5665

Пример 26. На перекрёстке дорог движение регулируется автоматическим светофором, включающим зелёный свет через каждые 2 минуты. Время простоя у этого светофора автомобиля, остановившегося на красный свет, является случайной величиной, распределённой равномерно на интервале (0, 2) минут. Найти среднее время простоя и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Обозначим через X – случайную величину, равную времени задержки автомобиля на перекрёстке. В случае равномерного закона распределения функция плотности имеет вид (см. (2.22)):

		0	при	x	0,
	f x	1	при 0	x	2,
		2
		0	при	x	2.

Используя (2.23), при a			0, b	2 , получим
						0 2
	0 2				2			1						1	0,58 .
M X			1,	D X					,	X	D X
	2					12	3							3
Ответ: 1) среднее время простоя – 1 минута; 2)										X	0,58 .
Пример 27. График плотности					f	x непрерывной случайной величины X изоб-
ражён на рисунке 14:

y

0,5

0	2				4				x
	Рисунок 14 – График плотности f x
Найти M 4X 2 и D 4X	2 .
Решение. График функции f x				показывет, что случайная величина распределена по
равномерному закону. Тогда плотность f x					имеет вид (2.22). В данном примере отрезком
a, b является отрезок 2, 4 . Тогда из равенства (2.23) находим M X и D X :
M X		2 4		3, D X		4 2 2		1	.
	2				12			6
Теперь найдём величину M 4X				2 . Для этого воспользуемся свойством (2.10) ма-
тематического ожидания и тем, что M C					C . В результате получим
M 4X 2 4M X M 2 4 3 2 14 .
					61

Для нахождения величины						D 4X	2		воспользуемся следующими свойствами
дисперсии:
1)	D C	0 , D C X		C 2 D X		при постоянной величине C ;
2)	D X	Y	D X	D Y	при независимости X , Y .
Тогда D 4X		2	42 D X		D 2	16 D X			0 16	1		8	.
									6		3
Ответы: M 4X 2				14 ; D 4X 2			8	.
							3

Пример 28. График функции F xраспределения случайной величины X имеет вид:

y

1

0

4

8

x

Рисунок 15 – График функции F x

Найти математическое ожидание и стандарт случайной величины X , а также те же характеристики случайной величины 2X 4.

Решение. Изображённый график является графиком функции

		0		при	x	a,
	F x	x	a	при	a	x b,
		b	a
		1		при	x	b.

Это означает, что случайная величина распределена по равномерному закону. В дан-

ном примере отрезком		a, b служит отрезок			4, 8 . Тогда из равенств (2.23) имеем, что
			8 4 2
	4 8				4						4			2			.
M X		6, D X				,	X		D X
	2		12		3					3
												3
Перейдём к нахождению величин M 2X					4		и	2X 4 . Для этого воспользуемся

перечисленными при решении примера 27 свойствами математического ожидания и дисперсии. Тогда

M 2X 4 2M X M 4 2 6 4 8 ,

D 2X 4 2				2 D X D 4 4									4				0	16		,
													3						3
											4				.
2 X	4						D 2 X	4
											3
Ответы: M X 6 ; X		2				; M 2X		4	8 ;								2 X	4			4			.
	3																			3
									62

Пример 29. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, при этом M X 0,25 . Указать дифференциальную и интегральную функции

этой случайной величины, построить их графики.

Решение. Дифференциальная функция показательного закона имеет вид:

	f x	0		при	x	0,	(2.24)
		e	x	при	x	0,

где – некоторая положительная постоянная, называемая параметром закона. При этом в случае показательного закона справедливо равенство

M X	1	.	(2.25)

Так как по условию M X 0,25 , то из (2.24) получаем, что 4 . Следовательно,

	f x	0		при	x	0,
		4e	4 x	при	x	0.

График этой функции изображён на рисунке 2.7. y

4

0

x

Рисунок 16 – График дифференциальной функции примера 29

Интегральная функция F x показательного закона с параметром имеет вид:

	F x	0		при	x	0,	(2.26)
		1 e	x	при	x	0.

В данном примере этой функцией будет функция

	F x	0		при	x	0,
		1 e	4 x	при	x	0.

Её график изображён ниже

y

1

	x
0

Рисунок 17 – График интегральной функции примера 29

63

0

при

x

0,

0

при

x

0,

Ответы: 1)

f x

4e 4 x

при

x

0. ; 2) F x

1

e

4 x

при

x

0.

;

3)

графики функций изображены на рисунках 16, 17.

Пример 30.

Найти вероятность события 0,5

X

2,5 ,

если случайная величина

распределена по закону примера 29.

Решение. Если случайная величина распределена по показательному закону с па-

раметром	, то справедливо равенство
		P a X	b	e	a	e	b .	(2.27)
В предыдущем примере установлено,				что		4 .	По	условию этого примера
a 0,5, b	2,5 . Тогда по (2.27) имеем
	P 0,5	X 2,5 e 4 0,5	e 4 2,5		e 2	e 10		0,1353 .
Ответ: P 0,5 X 2,5		0,1353 .

Пример 31. Известно, что срок службы изделия распределён показательно со средним 2 года. Найти вероятность того, что изделие прослужит не менее: 1) одного года; 2) трёх лет.

Решение. Обозначим через X – случайную величину, равную сроку службы изделия. По условию она имеет показательное распределение с некоторым параметром . Соглас-

но (2.25)	M X	1		2 , откуда			0,5 . Далее, используя равенство (2.27), получим
				P X	1	P 1	X	e 0,5	e	0,61 ,
				P X	3	P 3	X	e 1,5	0,22 .
Ответы: 1) P X				1	0,61 ; 2) P X 3			0,22 .

Пример 32. Непрерывная случайная величина распределена по нормальному закону, при этом M X 50, X 5 . Выписать плотность распределения вероятностей случайной величины и построить график этой функции.

Решение. Если случайная величина имеет нормальный закон распределения, то её плотность f x имеет вид

1

x

a 2

f

x

e 2

2 ,

(2.28)

2

где постоянные a,

0 есть параметры этого закона. Доказывается, что

M X

a,

X

.

(2.29)

График функции (2.28) называют нормальной кривой, или кривой Гаусса. В силу условий данного примера получим, что

64

f x		1			e
5		2

x 50 2

50 .

Эта	функция													имеет				максимум					в точке	x	50 .	При		этом			очевидно,							что
ym ax f	50						1							. График функции (2.28) имеет две точки перегиба, абсциссы ко-
				5			2
торых есть точки												a				и a					на оси Ox , а ординаты совпадают и равны													1				. В
																																			2 e
данном	примере											точками							перегиба				являются	точки		45,		1			и	55,		1						.
																										5		2 e						5 2				e
Напомним, что												3,14,					e			2,72 .
Примерный график кривой Гаусса этого примера изображён на рисунке 2.7.
				1
	5			2
				1
	5			2			e
																						45	50		55								x
																	Рисунок 18 – График кривой Гаусса примера 32
																1					x 50 2
Ответы: 1)							f					x							e	50		; 2) график кривой			f x	изображён на рисунке 18.
												5				2

Пример 33. Найти вероятности событий 45 X 60 и X 50 5 для случайной

величины примера 32.

Решение. Известно, что для случайной величины, распределённой по нормальному закону, справедливы равенства

P

X

a

a

,

(2.30)

,

(2.31)

1

x

t 2

P

X a

2

где

x

e

2 dt есть так называемая функция Лапласа, для вычисления значе-

2

0

ний

которой

имеются таблицы. Напомним,

что эта

функция

является нечётной

x

x

, так что в таблице присутствуют только неотрицательные аргументы.

Очевидно, что 0 0;	5	0,499997 ; для всех X		5 полагают	x 0,5 .
В случае события 45	X	60 имеем	45,	60 и тогда по	(2.30) получим
			65

P 45	X	60			60						50					45			50			2	1	0,8185 .
								5								5
Для нахождения вероятности события																		X	50			5	применим формулу (2.31) при
5 (по условию примера a								50,					5 ). Тогда
		P		X	50				5		2		5			2			1			0,6826 .
													5
Отметим, что событие						X		50			5 равносильно событию 45													X 55.
Ответы: 1)	P 45	X			60				0,8185 ; 2) P								X		50			5	0,6826.

Пример 34. Выяснить, что означает правило трёх сигм для случайной величины примера 32.

Решение. Для случайной величины, распределённой по нормальному закону, справедливо приближённое равенство

				P	X a	3	0,9973,		(2.32)
называемое правилом трёх сигм. Так как вероятность события								X a	3 близка к
единице, то это означает, что данное событие практически достоверно.
Так как a			50,	5 ( 3 15 ), то в данном случае практически достоверно собы-
тие	X 50		15 или 35	X 65.
Ответ: практически достоверно событие 35							X 65.

Пример 35. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически, и их средняя масса равна 1,05 кг. Найти стандартное отклонение, если 5 % коробок имеет массу менее 1 кг. Предполагается, что масса коробок распределена по нормальному закону.

Решение. Случайная величина X – вес коробки имеет нормальное распределение N a, 2 , где a 1,05 , а стандартное отклонение неизвестно. Так как 5 % коробок имеет вес менее 1 кг, то, ввиду симметрии относительно математического ожидания, 45 % коробок имеют вес в интервале от 1 кг до 1,05 кг. Поэтому, согласно формуле (2.30), получаем

P 1 X 1,05	1,05		1,05	1		1,05	0	0,05	0,05		0,45 .

В данном случае мы использовали свойство нечётности функции Лапласа. В таблице находим, что 1,65 0,45 , поэтому

	0,05		1,65	0,05	0,03 .
				1,65
Ответ:	0,03.

Пример 36. Средний вес клубня картофеля равен 100 г. Оценить вероятность того, что наудачу взятый клубень весит менее 300 г.

Решение. Случайная величина X – вес клубня – неотрицательная, поэтому для оценки веса клубня можно применить неравенство Маркова

P X	M X	или P X	1	M X	.	(2.33)
		66

Воспользуемся вторым неравенством (2.33), в данном случае 300, а в качестве математического ожидания M X нужно взять средний вес клубня. Тогда

								P X			300		1		100						2	.
																300		3
Ответ: P X	300		2	.
		3
Пример 37. Оценить вероятность события 32																		X						72 , если случайная величина
имеет следующие характеристики:										M X			52,			X		2						6 .
Решение. Событие 32					X			72		равносильно событию																		X	52		20 .	Вероятность
этого события можно оценить по неравенству Чебышева
																				D X						.						(2.34)
							P		X			M X			1
																		2											2
Положив в (2.34)		20 (при этом по условию M X																														24 ), получим
																		52,									D X				X
					P		X	52				20	1		24			376						0,94 .
															202			400
Ответ: P 32	X	72			0,94 .

Пример 38. На заводе в среднем 70 % продукции первого сорта. С надёжностью 0,9 найти границы, в которых должна находиться относительная частота первосортной продукции в партии 10 000 единиц.

Решение. Пусть X – относительная частота первосортной продукции в партии

из10 000 единиц. Тогда X													n	. В данном случае															– число первосортных изделий
																												n
												n
из 10 000.Случайная величина														n		распределена по закону Бернулли B 10 000; 0,7																												. Из-
вестно (см. (2.12)), что M																n p, D						n n				p		1	p	и	D		n				D n					p	1	p	.
												n																					n				n2						n
Применяя (2.34), получим
											P			n		10000					0,7							1	0,7	1		0,7			.
													n				10000												10000				2
Левая часть неравенства – надёжность, которая по условию примера равна 0,9. Поэтому
		P	n	0,7						0,9	1		0,0001								0,0001							0,1							0,0001					0,032 .
			n													2									2										0,1
Тогда		n	0,7			0,032				или 0,7			0,032							n	0,7					0,032 . Окончательно получим
		n																		n
																0,668						n			0,732 .
																						n
Ответ: 0,668								n		0,732 .
								n
																									67

Модуль 3. Математическая статистика

Пример 1. Наблюдатель провёл случайную выборку из генеральной совокупности и зафиксировал в порядке появления значения xi изучаемого признака X генераль-

ной совокупности, которыми оказались следующие числа: 4, 2, 5, 4, 4, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 2, 2, 4, 5. Требуется произвести первичную обработку полученных случайных сведений.

Решение. Случайные сведения оформляются в виде таблицы, называемой распределением выборки или дискретным статистическим рядом. В верхней части этой таблицы записываются наблюдаемые значения (варианты) xi изучаемого признака в воз-

растающем порядке от xm in до xm ax , каждое значение записывается только один раз. Такая запись называется вариационным рядом. Во второй строке записываются ча-

стоты ni соответствующих значений																				xi или относительные частоты wi этих же зна-
чений, которые определяются равенством
																						w		ni	,									(3.1)
																						i		n
	где n						ni	есть объём выборки. Часто в таблице заполняется как строка частот ni ,
					i
так и строка относительных частот wi .
	В данном примере												xm in			2, xm ax				5 . Тогда вариационный ряд имеет следующий
вид: 2, 3, 4, 5. Видно,													что частоты этих значений таковы: n1																			3, n2	1, n3	7, n4	4 .
Тогда				n	n1			n2	n3				n4	15 есть						объём			данной					выборки.				По	(3.1)	получаем
w	3			, w			1	, w		7			, w			4		. Отметим, что всегда справедливо очевидное равен-
1	15			2	15			3		15			4	15
ство				wi	1. Итак, распределение выборки имеет вид:
		i
									xi					2						3			4					5
								ni						3						1			7					4
								wi							3						1					7			4
														15						15			15					15
	Ответ:
									xi					2						3			4					5
								ni						3						1			7					4
								wi							3						1					7			4
														15						15			15					15
	Пример 2. Построить полигон дискретного статистического ряда примера 1.
	Решение. Геометрической характеристикой дискретного статистического ряда
являются полигоны.
	Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки
xi , ni			. При построении полигона частот на оси Ox откладывают варианты xi ,																																а на
оси ординат – соответствующие им частоты ni .
	Полигоном относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соеди-
няют точки						xi , wi			. Для построения такого полигона варианты xi																							снова откладывают на
оси абсцисс, а соответствующие им относительные частоты wi – на оси ординат.
																							68

По виду полигонов можно предположить, какому теоретическому закону подчинён изучаемый признак.

Ниже на рисунках изображены полигоны рассмотренного статистического ряда.

	ni				wi
7				7 /15
4				4 /15
3				3/15
1				1/15
0	2 3	4 5	x	0	2 3 4 5	x
	Рисунок 19 – График				Рисунок 20 – График
	полигона частот			полигона относительных частот

При построении полигонов выбраны разные масштабы по осям ординат.

Графики полигонов похожи друг на друга. При соблюдении масштаба график полигона относительных частот будет сжат относительно оси ординат в n раз (в данном примере n 15).

Ответы: 1) на рисунке 19 изображён полигон частот; 2) на рисунке 20 изображён полигон относительных частот.

Пример 3. Найти эмпирическую функцию распределения выборки примера 1. Решение. Эмпирическая функция распределения выборки определяется равенством

F x	nx	,	(3.2)
n	n

где n – объём выборки, а n x – сумма частот вариант, которые меньше x . Число n x можно описать в виде формулы

	nx	ni .	(3.3)
		i: xi x
В записи (3.3) проводится суммирование частот ni			по тем индексам i , для которых
выполняется неравенство xi	x .
Интегральную функцию	F x распределения признака (случайной величины) X

генеральной совокупности будем называть теоретической функцией. Различие между теоретической и эмпирической функциями состоит в том, что теоретическая функция F x задаёт вероятность события X x , а эмпирическая функция Fn xдаёт относи-

тельную частоту этого же события.

Очевидно, что эмпирическая функция обладает свойствами теоретической функции. При этом Fn x является хорошей оценкой (хорошим приближением)

функции F x , так как для любого аргумента x			из	,	и любого	0 спра-
ведливо равенство
			1,			(3.4)
lim	Fn x F x
n
69

являющееся упрощенным вариантом теоремы Гливенко – Кантелли. Равенство (3.4) практически означает следующее: значения неизвестной теоретической функции F x можно вычислить по значениям эмпирической функции Fn xсколь угодно точно при

выборках достаточно большого объёма.

Из ответа примера 1 и равенств (3.2), (3.3) получим, что Fn x имеет вид:

															0					при					x	2,
															3					при		2			x	3,
															15
											Fn 15			x	4					при		3			x	4,				(3.5)
															15
															11					при		4			x	5,
															15
															1					при					x	5.
	Отметим следующее. Значения x																2, x			3, x					4, x 5 (правые концы промежутков)
есть варианты ряда. Соответствующие относительные																														частоты получаются так:
w	3		0		3	, w	4		3		1			, w	11					4		7			, w	1	11				4	, то есть получаются
1	15			15		2	15		15		15			3	15					15		15			4		15			15

путём вычитания из значения функции на следующем промежутке её значения на предыдущем промежутке.

Ответ: эмпирическая функция задаётся формулой (3.5).

Пример 4. Найти частоту					n3 значения x3					20 , если дискретный статистический
ряд объёма n 50 имеет вид:
	xi	5				10				20	30
	wi		1				2			w3		1
		5				5					10

Решение. Распределение выборки задано так, что указаны относительные частоты

	wi значений	xi . Так как	wi	1 (см. пример 1), то w3 1	1	2		1		1 0,7	0,3 .
					5	5		10
			i
	По (3.1) имеем равенство n3			n w3 . По условию примера n	50 , а значение w3						уже
	найдено ( w3	0,3 ). Таким образом, n3 50 0,3 15 .
	Ответ: n3	15 .

Замечание. Решение данного примера поможет выполнить тестовое задание 22 на странице 9.

Пример 5. Найти дискретный статистический ряд, если эмпирическая функция выборки объёма n 100 имеет вид:

			0	при	x		5,
	Fn	x	0,2	при	5	x	10,
			0,7	при	10	x	15,
			1	при	x		15.
					70