x |
5 C ; |
б) sin 3x 2 dx |
1 |
cos 3x 2 C ; |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
в) |
|
dx |
|
1 |
|
|
|
2dx |
|
1 |
ln |
|
3 2x |
|
C ; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
2x |
2 |
|
3 |
2x |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
г) |
x dx |
|
|
1 10x dx 1 |
|
|
C . |
||||||
|
|
ln |
5x 2 |
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5x 2 |
3 10 5x 2 3 10 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Замена переменной в неопределённом интеграле (метод подстановки)
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной, описываемый следующей формулой:
f x dx f tt dt ,
где x t ─ функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.
|
Пример 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x 2 3 |
|
2x3 4 dx ; б) |
|
|
|
x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
3 |
x |
dx; |
|
|
|
|
|
2 sin x dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
в) |
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
cos2 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение: а) |
|
x 2 3 |
2x3 4 dx |
|
|
6x 2 dx |
|
|
dt |
|
|
1 |
|
t 4 dt |
1 |
|
C |
|
1 |
3 2x3 5 |
C ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
6 |
6 |
5 |
|
|
|
30 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2dx |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 dx |
|
x3 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
б) |
|
|
|
|
3x 2 dx |
|
|
|
dt |
|
1 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
arcsin t C |
|
|
1 |
arcsin x3 |
C ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
x 6 |
|
x 2 dx |
|
1 |
|
|
|
3 |
1 |
|
t 2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
arctg3 x |
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 4 |
|
|
|
|
arctg4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
в) |
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 3dt |
|
C |
|
|
|
C ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dt |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 sin xdx |
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin xdx |
dt |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 ln |
t |
3 |
|
|
t 2 |
|
|
|
C |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
г) |
|
|
|
|
|
cos 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
sin xdx |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 ln |
cos x |
3 |
cos 2 x |
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
Интегрирование по частям
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле
|
|
U dV U V V dU , |
где U |
x , V |
x ─ непрерывно дифференцируемые функции. |
При использовании этой формулы за U берется та функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dV - та часть подынтегрального выражения,
интеграл от которой известен или может быть найден. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пример 21. |
Найти интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a) |
x e7x dx; |
|
б) |
x3 ln x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) arctgx dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x e7xdx |
|
U |
x; |
dU |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x e7 x |
1 |
|
e7 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a) |
|
|
|
|
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|
7 x |
|
|
1 |
|
|
7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dV |
e |
|
dx; |
V |
|
|
|
e |
|
|
dx |
|
|
7 e |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
x e7 x |
|
|
1 |
e7x |
C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7 |
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
U |
ln x ;dU |
|
1 |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
x4 |
|
x4 |
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
x3 ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x4 ln x |
|
|
1 |
dx |
ln x |
C; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dV x3dx; V |
|
|
|
x3dx |
|
x |
; |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
x |
4 |
|
16 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
arctgx; |
|
dU |
|
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
в) |
arctgxdx |
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
x |
|
arctgx |
|
|
|
|
dx x |
arctgx |
ln( x |
2 |
1) C. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dV |
|
dx; |
V |
|
|
|
dx |
x; |
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определенный интеграл Формула Ньютона – Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и F(x) ─ первообразная для f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона ─ Лейбница
b
f (x)dx F (x)
a
a |
F (b) F (a) . |
|
b |
||
|
30