5652

Тогда, если Po : Lp (I ) Lop (I , L) , то

Po

Pc Po

PoPo

Po.

(5.28)

*

*

*

и более того,

rank(Pc Po )

(nk

1)

(n

1) .

(5.29)

*

k

K

Далее, используя

(5.28),

лемму

5.2.5

и

(5.27)

для

каждой

функции

f L p (I ) , мы получаем

T ,

Po

T ,

Pc Po

f

Po f

T ,

*

q

*

q

1

r

nk

r

*

o

J

,

1

r

P

f

Ik, j

k K j

1

*

p

1

1

r

1

r

1 r J

)1 r

2

n

,

(I

k

f

p

k

K

1

r

r

r

2

n 1 r J

,

(I

k

)1 r

f

p

k

K

для всех f L p (I ) .

Поскольку

rank(T ,

PcPo )

rank(PcPo )

(n

1)

,

*

*

то из определения a-чисел, мы получаем

1

r

r

r

a

1)

1

T

,

Po

2

n 1 r J

,

(I

k

)1 r

.

(n

k

k



61

Базовой для супремальных и асимптотических оценок a-чисел является

следующая теорема.

Теорема 5.4. Пусть 0 < q < 1 < p < ∞,

I

(0, ),

L

Ik k K ,

I

Ik ,

o

: L p (I )

o

и

Lq (Ik )

для любого k, и последова-

P

L p (I ,

L)

k K

тельность натуральных чисел nk

такая, что n :

k K (nk

1)

1 .

Тогда

1/ r

an (T ,

Po )

n

J ,

(Ik )r

.

(5.30)

k

K

Доказательство. Поскольку

(nk

1)

(n

1)

n

1,

kK

ипоследовательность аппроксимативных чисел an монотонно убывает, то

an (T , Po )

a(n 1)

1(T

, Po ).

(5.31)

Для каждого k выберем nk

так, чтобы

nk 1

n

J ,

(Ik )r

nk ,

(5.32)

n

(I j )r

J

,

j 1

и не ограничивая общности будем считать, что

J , (I j )r

.

j

K

Из (5.32) следует, что

r

r

r

r

)r 1

r J

)r .

1 r J

n

,

(I

k

)1

r

n 1

r

J

,

(I

k

,

(I

k

k

k

K

Отсюда из (5.26) и (5.31) мы получаем

1/ r

an

(T ,

Po )

2(n

)

J ,

(Ik )r

.

(5.33)

k

62

Далее пусть 1 < n

, тогда n = mα + l, где m

, l

0,

1 , l

.

Из (5.33) получаем

an (T , Po )

am l (T , Po )

am (T , Po )

1/ r

2(m

)

J

, (Ik )r

k

K

n

1/ r

1/ r

2n

J ,

(Ik )r

n

J , (Ik )r

,

n l

k

K

k

K

что в результате даёт

1/ r

an (T , Po )

n

J , (Ik )r

.



k

K

Теорема 5.5. Пусть I

(0,

), конечный интервал

Lq (I ) . Тогда

limsup n

an (T ,

)

Lr (I )

.

(5.34)

n

Доказательство. Для ε >

0 по

лемме

5.2.3

существует

разбиение

L I1, ..., I N

интервала I такое, что

N

1/ r

(Ik )r

J

,

(1

)

Lr

(I )

.

(5.35)

k

1

Пусть

T ,

T , Po

T , Pc ,

где P

o

: L p

(I )

o

(I )

и P

c

: L p (I )

c

L p

L p (I ) , тогда

q

Po

T ,

Pc )

q

(T , Po )

q

a

2n 1

(T

,

an

an (T , Pc ).

P c )

q

Pc )

Заметим, что rank(T

,

, и an (T

,

0 при n

N.

В силу теоремы 5.4 получаем

lim sup n

an (T , )

lim sup n

an (T ,

Po )

n

n

63

N	1/ r
J , (Ik )r	(1	)		Lr (I )	,
k 1
и результат теоремы следует при ε → 0.
§3 Оценки для an (T ,	: L p (0,	)		Lq (0, ))

Оценки сверху для аппроксимативных чисел оператора Римана – Лиувилля мы будем оценивать через а-числа диагональных операторов

D : l p lq

D xk :

k xk , x xk

l p ,

k

R .

Пусть 0 < q < 1 < p < ∞,

1

1

1

,

1

1

1

. Диагональный опера-

r

p

q

s

q

p

тор D ограничен из lp в lq, если

k

ls .

Действительно,

Dx

lq

k xk

q 1/ q

k 1

D

l p

lq

sup

sup

,

x

p 1/ p

x 0

l p

x 0

k

1

xk

p

применяя неравенство Гельдера с показателями

p

и

, получаем

q

q

p

1/ s

D

l p

lq

s

.

(5.36)

k

k 1

Определим оператор Pn : l p

l p формулой

Pn (x1, x2, ..., xn,

xn 1, ...)

(x1,

x2, ...,

xn,

0,

0, ...)

и положим L = DPn – 1, тогда dim L < n и

q / s

q

lq )

D

L

q

s

.

(5.37)

an (D : l p

l p

lq

k

k

n

Теорема 5.6. Пусть

k

k

1/ r , k

1. Тогда

64

q

C

k

q

.

(5.38)

an (D)

l1/

lr,

q,

k 1/ r ,

Доказательство. Обозначим Dr

диагональный оператор с

k

т.е. D x

k

k 1/ r x

k

. Используя неравенство (5.37)

r

aq

1

q / s

1

q

q .

(D )

C

Cn

n

r

k n k s / r

n1/ r 1/ s

aq

(D )

sup n

qaq (D )

C.

n

r

l1/

n

r

Тогда

q,

n

aq

(D)

sup

k

k1/ r

q aq (D ),

n

n

r

откуда следует, что

k

q

q

an

(D)

l1/

C

k

lr,

.



q,

Определим разбиение

k

2k , 2k

1

и положим

1/ r

r

:

r

,

k

J ,

( k )

k

(

1/ p)

Lq (

k )

,

k

k

и

:

k

sup (k

1)1/ r *

sup

k

1/ r

,

(5.39)

r,

lr,

k

k

k

0

k 0

	где	*	и
		k k 0		k k 0

Используя неравенство

– убывающая и возрастающая перестановки.

Гельдера и свойства пространств Лоренца, имеем

r

r ,

r,

c

r .

(5.40)

Рассмотрим проекторы

65

P

o

: L p (0,

)

o

((0,

);

)

L p

и

P

c

: L p (0,

)

c

((0, );

),

L p

o

);

) и

c

);

) сформированы от-

где подпространства L p ((0,

L p ((0,

носительно нового разбиения

0,

k :

k

Lop ((0,

);

)

Po (Lp (0,

))

f

Lp (0,

) :

k

y i f ( y)dy

0 ,

(5.41)

j 0, 1,

...,

1, k

K ,

c

);

)

P

c

(L p (0,

))

qk (x)

(x), qk P

1 .

(5.42)

L p ((0,

k

k

K

Тогда

T ,

T , Po

T , Pc ,

и по свойству (iii) аппроксимативных чисел

aq

(T

,

) aq

(T

,

Po )

aq

(T

,

Pc ).

(5.43)

n m 1

n

m

Лемма 5.3.1. При 0 < q < 1 < p < ∞ выполняется неравенство

sup n

q

(T ,

Po )

c

q.

qan

n

r

Доказательство следует применением теоремы 5.4 для I = (0, ∞) и

разбиения L

k k

.

Лемма 5.3.2. При 0 < q < 1 < p < ∞ выполняется неравенство

q

, Pc )

q .

sup n

qan (T

c

n

r,

Доказательство.

T , Pc f (s)

1

(s)T

( f , p j, k ) p j, k

k

(s)

j

0 k

1

1

(s)T

( f , p j, k )

k

(s)

T j f (s).

j 0

k

j

0

66

Пусть

j : L p

l p определён по правилу

j ( f )k

( f , p j, k )

,

p j, k

тогда, в силу леммы 5.2.4

Зададим

j : l p

c

j ( f )k

l p

c

L p .

f

L p

xk

p j, k

1

p j, k(s)

k

(s),

j xk (s)

L p (

k )

k Z

тогда

T j f (s)

T ,

j

j f (s).

Обозначим

j : l p

Lq

T j xk (s) T ,

j xk (s), s

i ,

T

j

x

k

(s)

(s)x

1

s

p

j,i

( y)(s y)

1dy

p

i

j,i

L p ( i ) 2i

(s)

xk

p j, k

1

p j, k ( y)(s y)

1dy

L p (

k )

k

k

i

R(1)

x (s) R(2)

x (s).

j

k

j

k

Определим

диагональный

оператор

D : l p

lq

по

формуле

D xi (s) xi i , где

i

i

1/ p

Lq ( i )

,

тогда

R(1) x (s) Y D x (s), s

i

,

j

k

k

где Y : l p

Lq имеет вид

Y y

k

(s)

(s) y

1

1 s p

j,i

( y)(s y)

1dy, s

i

.

p

i

j,i

L p ( i ) i

2i

iq(

1

)

q

q

q

q

2

q

s

1

Y yk

Lq

yi

Lq (

i )

2

(s)

2i

p j,i ( y)(s y)

dy

ds.

i

i

67

Для s i

s

p j,i ( y)(s y)

1dy

j,i ( y)

(2i 1

y) 1dy

2i

i

0

p j,i (2i

)

(2

)

12i / 2 d 2( 1/ 2)i

0

p j ( )

(2

)

1d 2( 1/ 2)i.

Следовательно,

Y yk qLq c1 yi lqq .

Итак,

a

(R(1) ) a

(YD)

a

(D) c a

(D).

Y

n

j

n

n

1 n

Для второго слагаемого, когда s

i

(2)

xk (s)

xk

p j, k

1

p j, k ( y)(s y)

1dy

R j

(s)

L p (

k )

k

k

i

1

1 l

l

l

xk

1 l

(s)

( 1)

C

s

p j, k ( y) y

dy,

l

0

1

k i

p j, k

k

L p ( k )

где Cl

– биномиальные коэффициенты.

1

Определим оператор V : l p

lq

Vx

2li xk

p j, k ( y) y

1 l

dy

,

k

i

p

1/ p

k

j, k

L p

(

k )

i

i

Z

l

0,

...,

1,

j

0,

...,

1,

i, k

Z.

(

1

l)(k

i)

Vx

l p

2

1

p

xk 2

p

k

i

l p

i

k

m,

sm (x) :

xi

m i

Z

l p ,

sm

l

p

x

l

p

m

1, 2, ... .

68

Тогда

Vx

l p

2

1

p

sm

1

c2

x

l p

,

1/ p

l

m

m

1

2

где

l p

c2

2

1 l

1

.

m 1

2 1/ p l m

Зададим Wq : l p

Lq (0, ) , полагая

(s)

i (s)

1

W (e )

Cl

( 1)(

1) l sl 2 li , s

i

,

q i

1

l

0

i

Lq

где ei – означает i-й единичный вектор в lq.

Для второго слагаемого R(2)

W DV имеем

j

q

an (R2)

V

an (D) c2an (D),

aq

1

(T

j

) aq (R(1) ) aq (R(2) ) caq

(D).

2n

n

j

n

j

n

Так как D

D

D

и

a

q

q

(D

q

) , то, применяя

2n 1

(D) an

) an (D

теорему 5.6 к диагональным операторам D+ и D–, образованными соответ-

ственно k k

0

и

k k 0 , получаем

(2n

1)

q aq

(D)

c sup n

qaq

(D )

c

2

sup n

qaq (D )

2n 1

1

n

n

n

n

C1

k k 0

q

C2

k k 0

q

C

q

,

l

r,

l

r,

r,

с учётом (5.40)

sup n

q

(D)

C

q

C

q

qan

r,

r

n

и

69

q	(T j )) C				q
sup n qan						,
n					r
что доказывает оценку

supn

qaq (T

Pc )

c

q .

n

n

,

r

Из лемм 5.3.1 – 5.3.2 и неравенства (5.43) имеем

(2n 1) q a

q

q

q

(T ,

Pc )

2n 1

(T

,

) C sup n qan (T ,

Po ) sup n qan

n

n

C qr ,

что доказывает следующую теорему.

Теорема 5.7. Пусть 0 < q < 1 < p < ∞ и T ,

: L p (0, )

Lq (0, ). Тогда

limsup n an (T ,

)

c

r

.

(5.44)

n

Теорема 5.8. Пусть 0 < q < 1 < p < ∞, T , : L p (0,

) Lq (0, ) и

r

. Тогда

limsup n an (T

,

)

c

r

.

n

Доказательство. Так как r для некоторого заданного ε > 0 мы можем выбрать натуральное число K так, что

2k( 1/ p) / r

(s)q ds

r / q 1/ r

.

k

K

k

На конечном интервале I 2

K , 2K

определим функцию 1 :

I

и положим υ2 = υ – υ1, тогда

T ,

T ,

1

T ,

2

.

Так как

2

r

, то теорема 5.7 влечёт

70