5691
.pdf51
lim xn |
lim yn |
|
lim xn yn |
lim xn |
lim yn |
|
lim xn yn |
||
|
b |
|
|
|
|
b 0 |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В этой таблице значения ил символы столбца lim xn |
можно заме- |
нить на соответствующие значения или символы столбца lim yn , а столбца lim yn – на значения или символы столбца lim xn ; при этом приведён-
ные ответы для предела суммы и произведения сохранятся. Сохранятся и символы неопределённостей, которые в таблице подчёркнуты.
Приведём теперь таблицу некоторых особых случаев при нахожде-
нии пределов |
|
xn |
и |
x |
|
|
|
yn .; соответствующие неопределённости в таб- |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
yn |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лице подчёркнуты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim xn |
lim yn |
|
lim |
xn |
|
lim xn |
lim yn |
|
lim (x |
yn ) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
a 0 |
0( yn |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
1 |
|
0 |
|
|
|
|||
|
0( yn |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
b 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В таблицах отмечены «неопределённые выражения», виды которых характеризуются следующими символами:
52
00 , , , 0 , 00 , 1 , 0 .
Это означает, что о пределе соответствующего выражения никакого общего заключения сделать нельзя. Возможны различные ответы (и это ниже
будет проиллюстрировано на примере неопределённости вида 00 ). В связи
с этим и принято говорить, что имеется неопределённость соответствующего вида. На вопрос о том, чему равен предел соответствующего выражения, можно ответить только тогда, когда известны законы изменения последовательностей. Как только на основании законов ответ будет найден (имеется конечный предел или бесконечный предел; нет ни конечного, ни бесконечного предела), то говорят, что неопределённость раскрыта.
Итак, обратимся к неопределённости вида 00 . Речь идёт о нахожде-
нии предела последовательности |
xn |
, если |
lim xn |
0 , lim yn 0 . |
|
yn |
|||||
|
|
|
|
Сразу отметим, что это особый случай, т.к. нельзя воспользоваться теоремой 9 о пределе частного, поскольку lim yn 0 . Если бы предел числите-
ля был отличен от нуля lim xn 0 при условии lim yn 0 , то ответ
был бы найден во второй таблице. Таким образом, надо на примерах показать, что в зависимости от характеров законов последовательностей возможны различные ответы.
Так, например,
1) |
пусть xn |
c |
, |
|
yn |
1 |
, тогда lim |
xn |
|
|
|
C ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2) |
пусть xn |
1 |
|
, yn |
|
|
1 |
, |
тогда |
lim |
xn |
|
lim |
1 |
|
0; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n2 |
|
|
|
n |
yn |
|
n |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) |
пусть xn |
1 |
|
, |
|
yn |
1 |
, |
тогда |
lim |
xn |
|
|
lim |
|
n |
; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n |
|
|
|
n2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4) |
пусть xn |
|
( |
|
|
1)n 1 |
, |
yn |
|
1 |
, тогда |
|
xn |
|
( 1) |
n 1 |
(предела во- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
yn |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
все нет). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что все последовательности |
xn , |
|
yn в этих примерах явля- |
ются бесконечно малыми (см. пункт 3.3). Раскрыта неопределённость вида
53
0 при конкретно взятых законах изменения переменных (при конкретно
0
выбранных последовательностях). Как отмечено выше, наблюдаем различ-
ные ответы. Предел дроби (при неопределённости 00 ) может быть конеч-
ным числом и, в частности, нулём (см. примером 1 и 2); предел дроби может быть бесконечным (пример 3); дробь может не иметь ни конечного, ни бесконечного предела (пример 4).
По поводу других неопределённостей ( |
|
и т.д.) читателю предо- |
|
ставляем провести рассуждения самостоятельно (часть вопросов и заданий будет внесена в упражнения).
Раскрытие различных указанных неопределённостей даже при конкретных законах, которыми задаются последовательности, может в некоторых случаях представлять собой определённую трудность. В каждом таком случае приходится изыскивать приёмы преобразования выражений у виду, когда о пределе можно дать конкретный ответ.
Рассмотрим на примерах некоторые приёмы раскрытия неопределённостей. Различные приёмы будут изучаться в теории пределов функций.
Пример 1. Требуется найти
lim 25nn 35.
При n числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Следовательно, применить теорему 9 о пределе частного нельзя, т.к. в условии этой теоремы предлагается существование конечных пределов.
Согласно второй таблице имеется неопределённость вида . Для её рас-
крытия сначала преобразуем последовательность, разделив числитель и
знаменатель на n . Воспользуемся тем, что последовательности |
5 |
, |
3 |
|
||||
n |
n |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
бесконечно малы (по определению доказано, что |
lim |
1 |
0 ; потом обраща- |
|||||
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
емся к теореме 3). Далее применяем теорему 9 о пределе частного и теорему 8 о пределе алгебраической суммы. В подробной записи имеем
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
lim |
2 |
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2n |
5 |
|
|
|
2 |
n |
n |
|
|
lim 2 |
lim n |
|
|
2 |
0 |
|
2 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
lim 5n |
3 |
|
|
lim |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
5 |
0 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
lim |
5 |
|
|
|
lim 5 |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
2n2 |
|
5n 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4n2 |
|
3n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В подробной записи имеем следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
lim |
2 |
|
5 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
2n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|||||||||||
lim |
5n 2 |
|
|
|
|
lim |
n |
|
|
n2 |
|
n |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4n2 |
3n |
|
7 |
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
7 |
|
|
lim |
4 |
|
3 |
|
|
7 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
lim 2 |
5 |
lim |
1 |
2 |
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
n2 |
|
|
|
2 |
|
5 0 |
2 0 |
|
|
2 |
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
lim 4 |
3 |
lim |
1 |
7 |
lim |
|
1 |
|
|
4 |
|
3 |
0 |
7 |
0 |
|
4 |
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
n |
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.7. Предельный переход в равенстве и неравенствах
Сначала приведём теорему о предельном переходе в равенстве. На самом деле этой теоремой уже воспользовались при решении примеров предыдущего пункта, т.к. по сути это есть теорема о единственности предела. В примерах проводились такие преобразования, что последовательность оставалась такой же.
Теорема 11. Если две последовательности равны xn yn и имеют
конечные пределы |
(lim xn a, |
lim yn b) , то равны и эти пределы: |
|
a |
b . |
Так как xn |
yn для всех n , то имеем одну и ту же последователь- |
ность. Таким образом, мы находимся в условиях теоремы 6 о единственности предела.
Этой теоремой обычно пользуются в форме предельного перехода в равенстве
|
|
|
|
|
|
xn |
yn |
lim xn |
lim yn . |
|
|
(3.10) |
||||
|
|
Заметим, что обратное утверждение к (3.10), вообще говоря, не вер- |
||||||||||||||
но. Иначе, из условия lim xn |
lim yn ещё не следует, что xn |
yn . Дей- |
||||||||||||||
ствительно, lim |
1 |
lim |
|
1 |
|
0, однако |
|
1 |
|
1 |
(для всех |
n имеем |
||||
n |
|
n |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|||||
1 |
|
1 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 12. Если последовательность |
|
xn |
имеет конечный предел |
||||||||||||||||||||||||
a и xn |
С xn |
C , то a С a C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая |
xn |
С для |
|||||||||||||||||||||||||
всех n (случай xn |
|
С рассматривается аналогично). Требуется доказать |
||||||||||||||||||||||||||
неравенство a |
|
С . Предположим противное: |
|
a |
C . Тогда C |
a |
|
0. По |
||||||||||||||||||||
условию дано, |
что lim xn |
a . Тогда согласно определению предела для |
||||||||||||||||||||||||||
положительного числа |
|
С |
|
|
|
a можно указать такой номер |
, |
что при |
||||||||||||||||||||
всех |
n |
N будет выполняться неравенство |
|
xn |
a |
|
C |
a . |
Последнее |
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
неравенство равносильно следующим двум неравенствам: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
a |
xn |
a |
C a . |
|
|
|
|
|
||||||||||
Используя правое из этих неравенств, получим, что xn |
С . Это противо- |
|||||||||||||||||||||||||||
речит условию теоремы, что xn |
С . Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Следствие. Если последовательность |
xn |
имеет конечный предел a |
|||||||||||||||||||||||||
и xn |
|
0 xn |
|
|
0 , то и a 0 a 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Теорема 13. |
Если для двух последовательностей, |
имеющих конеч- |
|||||||||||||||||||||||||
ные пределы (lim xn |
a, lim yn b) , выполняется неравенство |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
xn |
|
yn , |
то |
и |
a |
b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Доказательство. По условию дано, что xn |
|
yn . Тогда элементы по- |
|||||||||||||||||||||||||
следовательности |
xn |
yn |
неотрицательны: |
xn |
|
|
yn |
0 . Поэтому по |
||||||||||||||||||||
приведённому следствию неотрицателен и её предел: lim xn |
yn |
0. |
||||||||||||||||||||||||||
Из |
теоремы |
о пределе |
разности |
имеем: |
|
|
lim xn |
lim yn |
|
0 |
или |
|||||||||||||||||
a b |
0 . Таким образом, |
a b , что и требовалось доказать. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Теорема устанавливает допустимость предельного перехода в нера- |
|||||||||||||||||||||||||||
венстве, соединённом с равенством: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xn |
yn |
|
|
|
lim xn |
|
lim yn . |
|
|
|
|
|
|
|
(3.11) |
|||||||
|
Конечно, в 3.11 знак |
всюду можно заменить на знак . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Обратим внимание на то, |
что из строгого неравенства |
xn |
|
yn , во- |
|||||||||||||||||||||||
обще говоря, не следует строгое неравенство |
lim xn |
lim yn . |
Можно |
|||||||||||||||||||||||||
лишь утверждать следующее: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xn |
yn |
lim xn |
lim yn . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Так, например, |
|
1 |
|
|
1 |
при всех n , а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
lim |
|
1 |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56
При установлении существования и величины предела часто полезна так называемая теорема о пределе промежуточной или сжатой переменной.
Теорема 14. Пусть для трёх последовательностей выполняются неравенства
xn |
n |
yn |
|
для всех n , причём последовательности |
xn |
, yn имеют общий предел |
|
a : |
|
|
|
lim xn |
lim yn |
a . |
Тогда последовательность n имеет тот же предел:
|
lim |
n |
a . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Из определения предела следует: для любого |
0 |
|||||||||
найдутся свои номера N1, N2 такие, что будут выполняться неравенства |
|
|||||||||
(для n |
N1 ) a |
|
xn |
a |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для n |
N2 ) a |
|
|
yn |
a |
|
. |
|
||
Пусть N max N1, N2 ; |
тогда для n |
|
N будут выполняться оба эти |
неравенства. Используя подчёркнутые их части, а также исходные неравенства для трёх последовательностей, данные о теореме, получим следующее:
|
|
|
|
(для n |
N ) |
|
a |
|
|
|
xn |
|
n yn |
a |
. |
|
|||
Таким образом, для |
|
0 |
|
|
|
|
n |
N : a |
n |
a |
. |
||||||||
Последнее означает, что lim |
n |
a . Теорема доказана. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Поясним теорему простым примером. Так как |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin n |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
n2 |
|
n2 |
|
|
|
||||
и |
lim |
1 |
1 |
0, |
то и |
lim |
sin n |
0. |
|
|
|
|
|||||||
|
n2 |
lim n2 |
|
n2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8. Пределы монотонных последовательностей
Здесь будут рассмотрены основные теоремы о сходимости монотонных последовательностей. Они важны для теории, так как связаны с важным свойством непрерывности (полноты) множества действительных чисел R . Эти теоремы используются и при нахождении пределов.
57
Теорема 15. Если неубывающая последовательность xn ограниче-
на сверху, то она сходится.
Доказательство. Так как последовательность ограничена сверху, то
множество |
xn |
её значений имеет конечную точную верхнюю границу: |
sup xn |
a (см. гл. 1). Докажем, что это число a и будет пределом по- |
|
следовательности |
xn . |
Действительно, напомним характерные свойства точной верхней грани-
цы (см. определение 8 из гл.1): |
|
|
|
|
||||
1) |
n : N xn |
a , |
|
|
|
|
|
|
2) |
0 xN |
xn : xN |
a |
. |
|
|
||
Тогда из 1) имеем, что xn |
a |
a |
для всех n . Поскольку |
xn – не- |
||||
убывающая последовательность (при n |
N будет xn xN ), |
то, учиты- |
||||||
вая 2), для таких номеров |
n |
N и подавно будет выполняться неравен- |
||||||
ство xn |
a |
. Таким образом, при любом |
0 при n N имеют ме- |
сто неравенства |
|
|
a |
xn a |
. |
Это и означает, что lim xn |
a . |
|
Конечно, теорема 15 верна и для строго возрастающей ограниченной сверху последовательности.
Теорема 16. Монотонные убывающие (строго убывающие, невозрастающие) последовательности, ограниченные снизу, сходятся.
Доказательство рекомендуется провести самостоятельно, т.к. оно аналогично доказательству теоремы 15. Отметим только, что в этой ситуа-
ции lim xn |
inf xn . |
|
|
|
|
|
Неубывающие и строго возрастающие последовательности, ограни- |
||||||
ченные сверху, |
будут |
ограниченными. |
Например, |
неубывающая |
||
x1 x2 |
... xn |
... , |
ограниченная сверху |
xn |
M n , будет огра- |
|
ниченной, т.к. для всех n выполняются неравенства x1 |
xn |
M (см. 2.1). |
Невозрастающие и строго убывающие (см. определение 8 из гл.2), ограниченные снизу (см. определение 4 из гл.2), также будут ограниченными.
Тогда теоремы 15 и 16 можно сформулировать так: монотонная ограниченная последовательность сходится. Немонотонные последова-
тельности этим свойством не обладают. Например, немонотонная последовательность xn 1 n 1 ограничена, но не сходится (см. пункты 3.1 и
3.4).
Таким образом, ограниченность монотонной последовательности является достаточным условием её сходимости. Это же условие является и
58
необходимым условием сходимости монотонной последовательности. Действительно, по теореме 7 всякая сходящаяся последовательность (в частности, монотонная) ограничена.
Следовательно, имеется критерий (необходимое и достаточное условие) сходимости (наличия конечного предела) монотонной последовательности.
Отметим, что сходящаяся последовательность может и не быть мо-
нотонной. Например, последовательность с общим членом xn
( 1)n 1
n
сходится ( lim xn 0 , см. пункт 3.3), однако не является монотонной, т.к.
знаки членов этой последовательности чередуются.
Критерий сходимости произвольных последовательностей будет рассмотрен в следующем пункте.
Поясним на примере, как применять теоремы этого пункта при нахождении предела. Для этого сразу отметим, что эти теоремы можно применять и для ситуаций, когда последовательность становится монотонной только начиная с некоторого члена. Это возможно потому, что ни существование, ни значение предела последовательности не зависят от любого конечного числа её первоначальных членов.
Докажем, что последовательность с общим членом
|
cn |
|
xn |
|
(c 0, n! 1 2 3 ... n) |
|
||
|
n! |
является бесконечно малой (при C 1 выражение c n представляет собой
n!
неопределённость вида ).
Сначала установим существование конечного предела. Так как
xn 1 |
cn |
1 |
|
c |
|
|
cn |
|
c |
|
xn , |
(n |
1)! |
n |
1 n! |
|
n 1 |
||||||
|
|
|
|||||||||
то при n 1 C (т.е. при n – C |
1) последовательность становится мо- |
нотонно убывающей. Кроме того, она ограничена снизу (например, нулём). Следовательно, по теореме 16 она имеет конечный предел, который обозначим через a lim xn a .
Теперь, опираясь на существование предела, найдём и его значение.
Так как lim xn a , то и lim xn 1 a ( |
xn 1 |
отличается от xn |
||||
только первым членом). Переходя в равенстве |
xn 1 |
|
c |
xn |
к преде- |
|
|
|
|
||||
|
n 1 |
|||||
|
|
|
|
|
59
лу, получим на основании теоремы 11 и того, что lim |
c |
0, следую- |
|||||
|
|
||||||
n 1 |
|||||||
щее: a 0 a . Тогда a 0 и, следовательно, |
|
|
|||||
|
|
cn |
|
|
|||
|
lim |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n! |
|
|
|||
Заметим, что легко установить следующие утверждения: |
|
|
|||||
1) если возрастающая последовательность не ограничена сверху, |
то |
||||||
lim xn |
; |
|
|
|
|
|
|
2) если убывающая последовательность не ограничена |
снизу, |
то |
|||||
lim xn |
. |
|
|
|
|
|
|
3.9. Принцип стягивающихся отрезков
Пусть имеется последовательность an , bn отрезков, каждый последующий из которых содержится в предыдущем:
a1, b1 |
a2 , b2 |
... |
an , |
bn |
... . |
(3.12) |
Тогда говорят, что имеется система вложенных отрезков. Такую си- |
||||||
стему отрезков называют стягивающейся, если длины bn |
an этих про- |
|||||
межутков стремятся к нулю |
lim bn |
an |
0 . |
|
|
|
Теорема 17. Для всякой стягивающейся системы вложенных отрез- |
||||||
ков существует единственная точка C , принадлежащая всем отрезкам этой |
системы, причём lim an lim bn |
C (рис. 12). |
|||||||||||
Доказательство. Очевидно, что левые концы системы отрезков (3.12) |
||||||||||||
образуют неубывающую последовательность |
||||||||||||
|
|
a1 |
a2 |
... |
|
an ..., |
||||||
а правые концы – невозрастающую последовательность |
||||||||||||
|
|
b1 |
b2 |
... |
|
bn .... |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аn |
bn |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
а3 |
|
b1 |
b2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
а2 |
|
|
b3 |
|||||||||
а1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Рис. 12 |
|
|
|
|
|
|
||||
При этом an ограничена сверху an |
bn n , а bn ограничена снизу |
|
|
|
|
60 |
|
|
bn a1 |
n . На основании пункта 3.8 эти последовательности имеют |
|||||
пределы. |
Пусть |
lim an |
c1 , а lim bn |
c2 . По условию дано, что |
||
lim( an |
bn ) |
0 . Тогда 0 |
lim(an bn ) |
lim bn lim an c2 |
c1 и, |
|
следовательно, c2 |
c1 . Общее значение c1 |
и c2 обозначим через c . При |
||||
всех n an |
c (см. доказательство теоремы 15); аналогично bn |
c при |
всех n . Таким образом, точка с принадлежит всем отрезам системы (3.12). Остаётся показать, что точка c является единственной. Допустим противное. Пусть существует ещё одна точка d , отличная от c , также принадлежащая всем отрезкам системы (3.12). Тогда для любого n должно
выполняться неравенство |
d c |
|
bn |
an . Перейдём в этом неравенстве |
|||||||
к пределу. Учитывая, что |
|
d c |
|
есть |
постоянное |
число и |
|||||
|
|
||||||||||
lim(an , |
bn ) 0 , на основании (3.11) |
|
|
0 . Тогда |
|||||||
будем |
иметь |
d c |
|||||||||
|
d c |
|
0 и, следовательно, d |
c . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В условии теоремы существенно, что рассматриваются именно отрезки. Она становится неверной для интервалов и полуотрезков. Например, система вложенных стягивающихся интервалов
(0, 1), 0, 12 , 0, 13 ,..., 0, 1n ,...
не имеет общей точки. Если бы вместо этих интервалов взяли соответствующие отрезки
0, 1 , 0, 12 , 0, 13 ,..., 0, 1n ,...,
то точка x 0 была бы для них общей.
3.10.Число Эйлера е
Вэтом пункте используем предельный переход для определения числа, которое играет исключительную роль как в самом математическом
анализе, так и в его приложениях. Это иррациональное число по предложению Л. Эйлера принято обозначать буквой e. Часто это число и назы-
вают числом Эйлера. Это число, как и иррациональное число |
, является |
|
важнейшей фундаментальной постоянной математического анализа. |
||
Предварительно докажем полезное неравенство |
|
|
1 h n |
1 nh , |
(3.13) |
называемое неравенством Бернулли. Это неравенство справедливо для всех